स्पोराडिक समूह

गणित में, छिटपुट समूह 26 असाधारण समूह (गणित) में से एक है, जो परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में पाया जाता है।

साधारण समूह एक समूह G होता है जिसमें सतहीय समूह और G को छोड़कर कोई सामान्य उपसमूह नहीं होता है। वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित सरल समूहों की सूची में 18 गिने-चुने अनंत वर्ग सम्मिलित हैं और 26 अपवाद जो इस प्रकार के एक व्यवस्थित प्रतिरूप का पालन नहीं करते हैं। ये 26 अपवाद छिटपुट समूह हैं। उन्हें छिटपुट सरल समूहों या छिटपुट परिमित समूहों के रूप में भी जाना जाता है। क्योंकि यह पूर्ण रूप से लाइ प्रकार का समूह नहीं है, टिट्स समूह को कभी-कभी छिटपुट समूह के रूप में माना जाता है, इस स्थिति में 27 छिटपुट समूह होंगे।

मॉन्स्टर समूह छिटपुट समूहों में सबसे बड़ा है, और छह अन्य छिटपुट समूहों को छोड़कर सभी इसके उपखंड हैं।

नाम

1860 के दशक में एमिल लियोनार्ड मैथ्यू द्वारा छिटपुट समूहों में से पांच की खोज की गई थी और अन्य 21 1965 और 1975 के बीच पाए गए थे। इनमें से कई समूहों के निर्माण से पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी। अधिकांश समूहों का नाम उस गणितज्ञ (कों) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने सबसे पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी। पूरी सूची है:

आरेख छिटपुट समूहों के बीच उप-संबंधों को दर्शाते है। एक संबंधक रेखा का अर्थ है कि निचला समूह ऊपरी का एक उपभाग है, जिसके बीच में कोई छिटपुट उपभाग नहीं है।
प्रथम पीढ़ी, द्वितीय पीढ़ी, तृतीय पीढ़ी, पारियाह

* मैथ्यू समूह मैथ्यू समूह M₁₁ (M11), मैथ्यू समूह M₁₂ (M12), मैथ्यू समूह M₂₂ (M22), मैथ्यू समूह M₂₃ (M23), मैथ्यू समूहM₂₄ (M 24)

• जांको समूह J₁ (J1), जांको समूह J₂ या HJ (J2), जानको समूह J₃ या HJM (J3), जानको समूह J₄ (J4)
• कॉनवे समूह कॉनवे समूह Co₁ (Co1), कॉनवे समूह Co₂ (Co2), कॉनवे समूह Co₃ (Co3)
• फिशर समूह फिशर समूह Fi₂₂ (Fi22), फिशर समूह Fi₂₃ (Fi23), फिशर समूह Fi₂₄' या F₃₊ (Fi24)
• हिगमैन-सिम्स समूह HS
• मैकलॉघलिन समूह (गणित) MCL
• आयोजित समूह He या F₇₊ या F₇
• रुदवालिस समूह Ru
• सुजुकी समूह (गणित) सुज या F₃₋
• O'N समूह O'N (ON)
• हरदा-नॉर्टन समूह HN या F₅₊ या F₅
• ल्यों समूह लाइ
• थॉम्पसन समूह (गणित) Th या F_3|3 या F₃
• बेबी मॉन्स्टर समूह B या F₂₊ या F₂
• फिशर-ग्रिस मॉन्स्टर समूह M या F₁

टिट्स समूह T को कभी-कभी छिटपुट समूह के रूप में भी माना जाता है (यह लगभग नहीं बल्कि वस्तुतः लाइ प्रकार का समूह है), यही कारण है कि कुछ स्रोतों में छिटपुट समूहों की संख्या 26 के अतिरिक्त 27 दी गई है। कुछ अन्य स्रोतों में, टिट्स समूह को न तो छिटपुट और न ही लाइ प्रकार के रूप में माना जाता है। टिट्स समूह (n = 0)-वर्ग ²F₄(2)′ दिक्परिवर्ती समूह ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ के अनंत वर्ग का है; इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं। n > 0 के लिए ये परिमित सरल समूह लाई प्रकार ²F₄(2²ⁿ⁺¹) के समूहों के साथ मेल खाते हैं, जिन्हें ²F₄ प्रकार के री समूह के रूप में भी जाना जाता है।

सभी छिटपुट समूहों के लिए परिमित क्षेत्रों पर आव्यूह समूह प्रतिनिधित्व का निर्माण किया गया है। छिटपुट समूहों और लगभग संबंधित समूहों के लिए वर्ण सारणी कोनवे et al. (1985) में उनके बाहरी स्वसमाकृतिकता और शूर गुणक के क्रमों के साथ-साथ अधिकतम उपसमूहों और विभिन्न निर्माणों की सूची प्रत्येक छिटपुट समूह के लिए अलग-अलग संयुग्मन वर्ग विल्सन et al. (1999) का एटलस ऑफ फाइनाइट समूह रिप्रेजेंटेशन में सूचीबद्ध हैं।। विशेषता P ≥ 0 के क्षेत्रों न्यूनतम विश्वसनीय प्रतिनिधित्व या मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के परिमाण की गणना भी सभी छिटपुट समूहों और उनके कुछ समुपयोग समूहों के लिए की गई है। ये जेंसन (2005) विस्तृत हैं।

छिटपुट समूह शब्द का सबसे पहला उपयोग Burnside (1911, p. 504) हो सकता है जहां वह मैथ्यू समूहों के विषय में टिप्पणी करता है: "ये स्पष्ट रूप से छिटपुट सरल समूह संभवतः अभी तक प्राप्त की तुलना में निकटवर्ती परीक्षण का भुगतान करेंगे।"

दाईं ओर का आरेख रोनन (2006, p. 247) पर आधारित है। यह छिटपुट समूहों के कई गैर-छिटपुट सरल उपश्रेणियों को नहीं दिखाता है।

संगठन

सुखी वर्ग

26 छिटपुट समूहों में से 20 को मॉन्स्टर समूह के अंदर उपसमूहों या उपसमूहों के गुणक समूह (अनुभाग (समूह सिद्धांत) S) के रूप में देखा जा सकता है। इन बीसों को रॉबर्ट ग्रिस ने सुखी वर्ग कहा है, और इन्हें तीन पीढ़ियों में संगठित किया जा सकता है।

प्रथम पीढ़ी (5 समूह) : मैथ्यू समूह

Main article: मैथ्यू समूह

n = 11, 12, 22, 23 और 24 के लिए M_n, n बिंदुओं पर सकर्मक क्रमपरिवर्तन समूह हैं। वे सभी M₂₄, के उपसमूह हैं जो 24 (संख्या) बिंदुओं पर क्रमचय समूह है।

द्वितीय पीढ़ी (7 समूह) : लीच जालक

See also: लीच जालक and कॉनवे समूह

24 (संख्या) आयामों में एक जालक के स्वसमाकृतिकता समूह के सभी उपखंडों को लीच जालक कहा जाता है:

• Co₁ अपने केंद्र {±1} द्वारा स्वसमाकृतिकता समूह का गुणक है
• Co₂ प्रकार 2 (अर्थात, लंबाई 2) सदिश का स्थिरक है
• Co₃ प्रकार 3 (अर्थात, लंबाई √6) सदिश का स्थिरक है
• सुज स्वसमाकृतिकता का समूह है जो एक जटिल संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)
• McL एक प्रकार के 2-2-3 त्रिकोण का स्थिरक है
• HS एक प्रकार के 2-3-3 त्रिभुज का स्थिरक है
• J₂ स्वसमाकृतिकता का समूह है जो चतुष्कोणीय संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)।

तृतीय पीढ़ी (8 समूह) : मॉन्स्टर के अन्य उपसमूह

उपसमूहों से मिलकर बनता है जो मॉन्स्टर समूह M से निकटता से संबंधित हैं:

• B या F₂ में दोहरा आवरण होता है जो M में क्रम 2 के तत्व का केंद्रक होता है
• Fi₂₄′ में एक तिहरा आवरण है जो M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रीकरण है (संयुग्मन वर्ग "3A" में)
• Fi₂₃ Fi₂₄' का एक उपसमूह है
• Fi₂₂ का दोहरा आवरण है जो Fi₂₃ का एक उपसमूह है
• Th = F₃ के गुणनफल और क्रम 3 के एक समूह M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रक है (संयुग्मता वर्ग 3C में)
• HN = F₅ के गुणनफल और क्रम 5 के समूह M में क्रम 5 के तत्व का केंद्रक है
• He= F₇ के गुणनफल और क्रम 7 के एक समूह M में क्रम 7 के एक तत्व का केंद्रक है।
• अंत में मॉन्स्टर समूह ही इस पीढ़ी में माना जाता है।

(यह श्रृंखला आगे भी जारी है: M₁₂ का गुणनफल और क्रम 11 के एक समूह M में क्रम 11 के एक तत्व का केंद्रक है।)

टिट्स समूह, यदि छिटपुट समूह के रूप में माना जाता है,तो इस पीढ़ी में सम्मिलित होगा: वहाँ एक उपसमूह S₄ ײF₄ (2) ' है जो B के 2C² उपसमूह को सामान्य करते है, जिससे एक उपसमूह 2·S₄ ײF₄ (2) ' बनता है, जो मॉन्स्टर के निश्चित Q₈ उपसमूह को सामान्य करते है। ²F₄ (2) ' भी फिशर समूह Fi₂₂ का एक उपभाग है, और इस प्रकार Fi₂₃ और Fi₂₄’ का भी, और बेबी मॉन्स्टर B का भी। ²F₄ (2) ' भी (पारिया) रुदवालिस समूह Ru का एक उपभाग है, और छिटपुट सरल समूहों में कोई भागीदारी नहीं है, अतिरिक्त इसके कि पहले से ही उल्लेख किया गया है।

परियाह

Main article: परियाह समूह

छह अपवाद J₁, J₃, J₄, O'N, Ru और Ly, हैं, जिन्हें कभी-कभी पारियाह कहा जाता है।

छिटपुट समूह क्रमों की तालिका (w/ टिट्स समूह)

समूह	आविष्कारक	वर्ष	पीढ़ी	क्रम		गुणनखंडित क्रम	न्यूनतम विश्वसनीय ब्राउर वर्ण का परिमाण	$(a,b,ab)$ उत्पादक	Further conditions
M or F1	फिशर, ग्रिस	1973	3rd	808017424794512875886459904961710757005754368000000000	≈ 8×1053	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	196883	2A, 3B, 29	None
B or F2	फिशर	1973	3rd	4154781481226426191177580544000000	≈ 4×1033	241 · 313 · 56 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	4371	2C, 3A, 55	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=23$
Fi24 or F3+	फिशर	1971	3rd	1255205709190661721292800	≈ 1×1024	221 · 316 · 52 · 73 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	8671	2A, 3E, 29	$o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=33$
Fi23	फिशर	1971	3rd	4089470473293004800	≈ 4×1018	218 · 313 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	782	2B, 3D, 28	None
Fi22	फिशर	1971	3rd	64561751654400	≈ 6×1013	217 · 39 · 52 · 7 · 11 · 13	78	2A, 13, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=12$
Th or F3	थॉमसन	1976	3rd	90745943887872000	≈ 9×1016	215 · 310 · 53 · 72 · 13 · 19 · 31	248	2, 3A, 19	None
Ly	लियोन्स	1972	Pariah	51765179004000000	≈ 5×1016	28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2480	2, 5A, 14	$o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=67$
HN or F5	हराडा, नॉर्टन	1976	3rd	273030912000000	≈ 3×1014	214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19	133	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co1	कोनवे	1969	2nd	4157776806543360000	≈ 4×1018	221 · 39 · 54 · 72 · 11 · 13 · 23	276	2B, 3C, 40	None
Co2	कोनवे	1969	2nd	42305421312000	≈ 4×1013	218 · 36 · 53 · 7 · 11 · 23	23	2A, 5A, 28	None
Co3	कोनवे	1969	2nd	495766656000	≈ 5×1011	210 · 37 · 53 · 7 · 11 · 23	23	2A, 7C, 17	None
ON or O'N	ओ' नान	1976	Pariah	460815505920	≈ 5×1011	29 · 34 · 5 · 73 · 11 · 19 · 31	10944	2A, 4A, 11	None
Suz	सुज़ुकी	1969	2nd	448345497600	≈ 4×1011	213 · 37 · 52 · 7 · 11 · 13	143	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	रुडवालिस	1972	Pariah	145926144000	≈ 1×1011	214 · 33 · 53 · 7 · 13 · 29	378	2B, 4A, 13	None
He or F7	हेल्ड	1969	3rd	4030387200	≈ 4×109	210 · 33 · 52 · 73 · 17	51	2A, 7C, 17	None
McL	मैकलॉघलिन	1969	2nd	898128000	≈ 9×108	27 · 36 · 53 · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=7$
HS	हिगमैन, सिम्स	1967	2nd	44352000	≈ 4×107	29 · 32 · 53 · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	None
J4	जान्को	1976	Pariah	86775571046077562880	≈ 9×1019	221 · 33 · 5 · 7 · 113 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	1333	2A, 4A, 37	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=10$
J3 or HJM	जान्को	1968	Pariah	50232960	≈ 5×107	27 · 35 · 5 · 17 · 19	85	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J2 or HJ	जान्को	1968	2nd	604800	≈ 6×105	27 · 33 · 52 · 7	14	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
J1	जान्को	1965	Pariah	175560	≈ 2×105	23 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	56	2, 3, 7	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=19$
T (or [[Ree group#Ree groups of type 2F4|2F4(2)′]])	टिट्स	1964	3rd	17971200	≈ 2×107	211 · 33 · 52 · 13	104	2A, 3, 13	$o([a,b])=5$
M24	मैथ्यु	1861	1st	244823040	≈ 2×108	210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	23	2B, 3A, 23	$o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$
M23	मैथ्यु	1861	1st	10200960	≈ 1×107	27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	22	2, 4, 23	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=8$
M22	मैथ्यु	1861	1st	443520	≈ 4×105	27 · 32 · 5 · 7 · 11	21	2A, 4A, 11	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=11$
M12	मैथ्यु	1861	1st	95040	≈ 1×105	26 · 33 · 5 · 11	11	2B, 3B, 11	None
M11	मैथ्यु	1861	1st	7920	≈ 8×103	24 · 32 · 5 · 11	10	2, 4, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$

संदर्भ

उद्धृत कार्य

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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Sporadic Group". MathWorld.
• Atlas of Finite समूह Representations: Sporadic समूहs