गैसों का काइनेटिक सिद्धांत

आदर्श गैस का तापमान उसके कणों की औसत गतिज ऊर्जा के समानुपाती होता है। उनके रिक्ति के सापेक्ष हीलियम परमाणुओं के बोह्र त्रिज्या को दबाव के 1950 वायुमंडल (इकाई) के तहत बड़े पैमाने पर दिखाया गया है। परमाणुओं की औसत गति उनके आकार के सापेक्ष यहाँ धीमी हो जाती है जो कमरे के तापमान पर दो 1000000000000 (संख्या)संख्या) गुना होती है।

गैसों का अणुगतिक सिद्धांत गैसों के ऊष्मागतिक व्यवहार का एक सरल, ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण चिरसम्मत यांत्रिकी मॉडल है, जिसके साथ ऊष्मागतिक की कई प्रमुख अवधारणाएँ स्थापित की गई थीं। यह मॉडल गैस को बड़ी संख्या में समान अतिसूक्ष्म कणों (परमाणुओं या अणुओं) के रूप में वर्णित करता है, जो सभी निरंतर, तीव्र, यादृच्छिक गति में होते हैं। उनका आकार कणों के बीच की औसत दूरी से अधिक न्यूनतम माना जाता है। आपस में कण और पात्र की संलग्न प्राचीरों के साथ यादृच्छिक प्रत्यास्थ संघट्टन से होकर जाते हैं। मॉडल का मूल संस्करण आदर्श गैस का वर्णन करता है और कणों के बीच कोई अन्य अंतःक्रिया नहीं मानता है।

गैसों का अणुगतिक सिद्धांत गैसों के स्थूल मापक के गुणों, जैसे आयतन, दबाव और तापमान के साथ श्यानता, ताप संचालकता और द्रव्यमान विसरणशीलता जैसे अभिगमन गुणधर्म की व्याख्या करता है। सूक्ष्म गतिकीय (सूक्ष्म प्रतिवर्त्यता) की समय प्रतिवर्त्यता के कारण, गतिज सिद्धांत उच्चावचन क्षय प्रमेय (ब्राउनियन गति के लिए) और ऑनसेजर व्युत्क्रम संबंधों के संदर्भ में विस्तृत संतुलन के सिद्धांत से भी संबंधित है।

ऐतिहासिक रूप से, गैसों का अणुगतिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी के विचारों का सर्वप्रथम स्पष्ट प्रयोग था।

इतिहास

प्रायः 50 ईसा पूर्व में रोमन दार्शनिक ल्यूक्रेटियस ने प्रस्तावित किया कि स्पष्ट रूप से स्थैतिक असूक्ष्म तत्व एक छोटे पैमाने पर शीघ्र गतिमान परमाणुओं से समाहित थे, जो परस्पर उच्छलन कर रहे थे।इस एपिक्यूरियन परमाणुवादी दृष्टिकोण को परवर्ती शतवर्षों में अधिक कम सुविचारित किया गया था, जब अरस्तू के विचार प्रमुख थे।

हाइड्रोडायनामिका फ्रंट कवर

वर्ष 1738 में डेनियल बर्नौली ने हाइड्रोडायनामिका प्रकाशित किया, जिसने गैस अणुगतिक सिद्धांत का आधार रखा। इस कार्य में बर्नौली ने तर्क प्रस्तुत किया कि गैस में बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो सभी दिशाओं में चलते हैं तथा सतह पर उनका प्रभाव गैस के दबाव का कारण बनता है और उनकी औसत गतिज ऊर्जा गैस के तापमान को निर्धारित करती है। सिद्धांत को तत्काल स्वीकृत नहीं किया गया, क्योंकि ऊर्जा का संरक्षण इस समय तक स्थापित नहीं किया गया था,और यह भौतिकविदों के लिए स्पष्ट नहीं था कि अणुओं के बीच संघट्टन पूर्ण प्रत्यास्थ कैसे हो सकता है।

अणुगतिक सिद्धांत के अन्य अग्रदूत, जिनके काम को उनके समकालीनों द्वारा काफी हद तक उपेक्षित किया गया था, मिखाइल लोमोनोसोव (1747) थे, जॉर्जेस-लुई ले सेज (सीए 1780, प्रकाशित 1818), जॉन हेरापथ (1816) और जॉन जेम्स वॉटरस्टन (1843), जो उनके शोध को गुरुत्वाकर्षण की यांत्रिक व्याख्या के विकास से जोड़ता है। 1856 में अगस्त क्रोनिग ने एक साधारण गैस-काइनेटिक मॉडल बनाया, जो केवल कणों के अनुवाद (ज्यामिति) पर विचार करता था। 1857 में रुडोल्फ क्लॉसियस ने सिद्धांत का एक समान, लेकिन अधिक परिष्कृत संस्करण विकसित किया, जिसमें ट्रांसलेशनल और क्रोनिग के विपरीत, ROTATION और वाइब्रेशनल आणविक गति भी शामिल थी। इसी कार्य में उन्होंने एक कण के औसत मुक्त पथ की अवधारणा को प्रस्तुत किया। 1859 में, क्लॉसियस द्वारा अणुओं के प्रसार के बारे में एक पेपर पढ़ने के बाद, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण तैयार किया, जिसने एक विशिष्ट श्रेणी में एक निश्चित वेग वाले अणुओं का अनुपात दिया। यह भौतिकी का पहला सांख्यिकीय नियम था। मैक्सवेल ने पहला यांत्रिक तर्क भी दिया कि आण्विक संघट्टों के लिए तापमान की समानता आवश्यक है और इसलिए संतुलन की ओर एक प्रवृत्ति है। अपने 1873 के तेरह पृष्ठ के लेख 'अणु' में, मैक्सवेल कहते हैं: हमें बताया गया है कि एक 'परमाणु' एक भौतिक बिंदु है, जो 'संभावित शक्तियों' से घिरा हुआ है और जब 'उड़ने वाले अणु' एक ठोस शरीर के खिलाफ निरंतर उत्तराधिकार में हमला करते हैं वायु और अन्य गैसों का दबाव कहलाता है। 1871 में, लुडविग बोल्ट्जमैन ने मैक्सवेल की उपलब्धि को सामान्यीकृत किया और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण तैयार किया। एन्ट्रापी और प्रायिकता के बीच लघुगणकीय संबंध भी सबसे पहले बोल्ट्जमैन द्वारा बताया गया था।

20वीं शताब्दी की शुरुआत में, हालांकि, कई भौतिकविदों द्वारा परमाणुओं को वास्तविक वस्तुओं के बजाय विशुद्ध रूप से काल्पनिक निर्माण माना जाता था। एक महत्वपूर्ण मोड़ अल्बर्ट आइंस्टीन का (1905) था और मैरियन स्मोलुचोव्स्की (1906) ब्राउनियन गति पर कागजात, जो गतिज सिद्धांत के आधार पर कुछ सटीक मात्रात्मक भविष्यवाणियां करने में सफल रहे।

अनुमान

आदर्श गैस के लिए अणुगतिक सिद्धांत का अनुप्रयोग निम्नलिखित धारणाएँ बनाता है:

• गैस में बहुत छोटे कण होती है। उनके आकार का लघुता ऐसा होता है कि गैस के पात्र के आयतन की तुलना में प्रत्येक गैस अणुओं के आयतन का योग नगण्य होता है। यह व्यक्त करने के समानार्थी है कि गैस कणों को पृथक करने की औसत दूरी उनके आकार की तुलना में विशाल और उत्तरोत्तर संघट्टों के बीच के समय की तुलना में कणों और पात्र की प्राचीर के बीच संघट्ट का व्यतीत समय नगण्य है।
• कणों की संख्या इतनी अधिक है कि समस्या का एक सांख्यिकीय उपचार उचित है। इस धारणा को प्रायः ऊष्मागतिक सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है।
• द्रुत गतिमान कण आपस में और पात्र की प्राचीरों से निरंतर संघट्टन करते हैं। ये सभी संघट्ट पूर्णतः प्रत्यास्थ हैं, जिसका अर्थ है कि अणु पूर्ण कठोर गोले हैं।
• संघट्टों के अतिरिक्त अणुओं के मध्य अन्योन्यक्रियाएँ नगण्य होती है। वे एक दूसरे पर कोई अन्य बल का प्रयोग नहीं करते हैं।

इस प्रकार कण गति की गतिकी को चिरसम्मत रूप से माना जा सकता है और गति के समीकरण समय-प्रतिवर्ती हैं।

एक सरल धारणा के रूप में, कणों में सामान्यतः एक दूसरे के समान द्रव्यमान है; यद्यपि, सिद्धांत को व्यापक वितरण के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक द्रव्यमान प्रकार डाल्टन आंशिक दाब नियम के साथ सहमति में एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से गैस गुणधर्मों में योगदान देता है। मॉडल की कई पूर्वानुमान समान होती हैं चाहे कणों के मध्य संघट्टन सम्मिलित हैं या नहीं, इसलिए उन्हें प्रायः व्युत्पत्तियों में सरल धारणा के रूप में उपेक्षित किया जाता है (नीचे देखें)।

अधिकतर नए विकास में इन धारणाओं को बोल्ट्जमैन समीकरण के आधार पर शिथिल करते हैं। ये सघन गैस के गुणधर्मों का सटीक वर्णन कर सकते हैं, क्योंकि इनमें कणों की मात्रा के साथ-साथ अंतराअणुक और आंतरआण्विक बलों के योगदान के साथ-साथ क्वान्टित आणविक घूर्णन, क्वांटम घूर्णन-स्पंदनिक सममिति प्रभाव और इलेक्ट्रॉन उत्तेजन सम्मिलित हैं।

संतुलन गुणधर्म

दबाव और गतिज ऊर्जा

गैस अणुगतिक सिद्धांत में, दबाव को बल (प्रति इकाई क्षेत्र) के समान माना जाता है जो परमाणुओं द्वारा गैस के पात्र की सतह से आघात और प्रतिघात के कारण होता है। आयतन V = L³ के एक घन में परिबद्ध द्रव्यमान m वाले अणुओं की एक बड़ी संख्या N की गैस पर विचार करें। जब एक गैस अणु x अक्ष के लंबवत पात्र की प्राचीर से संघट्टन करता है और समान गति (एक प्रत्यास्थ संघट्टन) के साथ विपरीत दिशा में प्रस्कंदन करता है, तो संवेग में परिवर्तन निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=p_{i,x}-(-p_{i,x})=2p_{i,x}=2mv_{x},$$

जहां p गति है, i और f प्रारंभिक और अंतिम संवेग (संघट्टन से पूर्व और पश्चात) इंगित करते हैं, x इंगित करता है कि केवल x दिशा पर विचार किया जा रहा है और $v_{x}$ दिशा x में कण की गति है (जो टक्कर से पहले और बाद में समान है)।

कण काल अंतराल $\Delta t$ के समय एक बार में एक विशिष्ट पार्श्व प्राचीर को प्रभावित करता है

$$\Delta t={\frac {2L}{v_{x}}},$$

जहाँ L विपरीत प्राचीरों के बीच की दूरी है।

इस कण का प्राचीर से संघट्टन करने का बल है

$$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}.$$

संभावित मूल्यों की एक सीमा के साथ दीवारों को प्रभावित करने वाले अणुओं द्वारा टकराव के कारण दीवार पर कुल बल $v_{x}$ है

$$F={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}},$$

जहां आरेख N कणों के संभावित वेगों पर औसत दर्शाता है।

चूंकि कणों की गति यादृच्छिक होती है और किसी भी दिशा में कोई पूर्वाग्रह प्रयुक्त नहीं होता है, प्रत्येक दिशा में औसत वर्ग गति समान होती है:

$${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v_{y}^{2}}}={\overline {v_{z}^{2}}}.$$

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिविम में औसत वर्ग गति $v^{2}$ को निम्न द्वारा दिया गया है

$${\overline {v^{2}}}={\overline {v_{x}^{2}}}+{\overline {v_{y}^{2}}}+{\overline {v_{z}^{2}}},$$

इसलिए

$${\overline {v^{2}}}=3{\overline {v_{x}^{2}}}.$$

और

$${\overline {v_{x}^{2}}}={\frac {\overline {v^{2}}}{3}},$$

और इसलिए बल को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

$$F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}.$$

इस बल को क्षेत्र L² पर समान रूप से प्रयुक्त किया जाता है, इसलिए गैस का दबाव है

$$P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}},$$

जहां V = L³ बॉक्स का आयतन है।

गैस की अनुवादिक गतिज ऊर्जा K के संदर्भ में, चूंकि

$$K=N{\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}$$

हमें प्राप्त हैं

$$PV={\frac {2}{3}}K.$$

यह अणुगतिक सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण, गैर-तुच्छ परिणाम है क्योंकि यह एक असूक्ष्म गुणधर्म, दबाव को अणुओं की अनुवादिक गतिज ऊर्जा से संबंधित करता है, जो एक सूक्ष्म गुणधर्म है।

तापमान और गतिज ऊर्जा

दबाव के लिए उपरोक्त परिणाम को पुनः लिखकर ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$, हम इसे आदर्श गैस नियम के साथ इस प्रकार जोड़ सकते हैं

$PV=Nk_{\mathrm {B} }T,$

(1)

जहाँ $k_{\mathrm {B} }$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ आदर्श गैस नियम द्वारा परिभाषित पूर्ण तापमान निम्न प्राप्त करने के लिए

$$k_{\mathrm {B} }T={m{\overline {v^{2}}} \over 3},$$

जो प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा की सरलीकृत अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है,

$${\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T.$$

निकाय की गतिज ऊर्जा एक अणु अर्थात् ${\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}$ की N गुनी है। फिर तापमान $T$ रूप धारण कर लेता है

$T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{\mathrm {B} }}$

(2)

जो परिवर्तित होता है

$T={\frac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{\mathrm {B} }}}.$

(3)

समीकरण (3) अणुगतिक सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण परिणाम है:

औसत आणविक गतिज ऊर्जा आदर्श गैस नियम के पूर्ण तापमान के समानुपाती होती है।

समीकरणों (1) और (3) से हमारे पास है

$PV={\frac {2}{3}}K.$

(4)

इस प्रकार, प्रति मोल (इकाई) दबाव और आयतन का गुणनफल औसत के समानुपाती होता है (अनुवादक) आणविक गतिज ऊर्जा।

समीकरण (1) और (4) शास्त्रीय परिणाम कहलाते हैं, जिन्हें सांख्यिकीय यांत्रिकी से भी प्राप्त किया जा सकता है; अधिक जानकारी के लिए देखें: क्योंकि वहां हैं $3N$ के साथ एक एकपरमाणुक-गैस प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)। $N$ कण, प्रति अणु स्वतंत्रता की प्रति डिग्री गतिज ऊर्जा है

${\frac {K}{3N}}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}$

(5)

स्वतंत्रता की प्रति डिग्री गतिज ऊर्जा में, तापमान की आनुपातिकता का स्थिरांक बोल्ट्जमैन स्थिरांक का 1/2 गुना या प्रति तिल R/2 है। यह परिणाम समविभाजन प्रमेय से संबंधित है।

इस प्रकार एक मोल (एकपरमाणुक आदर्श गैस) की प्रति केल्विन गतिज ऊर्जा 3 [R/2] = 3R/2 है। इस प्रकार प्रति केल्विन गतिज ऊर्जा की गणना आसानी से की जा सकती है:

• प्रति मोल: 12.47 J/K
• प्रति अणु: परिमाण के 20.7 आदेश (ऊर्जा) / के = 129 μeV / के

तापमान और दबाव (273.15 K) की मानक स्थितियों में, गतिज ऊर्जा भी प्राप्त की जा सकती है:

• प्रति मोल: 3406 जे
• प्रति अणु: परिमाण के 5.65 आदेश (ऊर्जा) = 35.2 meV।

यद्यपि मोनोएटोमिक गैसों में प्रति परमाणु स्वतंत्रता की 3 (अनुवादिक) डिग्री होती है, डायटोमिक गैसों में प्रति अणु स्वतंत्रता की 6 डिग्री (3 अनुवाद, दो घुमाव और एक कंपन) होनी चाहिए। हालांकि, लाइटर डायटोमिक गैस (जैसे डायटोमिक ऑक्सीजन) कार्य कर सकती है जैसे कि उनके कंपन की दृढ़ता से क्वांटम-मैकेनिकल प्रकृति और लगातार कंपन ऊर्जा स्तरों के बीच बड़े अंतराल के कारण उनके पास केवल 5 हैं। इन योगदानों की सटीक गणना करने के लिए क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी की आवश्यकता है।

कंटेनर दीवार के साथ टकराव

संतुलन में एक आदर्श गैस के लिए, कंटेनर की दीवार के साथ टकराव की दर और कंटेनर की दीवार से टकराने वाले कणों के वेग वितरण की गणना की जा सकती है। भोले गतिज सिद्धांत के आधार पर, और परिणामों का उपयोग इफ्यूजन # फिजिक्स इन इफ्यूजन के विश्लेषण के लिए किया जा सकता है, जो गैसीय डिफ्यूजन # आइसोटोप पृथक्करण के लिए प्रौद्योगिकी विधि # डिफ्यूजन जैसे अनुप्रयोगों में उपयोगी है।

मान लें कि कंटेनर में, संख्या घनत्व (संख्या प्रति इकाई आयतन) है $n=N/V$ और यह कि कण मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण | मैक्सवेल के वेग वितरण का पालन करते हैं:

$$f_{\text{Maxwell}}(v_{x},v_{y},v_{z})\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$$

फिर एक छोटे से क्षेत्र के लिए $dA$ कंटेनर की दीवार पर, गति के साथ एक कण $v$ कोण पर $\theta$ क्षेत्र के सामान्य से $dA$, समय अंतराल के भीतर क्षेत्र से टकराएगा $dt$, अगर यह दूरी के भीतर है $vdt$ क्षेत्र से $dA$. इसलिए, सभी कण गति के साथ $v$ कोण पर $\theta$ सामान्य से जो क्षेत्र तक पहुंच सकता है $dA$ समय अंतराल के भीतर $dt$ की ऊंचाई के साथ झुके हुए पाइप में समाहित हैं $v\cos(\theta )dt$ और की मात्रा $v\cos(\theta )dAdt$.

क्षेत्र में पहुंचने वाले कणों की कुल संख्या $dA$ समय अंतराल के भीतर $dt$ वेग वितरण पर भी निर्भर करता है; कुल मिलाकर, यह होने की गणना करता है:

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\left(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi \right).$$

बाधा के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर इसे एकीकृत करना $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ प्रति यूनिट क्षेत्र प्रति यूनिट समय में एक कंटेनर की दीवार के साथ परमाणु या आणविक टकराव की संख्या प्राप्त करता है:

$$J_{\text{collision}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta }{\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta }}\times n{\bar {v}}={\frac {1}{4}}n{\bar {v}}={\frac {n}{4}}{\sqrt {\frac {8k_{\mathrm {B} }T}{\pi m}}}.$$

इस मात्रा को निर्वात भौतिकी में टकराव दर के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि औसत गति की गणना करने के लिए ${\bar {v}}$ मैक्सवेल के वेग वितरण का, एक को एकीकृत करना होगा$v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$.

क्षेत्र से टकराने वाले कणों से संवेग कंटेनर की दीवार में स्थानांतरित हो जाता है $dA$ गति के साथ $v$ कोण पर $\theta$ सामान्य से, समय अंतराल में $dt$ है:

$$[2mv\cos(\theta )]\times nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\left(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi \right).$$

बाधा के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर इसे एकीकृत करना $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ दबाव पैदा करता है (आदर्श गैस कानून के अनुरूप):

$$P={\frac {2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \sin \theta d\theta }{\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta }}\times nmv_{\text{rms}}^{2}={\frac {1}{3}}nmv_{\text{rms}}^{2}={\frac {2}{3}}n\langle E_{kin}\rangle =nk_{\mathrm {B} }T$$

यदि यह छोटा क्षेत्र $A$ एक छोटा छेद बनने के लिए छिद्रित किया जाता है, तो Efusion#Physics in Efusion होगा:

$$\Phi _{\text{effusion}}=J_{\text{collision}}A=nA{\sqrt {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi m}}}.$$

आदर्श गैस नियम के साथ संयुक्त होने पर, यह प्राप्त होता है

$$\Phi _{\text{effusion}}={\frac {PA}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}}.$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति ग्राहम के नियम के अनुरूप है।

इस छोटे से क्षेत्र से टकराने वाले कणों के वेग वितरण की गणना करने के लिए, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि सभी कण $(v,\theta ,\phi )$ जिसने क्षेत्र को चपेट में ले लिया $dA$ समय अंतराल के भीतर $dt$ की ऊंचाई के साथ झुके हुए पाइप में समाहित हैं $v\cos(\theta )dt$ और की मात्रा $v\cos(\theta )dAdt$; इसलिए, मैक्सवेल वितरण की तुलना में वेग वितरण का एक अतिरिक्त कारक होगा $v\cos \theta$:

$${\begin{aligned}f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi &=\lambda v\cos {\theta }{\times }\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )\\\end{aligned}}$$

विवशता के साथ ${\textstyle v>0,\,0<\theta <{\frac {\pi }{2}},\,0<\phi <2\pi }$. अटल $\lambda$ सामान्यीकरण की स्थिति द्वारा निर्धारित किया जा सकता है $\int f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi =1$ होना ${\textstyle {4}/{\bar {v}}}$, और कुल मिलाकर:

$${\begin{aligned}f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi &={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {m}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{3}\sin {\theta }\cos {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )\\\end{aligned}};\quad v>0,\,0<\theta <{\frac {\pi }{2}},\,0<\phi <2\pi$$

अणुओं की गति

गतिज ऊर्जा सूत्र से यह दिखाया जा सकता है

$$v_{\text{p}}={\sqrt {2\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

$${\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

$$v_{\text{rms}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}={\sqrt {{3}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

जहाँ v m/s में है, T केल्विन में है, और m गैस के एक अणु का द्रव्यमान है। सबसे संभावित (या मोड) गति $v_{\text{p}}$ रूट-मीन-स्क्वायर स्पीड का 81.6% है $v_{\text{rms}}$, और माध्य (अंकगणितीय माध्य, या औसत) गति ${\bar {v}}$ आरएमएस गति का 92.1% है (आइसोट्रॉपी मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण#गति के लिए वितरण)।

देखना:

• औसत,
• जड़-माध्य-वर्ग गति
• अंकगणित औसत
• अर्थ
• मोड (सांख्यिकी)

मतलब मुक्त पथ

Main article: Mean free path

गैसों के गतिज सिद्धांत में, औसत मुक्त पथ#काइनेटिक सिद्धांत एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी है, या प्रति आयतन में कई अणु, इससे पहले कि वे अपनी पहली टक्कर करते हैं। होने देना $\sigma$ टक्कर हो क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) # एक अणु के दूसरे से टकराने वाले गैस कणों के बीच टकराव। पिछले खंड की तरह, संख्या घनत्व $n$ प्रति (व्यापक) मात्रा में अणुओं की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, या $n=N/V$. टक्कर क्रॉस सेक्शन प्रति वॉल्यूम या टक्कर क्रॉस सेक्शन घनत्व है $n\sigma$, और यह माध्य मुक्त पथ से संबंधित है $l$ द्वारा

$$l={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}$$

ध्यान दें कि टक्कर क्रॉस सेक्शन की इकाई प्रति वॉल्यूम है $n\sigma$ लम्बाई का व्युत्क्रम है।

परिवहन गुण

See also: Transport phenomena

गैसों का गतिज सिद्धांत न केवल थर्मोडायनामिक संतुलन में गैसों से संबंधित है, बल्कि थर्मोडायनामिक संतुलन में नहीं गैसों के साथ भी बहुत महत्वपूर्ण है। इसका अर्थ है काइनेटिक थ्योरी का उपयोग करना, जिसे परिवहन गुणों के रूप में जाना जाता है, जैसे कि चिपचिपाहट, तापीय चालकता और द्रव्यमान विसरणशीलता।

चिपचिपापन और गतिज गति

See also: Viscosity § Momentum transport

प्रारंभिक गतिज सिद्धांत पर पुस्तकों में कई क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले तनु गैस मॉडलिंग के परिणाम मिल सकते हैं। कतरनी चिपचिपाहट के लिए गतिज मॉडल की व्युत्पत्ति आमतौर पर एक Couette प्रवाह पर विचार करके शुरू होती है जहां दो समानांतर प्लेटें एक गैस परत से अलग होती हैं। ऊपरी प्लेट एक बल F के कारण एक स्थिर वेग से दाईं ओर जा रही है। निचली प्लेट स्थिर है, और एक समान और विपरीत बल इस पर कार्य कर रहा है ताकि इसे आराम पर रखा जा सके। गैस की परत के अणुओं में एक अग्रगामी वेग घटक होता है $u$ जो दूरी के साथ समान रूप से बढ़ते हैं $y$ निचली प्लेट के ऊपर। गैर-संतुलन प्रवाह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण | आणविक गतियों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण पर आरोपित है।

Couette प्रवाह सेटअप में एक तनु गैस के अंदर, चलो $u_{0}$ एक क्षैतिज समतल परत पर गैस का आगे का वेग हो (के रूप में लेबल किया गया $y=0$); $u_{0}$ क्षैतिज दिशा में है। क्षेत्र में पहुंचने वाले अणुओं की संख्या $dA$ गैस की परत के एक तरफ, गति के साथ $v$ कोण पर $\theta$ सामान्य से, समय अंतराल में $dt$ है

$$nv\cos({\theta })\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

इन अणुओं ने अपनी आखिरी टक्कर पर की थी $y=\pm l\cos \theta$, कहाँ $l$ मीन फ्री पाथ#काइनेटिक थ्योरी है। प्रत्येक अणु आगे की गति का योगदान देगा

$$p_{x}^{\pm }=m\left(u_{0}\pm l\cos \theta \,{du \over dy}\right),$$

जहां धन चिह्न ऊपर से अणुओं पर लागू होता है, और ऋण चिह्न नीचे होता है। ध्यान दें कि आगे वेग ढाल $du/dy$ औसत मुक्त पथ की दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

बाधा के भीतर सभी उपयुक्त वेगों को एकीकृत करना

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$
 प्रति यूनिट समय प्रति यूनिट क्षेत्र (जिसे कतरनी तनाव के रूप में भी जाना जाता है) के लिए आगे की गति का स्थानांतरण होता है:

$$\tau ^{\pm }={\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot m\left(u_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{du \over dy}\right)$$

प्रति इकाई क्षेत्र में संवेग की शुद्ध दर जो काल्पनिक सतह के पार पहुँचाई जाती है, इस प्रकार है

$$\tau =\tau ^{+}-\tau ^{-}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nm\cdot l\,{du \over dy}$$

श्यानता के साथ उपरोक्त गतिज समीकरण का संयोजन#परिभाषा|न्यूटन का श्यानता का नियम

$$\tau =\eta \,{du \over dy}$$

कतरनी चिपचिपाहट के लिए समीकरण देता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $\eta _{0}$ जब यह एक तनु गैस है:

$$\eta _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nml$$

इस समीकरण को माध्य मुक्त पथ के समीकरण के साथ मिलाने पर प्राप्त होता है

$$\eta _{0}={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac {m\cdot {\bar {v}}}{\sigma }}$$

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण औसत (संतुलन) आणविक गति देता है

$${\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}=2{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}}$$

कहाँ $v_{p}$ सबसे संभावित गति है। हमने ध्यान दिया कि

$$k_{B}\cdot N_{A}=R\quad {\text{and}}\quad M=m\cdot N_{A}$$

और वेग को ऊपर श्यानता समीकरण में डालें। यह मिश्रण के लिए विस्कोसिटी मॉडल के लिए प्रसिद्ध समीकरण देता है # गैस की सीमा और स्केल किए गए चर को पतला करें:

$$\eta _{0}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {mk_{\mathrm {B} }T}}{\sigma }}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {MRT}}{\sigma \cdot N_{A}}}$$

और $M$ दाढ़ द्रव्यमान है। ऊपर दिए गए समीकरण में यह माना गया है कि गैस का घनत्व कम है (अर्थात दबाव कम है)। इसका तात्पर्य यह है कि घूर्णी और कंपन अणु ऊर्जाओं पर गतिज अनुवाद ऊर्जा हावी है। चिपचिपापन समीकरण आगे मानता है कि केवल एक प्रकार का गैस अणु है, और यह कि गैस के अणु गोलाकार आकार के पूर्ण लोचदार और कठोर कोर कण हैं। लोचदार, हार्ड कोर गोलाकार अणुओं की यह धारणा, बिलियर्ड गेंदों की तरह, का तात्पर्य है कि एक अणु के टक्कर क्रॉस सेक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है

$$\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}=\pi d^{2}$$

त्रिज्या $r$ टक्कर क्रॉस सेक्शन त्रिज्या या गतिज त्रिज्या और व्यास कहा जाता है $d$ एक मोनोमोलेक्युलर गैस में एक अणु का टकराव क्रॉस सेक्शन व्यास या गतिज व्यास कहा जाता है। टकराव क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) # कणों के बीच टकराव और (काफी गोलाकार) अणु के हार्ड कोर आकार के बीच कोई सामान्य सामान्य संबंध नहीं है। संबंध अणु की संभावित ऊर्जा के आकार पर निर्भर करता है। एक वास्तविक गोलाकार अणु (अर्थात एक महान गैस परमाणु या एक यथोचित गोलाकार अणु) के लिए अंतःक्रियात्मक क्षमता लेनार्ड-जोन्स क्षमता या मोर्स क्षमता की तरह अधिक होती है जिसका एक नकारात्मक हिस्सा होता है जो हार्ड कोर त्रिज्या से अधिक दूरी से अन्य अणु को आकर्षित करता है। मीन फ्री पाथ # काइनेटिक थ्योरी में मीन फ्री पाथ | शून्य लेनार्ड-जोन्स क्षमता के लिए त्रिज्या तब काइनेटिक त्रिज्या के अनुमान के रूप में उपयोग करने के लिए उपयुक्त है।

तापीय चालकता और ऊष्मा प्रवाह

{{See also|Thermal conductivity}उपरोक्त के समान तर्क के बाद, तापीय चालकता के लिए गतिज मॉडल प्राप्त कर सकते हैंएक तनु गैस की:

गैस की परत द्वारा अलग की गई दो समानांतर प्लेटों पर विचार करें। दोनों प्लेटों का तापमान समान है, और गैस की परत की तुलना में इतने भारी हैं कि उन्हें थर्मल जलाशय के रूप में माना जा सकता है। ऊपरी प्लेट का तापमान निचली प्लेट से अधिक होता है। गैस परत के अणुओं में आणविक गतिज ऊर्जा होती है $\varepsilon$ जो दूरी के साथ समान रूप से बढ़ता है $y$ निचली प्लेट के ऊपर। गैर-संतुलन ऊर्जा प्रवाह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण | आणविक गतियों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण पर आरोपित है।

होने देना $\varepsilon _{0}$ गैस परत के अंदर एक काल्पनिक क्षैतिज सतह पर गैस की आणविक गतिज ऊर्जा हो। किसी क्षेत्र में पहुंचने वाले अणुओं की संख्या $dA$ गैस की परत के एक तरफ, गति के साथ $v$ कोण पर $\theta$ सामान्य से, समय अंतराल में $dt$ है

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

इन अणुओं ने कुछ ही दूरी पर अपनी अंतिम टक्कर की $l\cos \theta$ गैस परत के ऊपर और नीचे, और प्रत्येक एक आणविक गतिज ऊर्जा का योगदान देगा

$$\varepsilon ^{\pm }=\left(\varepsilon _{0}\pm mc_{v}l\cos \theta \,{dT \over dy}\right),$$

कहाँ $c_{v}$ विशिष्ट ताप क्षमता है। फिर से, धन चिह्न ऊपर से अणुओं पर लागू होता है, और ऋण चिह्न नीचे होता है। ध्यान दें कि तापमान ढाल $dT/dy$ औसत मुक्त पथ की दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

बाधा के भीतर सभी उपयुक्त वेगों को एकीकृत करना

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$
 प्रति यूनिट क्षेत्र प्रति यूनिट समय ऊर्जा हस्तांतरण उत्पन्न करता है (जिसे ताप प्रवाह के रूप में भी जाना जाता है):

$$q_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot \left(\varepsilon _{0}\pm {\frac {2}{3}}mc_{v}l\,{dT \over dy}\right)$$

ध्यान दें कि ऊपर से ऊर्जा हस्तांतरण में है $-y$ दिशा, और इसलिए समीकरण में समग्र ऋण चिह्न। इस प्रकार काल्पनिक सतह पर शुद्ध ऊष्मा का प्रवाह होता है

$$q=q_{y}^{+}-q_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l\,{dT \over dy}$$

फूरियर के नियम के साथ उपरोक्त गतिज समीकरण का संयोजन

$$q=-\kappa \,{dT \over dy}$$

तापीय चालकता के लिए समीकरण देता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $\kappa _{0}$ जब यह एक तनु गैस है:

$$\kappa _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l$$

प्रसार गुणांक और प्रसार प्रवाह

{{See also|Fick's laws of diffusion}उपरोक्त के समान तर्क के बाद, द्रव्यमान प्रसार के लिए गतिज मॉडल प्राप्त कर सकते हैंएक तनु गैस की:

एक ही गैस के दो क्षेत्रों के बीच एक ही गैस की परत से अलग पूरी तरह से फ्लैट और समांतर सीमाओं के बीच एक स्थिर राज्य प्रसार पर विचार करें। दोनों क्षेत्रों में समान संख्या घनत्व है, लेकिन ऊपरी क्षेत्र में निचले क्षेत्र की तुलना में उच्च संख्या घनत्व है। स्थिर अवस्था में, किसी भी बिंदु पर संख्या घनत्व स्थिर होता है (अर्थात, समय से स्वतंत्र)। हालाँकि, संख्या घनत्व $n$ परत में दूरी के साथ समान रूप से बढ़ता है $y$ निचली प्लेट के ऊपर। गैर-संतुलन आणविक प्रवाह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण पर आरोपित है। आणविक गतियों का मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण।

होने देना $n_{0}$ परत के अंदर एक काल्पनिक क्षैतिज सतह पर गैस का संख्या घनत्व हो। किसी क्षेत्र में पहुंचने वाले अणुओं की संख्या $dA$ गैस की परत के एक तरफ, गति के साथ $v$ कोण पर $\theta$ सामान्य से, समय अंतराल में $dt$ है

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

इन अणुओं ने कुछ ही दूरी पर अपनी अंतिम टक्कर की $l\cos \theta$ गैस परत के ऊपर और नीचे, जहां स्थानीय संख्या घनत्व है

$$n^{\pm }=\left(n_{0}\pm l\cos \theta \,{dn \over dy}\right)$$

फिर से, धन चिह्न ऊपर से अणुओं पर लागू होता है, और ऋण चिह्न नीचे होता है। ध्यान दें कि संख्या घनत्व ढाल $dn/dy$ औसत मुक्त पथ की दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

बाधा के भीतर सभी उपयुक्त वेगों को एकीकृत करना

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$

प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्र में आणविक हस्तांतरण उत्पन्न करता है (जिसे प्रसार प्रवाह के रूप में भी जाना जाता है):

$$J_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}\cdot \left(n_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{dn \over dy}\right)$$

ध्यान दें कि ऊपर से आणविक स्थानांतरण में है $-y$ दिशा, और इसलिए समीकरण में समग्र ऋण चिह्न। काल्पनिक सतह पर शुद्ध प्रसार प्रवाह इस प्रकार है

$$J=J_{y}^{+}-J_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}l{dn \over dy}$$

फिक के विसरण के नियमों के साथ उपरोक्त गतिज समीकरण का संयोजन#फिक का पहला नियम|फिक का विसरण का पहला नियम

$$J=-D{dn \over dy}$$

द्रव्यमान प्रसार के लिए समीकरण देता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $D_{0}$ जब यह एक तनु गैस है:

$$D_{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}l$$

विस्तृत संतुलन

उतार-चढ़ाव और अपव्यय

Main article: Fluctuation-dissipation theorem

गैसों के गतिज सिद्धांत पर जोर दिया जाता है कि गैस कणों की विस्तृत गतिकी की सूक्ष्म प्रतिवर्तीता के कारण, सिस्टम को विस्तृत संतुलन के सिद्धांत का पालन करना चाहिए। विशेष रूप से, उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय ब्राउनियन गति (या प्रसार) और ड्रैग (भौतिकी) पर लागू होता है, जो आइंस्टीन संबंध (काइनेटिक सिद्धांत) की ओर जाता है। आइंस्टीन-स्मोलोचोव्स्की समीकरण:

$$D=\mu \,k_{\text{B}}T,$$

कहाँ

• D फिक का विसरण का नियम है;
• μ गतिशीलता है, या लागू बल पर कण के टर्मिनल वेग बहाव वेग का अनुपात है, μ = v_d/F;
• k_B बोल्ट्जमैन स्थिरांक है;
• T पूर्ण तापमान है।

ध्यान दें कि गतिशीलता μ = v_d/F गैस की चिपचिपाहट के आधार पर गणना की जा सकती है; इसलिए, आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्रव्यमान प्रसार और गैस की चिपचिपाहट के बीच संबंध भी प्रदान करता है।

ऑनसेजर पारस्परिक संबंध

Main article: Onsager reciprocal relations

कतरनी चिपचिपाहट, तापीय चालकता और आदर्श (पतला) गैस के प्रसार गुणांक के बीच गणितीय समानता एक संयोग नहीं है; यह संवहन (तापमान प्रवणता के कारण पदार्थ प्रवाह, और दबाव प्रवणता के कारण ऊष्मा प्रवाह) और संवहन # के बीच अंतर पर लागू होने पर ऑनसेजर पारस्परिक संबंधों (अर्थात कणों की सूक्ष्म प्रतिवर्तीता का विस्तृत संतुलन) का प्रत्यक्ष परिणाम है। आदर्श (पतला) गैस के संवहन और संवहन (कणों के वेग के कारण प्रवाह, और दबाव प्रवणता के कारण गति हस्तांतरण)।

यह भी देखें

• BBGKY पदानुक्रम | समीकरणों का बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन पदानुक्रम
• बोल्ट्जमैन समीकरण
• टकराव सिद्धांत
• क्रांतिक तापमान
• गैस कानून
• गर्मी
• अंतरपरमाण्विक क्षमता
• मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स
• मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण
• मिक्समास्टर ब्रह्मांड
• ऊष्मप्रवैगिकी
• मजाक मॉडल
• व्लासोव समीकरण

संदर्भ

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• Einstein, A. (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF), Annalen der Physik, 17 (8): 549–560, Bibcode:1905AnP...322..549E, doi:10.1002/andp.19053220806

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• Herapath, J. (1821), "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation", Annals of Philosophy, Baldwin, Cradock, and Joy, 9: 273–293

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• Lomonosov, M. (1970) [1758], "On the Relation of the Amount of Material and Weight", in Henry M. Leicester (ed.), Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, Cambridge: Harvard University Press, pp. 224–233

• Mahon, Basil (2003), The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell, Hoboken, New Jersey: Wiley, ISBN 0-470-86171-1

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• Waterston, John James (1843), Thoughts on the Mental Functions (reprinted in his Papers, 3, 167, 183.)

• Williams, M. M. R. (1971). Mathematical Methods in Particle Transport Theory. Butterworths, London. ISBN 9780408700696.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

अग्रिम पठन

• Sydney Chapman and Thomas George Cowling (1939/1970), The Mathematical Theory of Non-uniform Gases: An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases, (first edition 1939, second edition 1952), third edition 1970 prepared in co-operation with D. Burnett, Cambridge University Press, London
• Joseph Oakland Hirschfelder, Charles Francis Curtiss, and Robert Byron Bird (1964), Molecular Theory of Gases and Liquids, revised edition (Wiley-Interscience), ISBN 978-0471400653
• Richard Lawrence Liboff (2003), Kinetic Theory: Classical, Quantum, and Relativistic Descriptions, third edition (Springer), ISBN 978-0-387-21775-8
• Behnam Rahimi and Henning Struchtrup (2016), "Macroscopic and kinetic modelling of rarefied polyatomic gases", Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, DOI 10.1017/jfm.2016.604

बाहरी संबंध

• PHYSICAL CHEMISTRY – Gases
• Early Theories of Gases
• Thermodynamics - a chapter from an online textbook
• Temperature and Pressure of an Ideal Gas: The Equation of State on Project PHYSNET.
• Introduction to the kinetic molecular theory of gases, from The Upper Canada District School Board
• Java animation illustrating the kinetic theory from University of Arkansas
• Flowchart linking together kinetic theory concepts, from HyperPhysics
• Interactive Java Applets allowing high school students to experiment and discover how various factors affect rates of chemical reactions.
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A A demonstration apparatus for the thermal agitation in gases.