चरण आकृति: Difference between revisions
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[[Image:Pendulum phase portrait illustration.svg|400px|thumbnail|एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए एक चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।]] | [[Image:Pendulum phase portrait illustration.svg|400px|thumbnail|एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए एक चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।]] | ||
[[File:Van_der_pols_equation_phase_portrait.svg|right|300px|thumb|वैन डेर पोल ऑसिलेटर का चरण चित्र | वैन डेर पोल का समीकरण, <math>\frac{d^2y}{dt^2}+\mu(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0</math>.]]एक चरण चित्र [[चरण विमान]] में एक [[गतिशील प्रणाली]] के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक | [[File:Van_der_pols_equation_phase_portrait.svg|right|300px|thumb|वैन डेर पोल ऑसिलेटर का चरण चित्र | वैन डेर पोल का समीकरण, <math>\frac{d^2y}{dt^2}+\mu(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0</math>.]]एक चरण चित्र [[चरण विमान]] में एक [[गतिशील प्रणाली]] के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक समुच्चय को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। | ||
गतिशील प्रणाली के अध्ययन में चरण चित्र एक अमूल्य उपकरण हैं। वे [[राज्य अंतरिक्ष|अंतरिक्ष अवस्था]] में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के एक भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए एक आकर्षित करने वाला, एक [[प्रतिकारक]] या [[सीमा चक्र]] उपस्थित है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके प्रणाली के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। एक आकर्षित करने वाला एक स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को एक अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है। | |||
एक गतिशील प्रणाली का एक चरण चित्र | एक गतिशील प्रणाली का एक चरण चित्र रेखांकन एक स्टेट स्थान में प्रणाली के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष अवस्था वेरिएबल के हैं। | ||
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* सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो एक निश्चित बिंदु है। | * सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो एक निश्चित बिंदु है। | ||
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* कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल | * कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल या पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और [[मैंडेलब्रॉट सेट|मैंडेलब्रॉट समुच्चय]] | ||
== [[साधारण अंतर समीकरण]] | == [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अंतर समीकरणों]] के व्यवहार की कल्पना करना == | ||
एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र | एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र प्रणाली की स्थिरता का संकेत दे सकता है। <ref name=":0">Haynes Miller, and Arthur Mattuck. ''18.03 Differential Equations.'' Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, <nowiki>https://ocw.mit.edu</nowiki>. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: <nowiki>https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf</nowiki>) </ref> | ||
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ओडीईएस की एक प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार [[eigenvalue]]s या [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] और निर्धारक (ट्रेस = λ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub>, निर्धारित = λ<sub>1</sub> x λ<sub>2</sub>) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।<ref name=":0" /> | |||
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| अंतर समीकरण |
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| दायरा |
| वर्गीकरण |
| समाधान |
| लोग |
एक चरण चित्र चरण विमान में एक गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक समुच्चय को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
गतिशील प्रणाली के अध्ययन में चरण चित्र एक अमूल्य उपकरण हैं। वे अंतरिक्ष अवस्था में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के एक भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए एक आकर्षित करने वाला, एक प्रतिकारक या सीमा चक्र उपस्थित है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके प्रणाली के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। एक आकर्षित करने वाला एक स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को एक अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है।
एक गतिशील प्रणाली का एक चरण चित्र रेखांकन एक स्टेट स्थान में प्रणाली के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष अवस्था वेरिएबल के हैं।
उदाहरण
- साधारण पेंडुलम, चित्र देखें (दाएं)।
- सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो एक निश्चित बिंदु है।
- वैन डेर पोल ऑसिलेटर चित्र देखें (नीचे दाएं)।
- कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल या पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और मैंडेलब्रॉट समुच्चय
साधारण अंतर समीकरणों के व्यवहार की कल्पना करना
एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र प्रणाली की स्थिरता का संकेत दे सकता है। [1]
| अस्थिर | प्रणली के अधिकांश समाधान समय के साथ ∞ की ओर जाते हैं |
| विषम रूप से स्थिर | प्रणली के सभी समाधान समय के साथ 0 हो जाते हैं |
| तटस्थ रूप से स्थिर | प्रणली का कोई भी समाधान समय के साथ ∞ की ओर नहीं जाता है, किन्तु अधिकांश समाधान 0 की ओर भी नहीं जाते हैं |
ओडीईएस की एक प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार eigenvalues या ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और निर्धारक (ट्रेस = λ1 + λ2, निर्धारित = λ1 x λ2) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।[1]
| Eigenvalue, Trace, Determinant | Phase Portrait Shape |
|---|---|
| λ1 & λ2 are real and of opposite sign;
Determinant < 0 |
Saddle (unstable) |
| λ1 & λ2 are real and of the same sign, and λ1 ≠ λ2;
0 < determinant < (trace2 / 4) |
Node (stable if trace < 0, unstable if trace > 0) |
| λ1 & λ2 have both a real and imaginary component;
(trace2 / 4) < determinant |
Spiral (stable if trace < 0, unstable if trace > 0) |
यह भी देखें
- चरण स्थान
- चरण विमान
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf)
- Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
- Steven Strogatz (2001). Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. ISBN 9780738204536.
बाहरी संबंध
- Linear Phase Portraits, an MIT Mathlet.
