कार्टन मैट्रिक्स: Difference between revisions

Revision as of 14:34, 25 April 2023

गणित में, कार्टन आव्यूह शब्द के तीन अर्थ हैं। इन सभी का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ एली कार्टन के नाम पर रखा गया है। आश्चर्यजनक रूप से, असत्य बीजगणित के संदर्भ में कार्टन मैट्रिसेस की पहली बार विल्हेम हत्या द्वारा जांच की गई थी, जबकि मारक रूप कार्टन के कारण है।

असत्य बीजगणित

एक (सममित) सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह स्क्वायर आव्यूह है $A=(a_{ij})$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ जैसे कि

विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $a_{ii}=2$ .
गैर-विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, $a_{ij}\leq 0$ .
$a_{ij}=0$ यदि और केवल यदि $a_{ji}=0$
$A$ रूप में लिखा जा सकता है $DS$ , जहाँ $D$ विकर्ण आव्यूह है, और $S$ सममित आव्यूह है।

उदाहरण के लिए, G₂ के लिए कार्टन आव्यूह को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:

{\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.

तीसरी स्थिति स्वतंत्र नहीं है, किंतु वास्तव में पहली और चौथी स्थिति का परिणाम है।

हम सदैव सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ D चुन सकते हैं। उस स्थिति में, यदि उपरोक्त अपघटन में S सकारात्मक-निश्चित आव्यूह है, तो A को 'कार्टन आव्यूह ' कहा जाता है।

एक साधारण असत्य बीजगणित का कार्टन आव्यूह वह आव्यूह है जिसके तत्व स्केलर उत्पाद हैं

a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}

^[1]

(कभी-कभी कार्टन पूर्णांक कहा जाता है) जहां r_i बीजगणित की जड़ प्रणाली हैं। प्रविष्टियाँ मूल प्रक्रिया के गुणों में से से अभिन्न हैं। पहली नियम परिभाषा से आती है, दूसरी इस तथ्य से कि के लिए $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ जड़ है जो सरल जड़ों r_i और r_j का रैखिक संयोजन है जो r_j के लिए सकारात्मक गुणांक के साथ है और इसलिए, r_i के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। तीसरा सत्य है क्योंकि लांबिकता सममित संबंध है। और अंत में, चलो $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ और $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ . क्योंकि साधारण जड़ें यूक्लिडियन स्थान को फैलाती हैं, S सकारात्मक निश्चित है।

इसके विपरीत, सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह दिया गया है, कोई इसके संबंधित लाई बीजगणित को पुनर्प्राप्त कर सकता है। (अधिक विवरण के लिए केएसी-मूडी बीजगणित देखें)।

वर्गीकरण

एक $n\times n$ यदि कोई गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय उपस्थित है, तो आव्यूह A 'विघटित' है $I\subset \{1,\dots ,n\}$ ऐसा है कि $a_{ij}=0$ जब कभी भी $i\in I$ और $j\notin I$ . A 'अविघटनीय' है यदि यह अपघटनीय नहीं है।

मान लीजिए A अपघटनीय सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह है। हम कहते हैं कि A 'परिमित प्रकार' का है यदि उसके सभी प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं, A 'एफ़ाइन प्रकार' का है यदि उसके उचित प्रमुख अवयस्क सकारात्मक हैं और A का निर्धारक 0 है, और यह कि A अन्यथा 'अनिश्चित प्रकार' का है .

परिमित प्रकार के अविघटनीय आव्यूह, परिमित आयामी सरल असत्य बीजगणित (प्रकार के) को वर्गीकृत करते हैं $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ ), जबकि एफ़िन प्रकार के अविवेकी मेट्रिसेस एफ़िन असत्य बीजगणित को वर्गीकृत करते हैं (विशेषता 0 के कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कहते हैं)।

साधारण असत्य बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक

सरल असत्य बीजगणित के कार्टन आव्यूह के निर्धारक निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (साथ में A1=B1=C1, B2=C2, D3=A3, D2=A1A1, E5=D5, E4=A4, और E3=A2A1)।^[2]

A_n	B_n	C_n	D_n n ≥ 3	E_n 3 ≤ n ≤ 8	F₄	G₂
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

इस निर्धारक की और संपत्ति यह है कि यह संबंधित जड़ प्रणाली के सूचकांक के समान्य है, अर्थात यह $|P/Q|$ इसके समान्य है जहाँ $P, Q$ क्रमशः वजन जाली और जड़ जाली को दर्शाता है।

परिमित-आयामी बीजगणित का प्रतिनिधित्व

मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, और अधिक सामान्यतः परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित ए के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में, जो अर्ध-सरल बीजगणित नहीं हैं, 'कार्टन आव्यूह ' को प्रमुख अविघटनीय मॉड्यूल के (परिमित) समूह पर विचार करके और उनके लिए रचना श्रृंखला लिखकर परिभाषित किया गया है। अलघुकरणीय मॉड्यूल के संदर्भ में, अलघुकरणीय मॉड्यूल की घटनाओं की संख्या की गणना करने वाले पूर्णांकों के आव्यूह की उपज ।

एम-सिद्धांत में कार्टन मैट्रिसेस

एम-थ्योरी में, साइकिल ग्राफ के साथ ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है | दो-चक्र जो दूसरे के साथ बिंदुओं की सीमित संख्या में प्रतिच्छेद करते हैं, उस सीमा पर जहां दो-चक्रों का क्षेत्र शून्य हो जाता है। इस सीमा पर, गेज समूह दिखाई देता है। दो-चक्रों के आधार के प्रतिच्छेदन संख्याओं के आव्यूह को इस स्थानीय समरूपता समूह के लाई बीजगणित के कार्टन आव्यूह के रूप में माना जाता है।^[3]

इस प्रकार इसे समझाया जा सकता है। एम-थ्योरी में सॉलिटन होते हैं जो द्वि-आयामी सतह होते हैं जिन्हें मेम्ब्रेन या 2-ब्रैन कहा जाता है। 2-ब्रेन में तनाव (भौतिकी) होता है और इस प्रकार सिकुड़ जाता है, किंतु यह दो चक्रों के चारों ओर लपेट सकता है जो इसे शून्य से सिकुड़ने से रोकता है।

एक संघनन (भौतिकी)भौतिकी) आयाम हो सकता है जो सभी दो-चक्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा साझा किया जाता है, और फिर उस सीमा को ले जाता है जहां यह आयाम शून्य तक सिकुड़ जाता है, इस प्रकार इस आयाम पर आयामी कमी प्राप्त होती है। फिर किसी को एम-थ्योरी की सीमा के रूप में टाइप आईआईए स्ट्रिंग सिद्धांत मिलती है, जिसमें 2-ब्रेन दो-साइकिल को लपेटते हैं, जिसे अब डी-ब्रान के बीच ओपन स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जाता है। प्रत्येक डी-ब्रेन के लिए यू (1) स्थानीय समरूपता समूह है, जो इसके अभिविन्यास को बदले बिना इसे स्थानांतरित करने की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री के समान है। वह सीमा जहां दो-चक्रों का शून्य क्षेत्र है वह सीमा है जहां ये डी-ब्रेन दूसरे के ऊपर हैं, जिससे को बढ़ाया स्थानीय समरूपता समूह मिल सकता है।

अब, दो डी-ब्रेन्स के बीच फैला खुला स्ट्रिंग लाई बीजगणित जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और ऐसे दो जनरेटर का कम्यूटेटर तीसरा है, जो खुली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है, जो दो खुले तारों के किनारों को साथ जोड़कर प्राप्त करता है।

अलग-अलग खुले तारों के बीच बाद का संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि 2-ब्रेन मूल एम-सिद्धांत में कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं, अर्थात दो-चक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या में। इस प्रकार असत्य बीजगणित पूरी तरह से इन प्रतिच्छेदन संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन आव्यूह से स्पष्ट संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल मूल (मूल प्रणाली ) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आधार में दो-चक्र से संबंधित हैं।

यह उपबीजगणित परीक्षण में जेनरेटर खुले तारों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो डी-ब्रेन और स्वयं के बीच फैले होते हैं।

संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन आव्यूह से स्पष्ट संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल मूल (मूल प्रणाली ) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आ

यह भी देखें

↑ Georgi, Howard (1999-10-22). कण भौतिकी में बीजगणित (2 ed.). Westview Press. p. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
↑ Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982
↑ Sen, Ashoke (1997). "एम- और स्ट्रिंग थ्योरी में एन्हांस्ड गेज समरूपता पर एक नोट". Journal of High Energy Physics. 1997 (9): 001. arXiv:hep-th/9707123. doi:10.1088/1126-6708/1997/09/001. S2CID 15444381.

संदर्भ

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory: A first course. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 129. Springer-Verlag. p. 334. ISBN 0-387-97495-4.
Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9. Springer-Verlag. pp. 55–56. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

बाहरी संबंध

"Cartan matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Cartan matrix". MathWorld.

[1] Georgi, Howard (1999-10-22). कण भौतिकी में बीजगणित (2 ed.). Westview Press. p. 115. ISBN 0-7382-0233-9.

[2] Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982

[3] Sen, Ashoke (1997). "एम- और स्ट्रिंग थ्योरी में एन्हांस्ड गेज समरूपता पर एक नोट". Journal of High Energy Physics. 1997 (9): 001. arXiv:hep-th/9707123. doi:10.1088/1126-6708/1997/09/001. S2CID 15444381.

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-{{Short description|Matrices named after Élie Cartan}}गणित में, कार्टन मैट्रिक्स शब्द के तीन अर्थ हैं। इन सभी का नाम फ्रांसीसी [[गणितज्ञ]] एली कार्टन के नाम पर रखा गया है। आश्चर्यजनक रूप से, [[झूठ बीजगणित]] के संदर्भ में कार्टन मैट्रिसेस की पहली बार [[विल्हेम हत्या]] द्वारा जांच की गई थी, जबकि [[ मारक रूप |मारक रूप]] कार्टन के कारण है।
+{{Short description|Matrices named after Élie Cartan}}गणित में, कार्टन आव्यूह शब्द के तीन अर्थ हैं। इन सभी का नाम फ्रांसीसी [[गणितज्ञ]] एली कार्टन के नाम पर रखा गया है। आश्चर्यजनक रूप से, [[झूठ बीजगणित|असत्य  बीजगणित]] के संदर्भ में कार्टन मैट्रिसेस की पहली बार [[विल्हेम हत्या]] द्वारा जांच की गई थी, जबकि [[ मारक रूप |मारक रूप]] कार्टन के कारण है।
-== झूठ बीजगणित ==
+== असत्य  बीजगणित ==
 {{Lie groups}}
-ए (सममित) सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] है <math>A = (a_{ij})</math> [[पूर्णांक]] प्रविष्टियों के साथ जैसे कि
+एक (सममित) सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर]] आव्यूह है <math>A = (a_{ij})</math> [[पूर्णांक]] प्रविष्टियों के साथ जैसे कि
 # विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, <math>a_{ii} = 2 </math>.
 # गैर-विकर्ण प्रविष्टियों के लिए, <math>a_{ij} \leq 0 </math>.
-# <math>a_{ij} = 0</math> अगर और केवल अगर <math>a_{ji} = 0</math>
+# <math>a_{ij} = 0</math> यदि और केवल यदि <math>a_{ji} = 0</math>
-# <math>A</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>DS</math>, कहाँ <math>D</math> [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है, और <math>S</math> [[सममित मैट्रिक्स]] है।
+# <math>A</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>DS</math>, जहाँ  <math>D</math> [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण]] आव्यूह है, और <math>S</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित]] आव्यूह है।
-उदाहरण के लिए, G2 (गणित) #Dynkin आरेख और Cartan मैट्रिक्स|G के लिए कार्टन मैट्रिक्स<sub>2</sub>इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:
+उदाहरण के लिए, ''G''<sub>2</sub> के लिए कार्टन आव्यूह को इस प्रकार विघटित किया जा सकता है:
 :<math>
    \begin{bmatrix}
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    \end{bmatrix}.
 </math>
-तीसरी स्थिति स्वतंत्र नहीं है, बल्कि वास्तव में पहली और चौथी स्थिति का परिणाम है।
+तीसरी स्थिति स्वतंत्र नहीं है, किंतु वास्तव में पहली और चौथी स्थिति का परिणाम है।
-हम हमेशा सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ डी चुन सकते हैं। उस स्थिति में, यदि उपरोक्त अपघटन में S [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है, तो A को 'कार्टन मैट्रिक्स' कहा जाता है।
+हम सदैव सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ''D'' चुन सकते हैं। उस स्थिति में, यदि उपरोक्त अपघटन में S [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित]] आव्यूह है, तो A को 'कार्टन आव्यूह ' कहा जाता है।
-एक साधारण झूठ बीजगणित का कार्टन मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स है जिसके तत्व स्केलर उत्पाद हैं
+एक साधारण असत्य  बीजगणित का कार्टन आव्यूह वह आव्यूह है जिसके तत्व स्केलर उत्पाद हैं
 :<math>a_{ji}=2 {(r_i,r_j)\over (r_j,r_j)}</math> <ref>{{cite book |last1=Georgi |first1=Howard |title=कण भौतिकी में बीजगणित|publisher=Westview Press |isbn=0-7382-0233-9 |page=115 |edition=2|date=1999-10-22 }}</ref>
-(कभी-कभी कार्टन पूर्णांक कहा जाता है) जहां ''r<sub>i</sub>बीजगणित की जड़ प्रणाली हैं। प्रविष्टियाँ [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] के गुणों में से से अभिन्न हैं। पहली शर्त परिभाषा से आती है, दूसरी इस तथ्य से कि के लिए <math>i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i</math> जड़ है जो सरल जड़ों r का [[रैखिक संयोजन]] है<sub>i</sub>और आर<sub>j</sub>आर के लिए सकारात्मक गुणांक के साथ<sub>j</sub>और इसलिए, r के लिए गुणांक<sub>i</sub>अऋणात्मक होना चाहिए। तीसरा सत्य है क्योंकि लांबिकता सममित संबंध है। और अंत में, चलो <math>D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}</math> और <math>S_{ij}=2(r_i,r_j)</math>. क्योंकि साधारण जड़ें [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] को फैलाती हैं, S सकारात्मक निश्चित है।''
+(कभी-कभी कार्टन पूर्णांक कहा जाता है) जहां r<sub>i</sub> बीजगणित की जड़ प्रणाली हैं। प्रविष्टियाँ [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] के गुणों में से से अभिन्न हैं। पहली नियम परिभाषा से आती है, दूसरी इस तथ्य से कि के लिए <math>i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i</math> जड़ है जो सरल जड़ों  ''r<sub>i</sub>'' और ''r<sub>j</sub>'' का [[रैखिक संयोजन]] है जो ''r<sub>j</sub>'' के लिए सकारात्मक गुणांक के साथ है और इसलिए, ''r<sub>i</sub>''  के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। तीसरा सत्य है क्योंकि लांबिकता सममित संबंध है। और अंत में, चलो <math>D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}</math> और <math>S_{ij}=2(r_i,r_j)</math>. क्योंकि साधारण जड़ें [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]]  को फैलाती हैं, S सकारात्मक निश्चित है।
-इसके विपरीत, सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स दिया गया है, कोई इसके संबंधित लाई बीजगणित को पुनर्प्राप्त कर सकता है। (अधिक विवरण के लिए केएसी-मूडी बीजगणित देखें)।
+इसके विपरीत, सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह दिया गया है, कोई इसके संबंधित लाई बीजगणित को पुनर्प्राप्त कर सकता है। (अधिक विवरण के लिए केएसी-मूडी बीजगणित देखें)।
 === वर्गीकरण ===
-एक <math>n \times n</math> यदि कोई गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय मौजूद है, तो मैट्रिक्स A 'विघटित' है <math>I \subset \{1,\dots,n\}</math> ऐसा है कि <math>a_{ij} = 0</math> जब कभी भी <math>i \in I</math> और <math>j \notin I</math>. A 'अविघटनीय' है यदि यह अपघटनीय नहीं है।
+एक <math>n \times n</math> यदि कोई गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय उपस्थित है, तो आव्यूह A 'विघटित' है <math>I \subset \{1,\dots,n\}</math> ऐसा है कि <math>a_{ij} = 0</math> जब कभी भी <math>i \in I</math> और <math>j \notin I</math>. A 'अविघटनीय' है यदि यह अपघटनीय नहीं है।
-मान लीजिए A अपघटनीय सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स है। हम कहते हैं कि A 'परिमित प्रकार' का है यदि उसके सभी [[प्रमुख नाबालिग]] सकारात्मक हैं, A 'एफ़ाइन प्रकार' का है यदि उसके उचित प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं और A का निर्धारक 0 है, और यह कि A 'अनिश्चित प्रकार' का है अन्यथा .
+मान लीजिए A अपघटनीय सामान्यीकृत कार्टन आव्यूह है। हम कहते हैं कि A 'परिमित प्रकार' का है यदि उसके सभी [[प्रमुख नाबालिग]] सकारात्मक हैं, A 'एफ़ाइन प्रकार' का है यदि उसके उचित प्रमुख अवयस्क सकारात्मक हैं और A का निर्धारक 0 है, और यह कि A अन्यथा  'अनिश्चित प्रकार' का है .
-परिमित प्रकार के अविघटनीय आव्यूह, परिमित आयामी [[सरल झूठ बीजगणित]] (प्रकार के) को वर्गीकृत करते हैं <math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 </math>), जबकि affine प्रकार के अविवेकी मेट्रिसेस [[affine Lie algebra]]s को वर्गीकृत करते हैं (विशेषता 0 के कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कहते हैं)।
+परिमित प्रकार के अविघटनीय आव्यूह, परिमित आयामी [[सरल झूठ बीजगणित|सरल असत्य  बीजगणित]] (प्रकार के) को वर्गीकृत करते हैं <math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 </math>), जबकि एफ़िन प्रकार के अविवेकी मेट्रिसेस [[affine Lie algebra|एफ़िन असत्य बीजगणित]] को वर्गीकृत करते हैं (विशेषता 0 के कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कहते हैं)।
-==== साधारण झूठ बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक ====
+==== साधारण असत्य  बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक ====
-सरल झूठ बीजगणित के कार्टन मैट्रिक्स के निर्धारक निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (ए के साथ)<sub>1</sub>= बी<sub>1</sub>= सी<sub>1</sub>, बी<sub>2</sub>= सी<sub>2</sub>, डी<sub>3</sub>= ए<sub>3</sub>, डी<sub>2</sub>= ए<sub>1</sub>A<sub>1</sub>, और<sub>5</sub>= डी<sub>5</sub>, और<sub>4</sub>= ए<sub>4</sub>, और ई<sub>3</sub>= ए<sub>2</sub>A<sub>1</sub>).<ref>[https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/handle/2027.42/70011/JMAPAQ-23-11-2019-1.pdf Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups] Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982</ref>
+सरल असत्य  बीजगणित के कार्टन आव्यूह के निर्धारक निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं (साथ में A1=B1=C1, B2=C2, D3=A3, D2=A1A1, E5=D5, E4=A4, और E3=A2A1)।<ref>[https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/handle/2027.42/70011/JMAPAQ-23-11-2019-1.pdf Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups] Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982</ref>
 {| class="wikitable" border="1"
 |- style="vertical-align:top"
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 | ''n'' + 1 || 2 || 2 || 4 || 9 − ''n'' || 1 || 1
 |}
-इस निर्धारक की और संपत्ति यह है कि यह संबंधित जड़ प्रणाली के सूचकांक के बराबर है, यानी यह इसके बराबर है <math>|P/Q| </math> कहाँ {{mvar|P, Q}} क्रमशः वजन जाली और जड़ जाली को दर्शाता है।
+इस निर्धारक की और संपत्ति यह है कि यह संबंधित जड़ प्रणाली के सूचकांक के समान्य है, अर्थात यह <math>|P/Q| </math> इसके समान्य है  जहाँ  {{mvar|P, Q}} क्रमशः वजन जाली और जड़ जाली को दर्शाता है।
 == परिमित-आयामी बीजगणित का प्रतिनिधित्व ==
-[[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में, और अधिक आम तौर पर परिमित-आयामी [[साहचर्य बीजगणित]] ए के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में, जो अर्ध-सरल बीजगणित नहीं हैं, 'कार्टन मैट्रिक्स' को प्रमुख अविघटनीय मॉड्यूल के (परिमित) सेट पर विचार करके और उनके लिए [[रचना श्रृंखला]] लिखकर परिभाषित किया गया है। [[ अलघुकरणीय मॉड्यूल |अलघुकरणीय मॉड्यूल]] के संदर्भ में, इरेड्यूसबल मॉड्यूल की घटनाओं की संख्या की गणना करने वाले पूर्णांकों के मैट्रिक्स की उपज।
+[[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में, और अधिक सामान्यतः  परिमित-आयामी [[साहचर्य बीजगणित]] ए के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में, जो अर्ध-सरल बीजगणित नहीं हैं, 'कार्टन आव्यूह ' को प्रमुख अविघटनीय मॉड्यूल के (परिमित) समूह पर विचार करके और उनके लिए [[रचना श्रृंखला]] लिखकर परिभाषित किया गया है। [[ अलघुकरणीय मॉड्यूल |अलघुकरणीय मॉड्यूल]] के संदर्भ में, अलघुकरणीय मॉड्यूल की घटनाओं की संख्या की गणना करने वाले पूर्णांकों के आव्यूह की उपज ।
-== [[एम-सिद्धांत]] == में कार्टन मैट्रिसेस
+== [[एम-सिद्धांत]] में कार्टन मैट्रिसेस ==
-एम-थ्योरी में, [[साइकिल ग्राफ]] के साथ ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है | दो-चक्र जो दूसरे के साथ बिंदुओं की सीमित संख्या में प्रतिच्छेद करते हैं, उस सीमा पर जहां दो-चक्रों का क्षेत्र शून्य हो जाता है। इस सीमा पर, [[गेज समूह]] दिखाई देता है। दो-चक्रों के आधार के प्रतिच्छेदन संख्याओं के मैट्रिक्स को इस स्थानीय समरूपता समूह के लाई बीजगणित के कार्टन मैट्रिक्स के रूप में माना जाता है।<ref>{{cite journal|last=Sen|first=Ashoke|title=एम- और स्ट्रिंग थ्योरी में एन्हांस्ड गेज समरूपता पर एक नोट|journal=Journal of High Energy Physics|volume=1997|issue=9|pages=001|year=1997|doi=10.1088/1126-6708/1997/09/001|arxiv=hep-th/9707123|s2cid=15444381}}</ref>
+एम-थ्योरी में, [[साइकिल ग्राफ]] के साथ ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है | दो-चक्र जो दूसरे के साथ बिंदुओं की सीमित संख्या में प्रतिच्छेद करते हैं, उस सीमा पर जहां दो-चक्रों का क्षेत्र शून्य हो जाता है। इस सीमा पर, [[गेज समूह]] दिखाई देता है। दो-चक्रों के आधार के प्रतिच्छेदन संख्याओं के आव्यूह को इस स्थानीय समरूपता समूह के लाई बीजगणित के कार्टन आव्यूह के रूप में माना जाता है।<ref>{{cite journal|last=Sen|first=Ashoke|title=एम- और स्ट्रिंग थ्योरी में एन्हांस्ड गेज समरूपता पर एक नोट|journal=Journal of High Energy Physics|volume=1997|issue=9|pages=001|year=1997|doi=10.1088/1126-6708/1997/09/001|arxiv=hep-th/9707123|s2cid=15444381}}</ref>
-इस प्रकार इसे समझाया जा सकता है। एम-थ्योरी में [[सॉलिटन]] होते हैं जो द्वि-आयामी सतह होते हैं जिन्हें मेम्ब्रेन या 2-ब्रैन कहा जाता है। 2-ब्रेन में [[तनाव (भौतिकी)]] होता है और इस प्रकार सिकुड़ जाता है, लेकिन यह दो चक्रों के चारों ओर लपेट सकता है जो इसे शून्य से सिकुड़ने से रोकता है।
-एक [[संघनन (भौतिकी)]]भौतिकी) आयाम हो सकता है जो सभी दो-चक्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा साझा किया जाता है, और फिर उस सीमा को ले जाता है जहां यह आयाम शून्य तक सिकुड़ जाता है, इस प्रकार इस आयाम पर [[आयामी कमी]] प्राप्त होती है। फिर किसी को एम-थ्योरी की सीमा के रूप में टाइप IIA [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] मिलती है, जिसमें 2-ब्रेन दो-साइकिल को लपेटते हैं, जिसे अब [[ डी-brane |डी-brane]] ्स के बीच ओपन स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जाता है। प्रत्येक डी-ब्रेन के लिए यू (1) स्थानीय समरूपता समूह है, जो इसके अभिविन्यास को बदले बिना इसे स्थानांतरित करने की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री के समान है। वह सीमा जहां दो-चक्रों का शून्य क्षेत्र है वह सीमा है जहां ये डी-ब्रेन दूसरे के ऊपर हैं, ताकि को बढ़ाया स्थानीय समरूपता समूह मिल सके।
+इस प्रकार इसे समझाया जा सकता है। एम-थ्योरी में [[सॉलिटन]] होते हैं जो द्वि-आयामी सतह होते हैं जिन्हें मेम्ब्रेन या 2-ब्रैन कहा जाता है। 2-ब्रेन में [[तनाव (भौतिकी)]] होता है और इस प्रकार सिकुड़ जाता है, किंतु यह दो चक्रों के चारों ओर लपेट सकता है जो इसे शून्य से सिकुड़ने से रोकता है।
+एक [[संघनन (भौतिकी)]]भौतिकी) आयाम हो सकता है जो सभी दो-चक्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा साझा किया जाता है, और फिर उस सीमा को ले जाता है जहां यह आयाम शून्य तक सिकुड़ जाता है, इस प्रकार इस आयाम पर [[आयामी कमी]] प्राप्त होती है। फिर किसी को एम-थ्योरी की सीमा के रूप में टाइप आईआईए [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] मिलती है, जिसमें 2-ब्रेन दो-साइकिल को लपेटते हैं, जिसे अब [[ डी-brane |डी-ब्रान]] के बीच ओपन स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जाता है। प्रत्येक डी-ब्रेन के लिए यू (1) स्थानीय समरूपता समूह है, जो इसके अभिविन्यास को बदले बिना इसे स्थानांतरित करने की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री के समान है। वह सीमा जहां दो-चक्रों का शून्य क्षेत्र है वह सीमा है जहां ये डी-ब्रेन दूसरे के ऊपर हैं, जिससे  को बढ़ाया स्थानीय समरूपता समूह मिल सकता है।
 अब, दो डी-ब्रेन्स के बीच फैला खुला स्ट्रिंग लाई बीजगणित जनरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और ऐसे दो जनरेटर का [[कम्यूटेटर]] तीसरा है, जो खुली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है, जो दो खुले तारों के किनारों को साथ जोड़कर प्राप्त करता है।
-अलग-अलग खुले तारों के बीच बाद का संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि 2-ब्रेन मूल एम-सिद्धांत में कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं, यानी दो-चक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या में। इस प्रकार झूठ बीजगणित पूरी तरह से इन प्रतिच्छेदन संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन मैट्रिक्स से सटीक संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल रूट (रूट सिस्टम) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आधार में दो-चक्र से संबंधित हैं।
-[[यह सबलजेब्रा परीक्षण]] में जेनरेटर खुले तारों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो डी-ब्रेन और स्वयं के बीच फैले होते हैं।
+अलग-अलग खुले तारों के बीच बाद का संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि 2-ब्रेन मूल एम-सिद्धांत में कैसे प्रतिच्छेद कर सकते हैं, अर्थात दो-चक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या में। इस प्रकार असत्य  बीजगणित पूरी तरह से इन प्रतिच्छेदन संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन आव्यूह से स्पष्ट संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल मूल (मूल प्रणाली ) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आधार में दो-चक्र से संबंधित हैं।
+[[यह सबलजेब्रा परीक्षण|यह उपबीजगणित परीक्षण]] में जेनरेटर खुले तारों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो डी-ब्रेन और स्वयं के बीच फैले होते हैं।
+'''संख्याओं पर निर्भर करता है। कार्टन आव्यूह से स्पष्ट संबंध इसलिए है क्योंकि बाद वाला सरल मूल (मूल प्रणाली ) के कम्यूटेटर का वर्णन करता है, जो कि चुने गए आ'''
 == यह भी देखें ==
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 * [[मौलिक प्रतिनिधित्व]]
 * संहार रूप
-* [[सरल झूठ समूह]]
+* [[सरल झूठ समूह|सरल असत्य  समूह]]
 ==टिप्पणियाँ==

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
' List of matrices Category:Matrices

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असत्य बीजगणित

वर्गीकरण

साधारण असत्य बीजगणित के कार्टन मैट्रिसेस के निर्धारक

परिमित-आयामी बीजगणित का प्रतिनिधित्व

एम-सिद्धांत में कार्टन मैट्रिसेस

यह भी देखें

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