बरनौली अवकल समीकरण

गणित में, साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है। यदि इस रूप का हो, तो

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

जहाँ $n$ वास्तविक संख्या है। कुछ लेखक किसी भी वास्तविक $n$ की अनुमति देते हैं । जबकि अन्य को इसकी आवश्यकता होती है कि $n$ 0 या 1 नहीं होना चाहिए। इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैजब बर्नौली द्वारा चर्चा की गई थी । जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है। चूंकि, सबसे पहला हल गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा प्रस्तुत किया गया था । जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है।

बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात स्पष्ट हलों के साथ अरैखिक अवकल समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का उल्लेखनीय विशेष स्थिति लॉजिस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन है।

बाईं ओर के व्युत्पन्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $ux^{2}$ उत्पाद नियम को उलट कर।

एक रेखीय अंतर समीकरण में परिवर्तन

जब $n=0$अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है। जब $n=1$, यह वियोज्य अवकल समीकरण है। इन स्थितियों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने की मानक विधियों को $n\neq 0$ और $n\neq 1$ के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। प्रतिस्थापन $u=y^{1-n}$ किसी भी बरनौली समीकरण को रेखीय अवकल समीकरण में बदल देता है ।

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

उदाहरण के लिए इस स्थिति में $n=2$ अवकल समीकरण में $u=y^{-1}$ को प्रतिस्थापित करना${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ समीकरण ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$ बनाता है । जो एक रेखीय अंतर समीकरण है।

हल

मान लीजिए $x_{0}\in (a,b)$ और

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

रैखिक अवकल समीकरण का एक हल हो ।

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

फिर हमारे पास वह $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ का हल है ।

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

और ऐसे प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए, सबके लिए $\alpha >0$ अपने पास $y\equiv 0$ हल के रूप में $y_{0}=0$. होता है।

उदाहरण

बरनौली समीकरण पर विचार करें ।

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

(इस स्थिति में, विशेष रूप से रिकाटी समीकरण)। अचर फलन $y=0$ हल है। $y^{2}$ से भाग देने पर प्राप्त होता है ।

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

चर बदलने से समीकरण मिलते हैं ।

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है ।

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

$M(x)$, से गुणा करना

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

उत्पाद नियम को उलट कर बाईं ओर $ux^{2}$ के व्युत्पन्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करना और $x$ के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करने से समीकरण बनते हैं ।

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

$y$ के लिए हल है ।

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

संदर्भ

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

बाहरी संबंध

• Index of differential equations