बीजगणितीय संरचना (अलजेब्रिक स्ट्रक्चर)

गणित में, बीजगणितीय संरचना में एक गैर-खाली सेट (गणित) ए (अंतर्निहित सेट, वाहक सेट या डोमेन कहा जाता है), ए पर संचालन (गणित) का एक संग्रह होता है (आमतौर पर द्विआधारी संक्रियाएं जैसे जोड़ और गुणा के रूप में), और पहचान का एक सीमित सेट (गणित), जिसे स्वयंसिद्ध गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है, जो कि इन संक्रियाओं को पूरा करना चाहिए।

एक बीजगणितीय संरचना अन्य बीजगणितीय संरचनाओं पर आधारित हो सकती है जिसमें कई संरचनाएं सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थान में एक दूसरी संरचना सम्मिलित होती है जिसे एक क्षेत्र (गणित) कहा जाता है, और क्षेत्र के तत्वों (जिसे अदिश (गणित) कहा जाता है), और सदिश स्थान के तत्वों के बीच अदिश गुणन नामक एक संक्रिया सम्मिलित होती है। ("दिष्‍ट(गणित और भौतिकी)" कहा जाता है)।

सार बीजगणित वह नाम है जो आमतौर पर बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए दिया जाता है। सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणितीय संरचनाओं के सामान्य सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया गया है। श्रेणी सिद्धांत एक अन्य औपचारिकता है जिसमें एक ही प्रकार की संरचनाओं (समरूपता) के बीच अन्य गणितीय संरचनाएं और कार्य (गणित) भी सम्मिलित हैं।

सार्वभौमिक बीजगणित में, एक बीजगणितीय संरचना को बीजगणित कहा जाता है; यह शब्द अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि, अन्य संदर्भों में, एक बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जो एक क्षेत्र (गणित) या एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) पर एक क्रमविनिमेय अंगूठी पर एक दिष्‍टस्पेस है।

किसी दिए गए प्रकार (समान संचालन और समान कानून) की सभी संरचनाओं का संग्रह सार्वभौमिक बीजगणित में विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) कहा जाता है; इस शब्द का प्रयोग बीजगणितीय ज्यामिति में पूरी तरह से अलग अर्थ के साथ किया जाता है, बीजगणितीय विविधता के संक्षिप्त नाम के रूप में। श्रेणी सिद्धांत में, किसी दिए गए प्रकार की सभी संरचनाओं का संग्रह और उनके बीच समरूपता एक ठोस श्रेणी बनाती है।

सामान्य स्वयंसिद्ध

समान अभिगृहीत

एक बीजगणितीय संरचना के एक स्वयंसिद्ध में अक्सर एक पहचान (गणित) का रूप होता है, अर्थात, एक समीकरण (गणित) जैसे कि बराबर चिह्न के दो पक्ष अभिव्यक्ति (गणित) होते हैं जिसमें बीजगणितीय संरचना और चर (गणित) के संचालन सम्मिलित होते हैं। यदि पहचान में चर बीजगणितीय संरचना के मनमाना तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो समानता सही रहनी चाहिए। यहाँ कुछ सामान्य उदाहरण दिए गए हैं। क्रमविनिमेयता: ऑपरेशन

• क्रमविनिमेय है अगर

$$x*y=y*x$$

हर एक के लिए x और y बीजगणितीय संरचना में।

साहचर्य:ऑपरेशन $*$ सहयोगी है अगर

$$(x*y)*z=x*(y*z)$$

हर एक के लिए x, y तथा z बीजगणितीय संरचना में। वाम वितरण: संक्रिया

• किसी अन्य संक्रिया के संबंध में वितरणात्मक छोड़ दिया जाता है $+$ यदि

$$x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$$

हर एक के लिए x, y तथा z बीजगणितीय संरचना में (दूसरा ऑपरेशन यहाँ के रूप में दर्शाया गया है + क्योंकि दूसरा ऑपरेशन कई सामान्य उदाहरणों में जोड़ है)। सही वितरण: ऑपरेशन

• दूसरे ऑपरेशन के संबंध में सही वितरण है $+$ यदि

$$(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$$

हर एक के लिए x, y तथा z बीजगणितीय संरचना में। वितरणशीलता: एक ऑपरेशन $*$ दूसरे ऑपरेशन के संबंध में वितरण है $+$ यदि यह बाएँ वितरण और दाएँ वितरण दोनों है। अगर ऑपरेशन $*$ क्रमविनिमेय है, बाएँ और दाएँ वितरण दोनों वितरण के बराबर हैं।

अस्तित्वगत स्वयंसिद्ध

कुछ सामान्य अभिगृहीतों में एक अस्तित्वपरक उपवाक्य होता है। सामान्य तौर पर, इस तरह के एक खंड को आगे के कार्यों को शुरू करने से बचा जा सकता है, और अस्तित्वगत खंड को नए ऑपरेशन से जुड़ी पहचान से बदल दिया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, आइए हम सभी के लिए फॉर्म के स्वयंसिद्ध पर विचार करें X वहाँ है y ऐसा है कि $f(X,y)=g(X,y)$", कहाँ पे X एक है k-चरों का समूह है। X के प्रत्येक मान के लिए y का एक विशिष्ट मान चुनना एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है $\varphi :X\mapsto y,$ जिसे एरीटी के संचालन के रूप में देखा जा सकता है k, और स्वयंसिद्ध पहचान बन जाता है $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

इस तरह के सहायक संचालन की शुरूआत एक स्वयंसिद्ध कथन को थोड़ा जटिल करती है, लेकिन इसके कुछ फायदे हैं। एक विशिष्ट बीजगणितीय संरचना को देखते हुए, एक अस्तित्वगत स्वयंसिद्ध संतुष्ट होने का प्रमाण आम तौर पर सहायक कार्य की परिभाषा में होता है, जो सीधे सत्यापन के साथ पूरा होता है। इसके अलावा, बीजगणितीय संरचना में गणना करते समय, आमतौर पर स्पष्ट रूप से सहायक संचालन का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याओं के मामले में, योज्य व्युत्क्रम एकात्मक माइनस ऑपरेशन द्वारा प्रदान किया जाता है $x\mapsto -x.$

इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित में, एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बीजगणितीय संरचनाओं का एक वर्ग है जो समान संक्रियाओं और समान स्वयंसिद्धों को साझा करता है, इस शर्त के साथ कि सभी स्वयंसिद्ध पहचान हैं। पूर्वगामी से पता चलता है कि उपरोक्त रूप के अस्तित्वगत स्वयंसिद्धों को विविधता की परिभाषा में स्वीकार किया जाता है।

यहाँ कुछ सबसे सामान्य अस्तित्वपरक स्वयंसिद्ध हैं।

पहचान तत्व

बाइनरी ऑपरेशन $*$ यदि कोई तत्व है तो एक पहचान तत्व है e ऐसा है कि

$$x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$$

सभी के लिए x संरचना में। यहाँ, सहायक संक्रिया, आरईटी शून्य की संक्रिया है जिसके पास है e इसके परिणाम के रूप में।

उलटा तत्व

बाइनरी ऑपरेशन दिया $*$ जिसका एक पहचान तत्व है e, एक तत्व x व्युत्क्रमणीय है यदि इसमें एक व्युत्क्रम तत्व है, अर्थात, यदि कोई तत्व उपस्थित है $\operatorname {inv} (x)$ ऐसा है कि

$$\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$$

उदाहरण के लिए, एक समूह (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें एक बाइनरी ऑपरेशन होता है जो साहचर्य होता है, एक पहचान तत्व होता है, और जिसके लिए सभी तत्व उलटे होते हैं।

गैर-समान सिद्धांत

एक बीजगणितीय संरचना के स्वयंसिद्ध कोई भी प्रथम-क्रम सूत्र हो सकते हैं, जो तार्किक संयोजकों (जैसे कि और, या और नहीं), और तार्किक परिमाणक ($\forall ,\exists$) जो संरचना के तत्वों (सबसेट पर नहीं) पर लागू होते हैं।

इस तरह का एक विशिष्ट स्वयंसिद्ध क्षेत्र (गणित) में उलटा है। इस स्वयंसिद्ध को पिछले प्रकार के स्वयंसिद्धों में कम नहीं किया जा सकता है। (यह इस प्रकार है कि क्षेत्र सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) नहीं बनाते हैं।) यह कहा जा सकता है: क्षेत्र का प्रत्येक गैर शून्य तत्व उलटा तत्व है; या, समतुल्य: संरचना में एक एकात्मक संक्रिया है इनव ऐसा है कि

$\forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.$

आपरेशन इनव या तो एक आंशिक ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है जिसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है x = 0; या एक सामान्य कार्य के रूप में जिसका मान 0 पर मनमाना है और इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए।

आम बीजगणितीय संरचनाएं

Main article: बीजगणितीय संरचनाओं की रूपरेखा § बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार

संचालन के साथ एक सेट

सरल संरचनाएं: कोई बाइनरी ऑपरेशन नहीं:

• समुच्चय (गणित): एक पतित बीजगणितीय संरचना S जिसका कोई संचालन नहीं है।

समूह जैसी संरचनाएं: एक बाइनरी ऑपरेशन। बाइनरी ऑपरेशन को किसी भी प्रतीक द्वारा या बिना किसी प्रतीक (जुक्सटैप) के इंगित किया जा सकता है जैसा कि वास्तविक संख्याओं के साधारण गुणन के लिए किया जाता है।

• समूह (गणित): एक एकल संक्रिया (उलटा) के साथ एक मोनॉइड, जो व्युत्क्रम तत्वों को जन्म देता है।
• एबेलियन समूह: एक समूह जिसका बाइनरी ऑपरेशन क्रमविनिमेय है।

रिंग-जैसी संरचनाएं या रिंगोइड्स: दो बाइनरी ऑपरेशंस, जिन्हें अक्सर जोड़ और गुणा कहा जाता है, जोड़ पर गुणन वितरण के साथ।

• वलय (गणित): एक सेमिरिंग जिसका योज्य मोनोइड एक एबेलियन समूह है।
• विभाजन वलय: एक शून्य वलय वलय जिसमें अशून्य तत्वों द्वारा विभाजन (गणित) परिभाषित किया गया है।
• क्रमविनिमेय वलय: एक वलय जिसमें गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय होती है।
• क्षेत्र (गणित): एक क्रमविनिमेय विभाजन वलय (अर्थात एक क्रमविनिमेय वलय जिसमें प्रत्येक अशून्य तत्व के लिए गुणक व्युत्क्रम होता है)।

जाली संरचनाएं: दो या दो से अधिक बाइनरी ऑपरेशंस, जिसमें मीट और जॉइन नामक ऑपरेशंस सम्मिलित हैं, जो अवशोषण कानून से जुड़े हैं।

• पूर्ण जाली: एक जाली जिसमें मनमाने ढंग से मिलना और जुड़ना उपस्थित है।
• परिबद्ध जाली: सबसे बड़ा तत्व और सबसे कम तत्व वाला एक जाली।
• वितरणात्मक जाली: एक जाली जिसमें प्रत्येक दूसरे पर वितरणात्मक जाली से मिलती है और जुड़ती है। संघ और प्रतिच्छेदन के तहत स्थापित एक शक्ति एक वितरणात्मक जाली बनाती है।
• बूलियन बीजगणित (संरचना): एक पूरक वितरण जाली। किसी से मिलने या जुड़ने को दूसरे और पूरकता के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

संचालन के साथ दो सेट

• मॉड्यूल (गणित): एक एबेलियन समूह M और एक रिंग R, M पर ऑपरेटरों के रूप में कार्य करता है। R के सदस्यों को कभी-कभी स्केलर (गणित) कहा जाता है, और स्केलर गुणन का बाइनरी ऑपरेशन एक फ़ंक्शन R × M → M है, जो कई स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। रिंग ऑपरेशंस की गिनती करते हुए इन सिस्टम्स में कम से कम तीन ऑपरेशंस होते हैं।
• दिष्‍टस्पेस: एक मॉड्यूल जहां रिंग आर एक डिवीजन रिंग या फील्ड (गणित) है।

• एक क्षेत्र पर बीजगणित: एक क्षेत्र पर एक मॉड्यूल, जिसमें एक गुणा ऑपरेशन भी होता है जो मॉड्यूल संरचना के अनुकूल होता है। इसमें जोड़ पर वितरण और गुणन के संबंध में बिलिनियर मानचित्र सम्मिलित हैं।
• आंतरिक उत्पाद स्थान: एक F दिष्‍टस्थान V एक निश्चित द्विरेखीय रूप के साथ V × V → F.

हाइब्रिड संरचनाएं

बीजगणितीय संरचनाएं गैर-बीजीय प्रकृति की अतिरिक्त संरचना के साथ भी सह-अस्तित्व में रह सकती हैं, जैसे आंशिक रूप से आदेशित सेट # औपचारिक परिभाषा या एक टोपोलॉजी। जोड़ा गया ढांचा कुछ अर्थों में बीजगणितीय संरचना के साथ संगत होना चाहिए।

• टोपोलॉजिकल समूह: ग्रुप ऑपरेशन के साथ संगत टोपोलॉजी वाला ग्रुप।
• झूठ समूह: एक संगत चिकनी कई गुना संरचना वाला एक स्थलीय समूह।
• आदेशित समूह, आदेशित अंगूठियां और आदेशित क्षेत्र: संगत आंशिक क्रम के साथ प्रत्येक प्रकार की संरचना।
• आर्किमिडीज़ समूह: एक रैखिक रूप से आदेशित समूह जिसके लिए आर्किमिडीज़ गुण धारण करता है।
• टोपोलॉजिकल दिष्‍टस्पेस: एक दिष्‍टस्पेस जिसका एम संगत टोपोलॉजी है।
• नॉर्मड दिष्‍टस्पेस: एक संगत मानदंड (गणित) के साथ एक दिष्‍टस्पेस। यदि ऐसा स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान (एक मीट्रिक स्थान के रूप में) है तो इसे बनच स्थान कहा जाता है।
• हिल्बर्ट स्पेस: वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक आंतरिक उत्पाद स्थान जिसका आंतरिक उत्पाद बनच अंतरिक्ष संरचना को जन्म देता है।
• वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित
• वॉन न्यूमैन बीजगणित: कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी से लैस हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों का *-बीजगणित।

सार्वभौमिक बीजगणित

Main article: सार्वभौमिक बीजगणित

बीजगणितीय संरचनाओं को स्वयंसिद्धों के विभिन्न विन्यासों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। सार्वभौम बीजगणित ऐसी वस्तुओं का सारगर्भित अध्ययन करता है। एक प्रमुख द्विभाजन संरचनाओं के बीच है जो पूरी तरह से पहचान और संरचनाओं द्वारा स्वयंसिद्ध हैं जो नहीं हैं। यदि बीजगणित के एक वर्ग को परिभाषित करने वाले सभी सिद्धांत सर्वसमिका हैं, तो यह वर्ग एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) है (बीजगणितीय ज्यामिति की बीजगणितीय किस्मों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)।

पहचान केवल उन संचालनों का उपयोग करके तैयार किए गए समीकरण हैं जिनकी संरचना अनुमति देती है, और वे चर जो संबंधित ब्रह्मांड (गणित) पर मौन रूप से सार्वभौमिक परिमाणक हैं। सर्वसमिकाओं में अनुमत संक्रियाओं के अलावा कोई तार्किक संयोजकता, परिमाणीकरण (विज्ञान), या किसी भी प्रकार का परिमित संबंध नहीं होता है। किस्मों का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक विविधता में एक बीजगणितीय संरचना को पहचान के एक सेट द्वारा उत्पन्न समानता संबंधों द्वारा विभाजित बीजगणित (जिसे बिल्कुल मुक्त वस्तु भी कहा जाता है) के भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) के रूप में समझा जा सकता है। तो, दिए गए हस्ताक्षर (तर्क) के साथ कार्यों का संग्रह एक मुक्त बीजगणित उत्पन्न करता है, शब्द बीजगणित टी। समीकरणों की पहचान (स्वयंसिद्ध) के एक सेट को देखते हुए, कोई उनके सममित, सकर्मक समापन ई पर विचार कर सकता है। भागफल बीजगणित टी / ई है फिर बीजगणितीय संरचना या विविधता। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, समूहों में एक हस्ताक्षर होता है जिसमें दो ऑपरेटर होते हैं: गुणा ऑपरेटर एम, दो तर्क लेते हुए, और उलटा ऑपरेटर i, एक तर्क लेते हुए, और पहचान तत्व ई, एक स्थिरांक, जिसे एक ऑपरेटर माना जा सकता है जो शून्य लेता है तर्क। चर x, y, z, आदि के एक (गणनीय) सेट को देखते हुए, बीजगणित शब्द सभी संभव शब्द (तर्क) का संग्रह है जिसमें m, i, e और चर सम्मिलित हैं; इसलिए उदाहरण के लिए, m(i(x), m(x, m(y,e))) बीजगणित शब्द का एक तत्व होगा। एक समूह को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों में से एक पहचान m(x, i(x)) = e है; दूसरा m(x,e) = x है। सिद्धांतों को ट्री के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। ये समीकरण मुक्त बीजगणित पर तुल्यता वर्ग प्रेरित करते हैं; तब भागफल बीजगणित में एक समूह की बीजगणितीय संरचना होती है।

कुछ संरचनाएँ किस्मों का निर्माण नहीं करती हैं, क्योंकि या तो:

1. यह आवश्यक है कि 0 ≠ 1, 0 योज्य पहचान तत्व और 1 गुणक पहचान तत्व होने के नाते, लेकिन यह एक गैर पहचान है;
2. खेतों जैसे संरचनाओं में कुछ सिद्धांत हैं जो केवल S के गैर-शून्य सदस्यों के लिए हैं। बीजगणितीय संरचना के लिए विविधता होने के लिए, इसके संचालन को S के सभी सदस्यों के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए; कोई आंशिक संचालन नहीं हो सकता।

संरचनाएं जिनके स्वयंसिद्धों में अपरिहार्य रूप से गैर-समरूपताएं सम्मिलित हैं, गणित में सबसे महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए, क्षेत्र (गणित) और विभाजन वलय। गैर-पहचान वाली संरचनाएं चुनौतियां पेश करती हैं जो किस्में नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए, दो क्षेत्रों (गणित) का प्रत्यक्ष उत्पाद एक क्षेत्र नहीं है, क्योंकि $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$, लेकिन फ़ील्ड्स में शून्य विभाजक नहीं हैं।

श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए एक अन्य उपकरण है (देखें, उदाहरण के लिए, मैक लेन 1998)। एक श्रेणी वस्तुओं का एक संग्रह है जो संबंधित आकारिकी के साथ है। प्रत्येक बीजगणितीय संरचना में समरूपता की अपनी धारणा होती है, अर्थात् कोई भी कार्य (गणित) जो संरचना को परिभाषित करने वाली संक्रियाओं के साथ संगत होता है। इस तरह, प्रत्येक बीजगणितीय संरचना एक श्रेणी (गणित) को जन्म देती है। उदाहरण के लिए, समूहों की श्रेणी में सभी समूह (गणित) वस्तुओं के रूप में हैं और सभी समूह समरूपता आकारिकी के रूप में हैं। इस ठोस श्रेणी को अतिरिक्त श्रेणी-सैद्धांतिक संरचना के साथ सेट की श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। इसी तरह, टोपोलॉजिकल समूहों की श्रेणी (जिनके रूपवाद निरंतर समूह होमोमोर्फिज्म हैं) अतिरिक्त संरचना वाले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है। बीजगणितीय संरचनाओं की श्रेणियों के बीच भुलक्कड़ फंक्‍टर संरचना के एक भाग को भूल जाता है।

उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में विभिन्न अवधारणाएँ हैं जो किसी संदर्भ के बीजगणितीय चरित्र को पकड़ने की कोशिश करती हैं

• बीजगणितीय श्रेणी
• अनिवार्य रूप से बीजगणितीय श्रेणी
• प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी
• स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी
• मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) कारक और श्रेणियां
• सार्वभौमिक संपत्ति।

संरचना के विभिन्न अर्थ

संकेतन के मामूली दुरुपयोग में, शब्द संरचना भी अंतर्निहित सेट के बजाय संरचना पर केवल संचालन को संदर्भित कर सकती है। उदाहरण के लिए, वाक्य, हमने सेट पर एक रिंग संरचना को परिभाषित किया है $A$, इसका मतलब है कि हमने सेट पर परिभाषित रिंग (गणित) संचालन किया है $A$. दूसरे उदाहरण के लिए, समूह $(\mathbb {Z} ,+)$ एक सेट के रूप में देखा जा सकता है $\mathbb {Z}$ जो एक बीजगणितीय संरचना से सुसज्जित है, अर्थात् संक्रिया $+$.

यह भी देखें

• मुक्त वस्तु
• गणितीय संरचना
• हस्ताक्षर (तर्क)
• संरचना (गणितीय तर्क)

संदर्भ

• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90578-3

Category theory

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63107-5

बाहरी संबंध

• Jipsen's algebra structures. Includes many structures not mentioned here.
• Mathworld page on abstract algebra.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Algebra by Vaughan Pratt.

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