लिब-थिरिंग असमानता

Not to be confused with the Araki–Lieb–Thirring inequality.

गणित और भौतिकी में, लिब-थिरिंग असमानताएं क्षमता के समाकलन के संदर्भ में श्रोडिंगर ऑपरेटर के नकारात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​की शक्तियों के योग पर ऊपरी सीमा प्रदान करती हैं। उनका नाम इलियट एच. लिबई और डब्ल्यू ई थिरिंग के नाम पर रखा गया है।

असमानताएं क्वांटम यांत्रिकी और अवकल समीकरण के अध्ययन में उपयोगी होती हैं और एक परिणाम के रूप में, क्वांटम यांत्रिक कणों की गतिज ऊर्जा पर एक निचली सीमा होती है जो पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

असमानताओं का बयान

श्रोडिंगर ऑपरेटर के लिए $-\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ वास्तविक मूल्यवान क्षमता के साथ $V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ संख्या $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0$ नकारात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​के अनुक्रम (जरूरी नहीं कि परिमित) को निरूपित करते हैं तत्पश्चात, $\gamma$ और $n$ के लिए किसी एक शर्त को पूरा करते हैं

${\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\,n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}$

एक नियतांक$L_{\gamma ,n}$ उपस्थित है , जो $\gamma$ और $n$ पर ही निर्भर करता है, जैसे कि

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\leq L_{\gamma ,n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

(1)

जहाँ $V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)$ क्षमता का नकारात्मक हिस्सा है $V$. कारक $\gamma >1/2,n=1$ साथ ही $\gamma >0,n\geq 2$ 1976 में ई.एच. लिब और डब्ल्यू.ई. थिरिंग द्वारा सिद्ध किए गए थे और पदार्थ की स्थिरता के उनके प्रमाण में उपयोग किया जाते है। यदि $\gamma =0,n\geq 3$ बायीं ओर केवल ऋणात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​की संख्या है, और सबूत स्वतंत्र रूप से एम. क्विकेल ईएच लिब और जीवी रोज़ेनब्लम द्वारा दिए गए थे, । परिणामस्वरूप $\gamma =0$ इस प्रकार असमानता को क्विकेल-लिब-रोसेनब्लम बाउंड भी कहा जाता है। शेष विवेचनात्मक कारक $\gamma =1/2,n=1$ टी. वीडल द्वारा सिद्ध किया गया था ।शर्तें $\gamma$ और $n$ आवश्यक हैं और उन्हें शिथिल नहीं किया जा सकता।

लिब-थिरिंग स्थिरांक

अर्धशास्त्रीय सन्निकटन

लिब-थिरिंग असमानताओं की तुलना अर्ध-शास्त्रीय सीमा से की जा सकती है।शास्त्रीय चरण स्थान में $(p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.$जोड़े होते हैं संवेग संचालक $-\mathrm {i} \nabla$ के साथ $p$ की पहचान करते हैं और यह मानते हुए कि प्रत्येक क्वांटम अवस्था एक आयतन $(2\pi )^{n}$ में समाहित है $2n$-आयामी चरण स्थान में, अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-}^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

स्थिरांक से व्युत्पन्न होता है

$L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.$

जबकि अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन $\gamma >0$ पर किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है लिब-थिरिंग असमानताएं केवल $\gamma$उपयुक्त के लिए हैं .

वेइल उपगामी और सक्रिय स्थिरांक

सर्वोत्तम संभव स्थिरांक के बारे में अनेक परिणाम प्रकाशित किए गए हैं $L_{\gamma ,n}$ में (1) लेकिन यह समस्या अभी भी आंशिक रूप से अनिर्णित है। संभाव्यता के लिए बड़े युग्मन की सीमा में अर्धशास्त्रीय सन्निकटन सटीक हो जाता है $\beta V$ हरमन वेइल एसिम्प्टोटिक्स

$\lim _{\beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{-}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

पकड़ना। इसका अर्थ यह है कि $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}$. लिब और थिरिंगयह दिखाने में सक्षम थे $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ के लिए $\gamma \geq 3/2,n=1$. माइकल आइज़ेनमैन|एम. ऐज़ेनमैन और ई. एच. लिब साबित कर दिया कि निश्चित आयाम के लिए $n$ अनुपात $L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, का गैर-बढ़ता हुआ कार्य $\gamma$. बाद में $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ सभी के लिए धारण करने के लिए भी दिखाया गया था $n$ कब $\gamma \geq 3/2$ अरी लपतेव द्वारा|ए. लैपटेव और टी. वीडल। के लिए $\gamma =1/2,\,n=1$ डी. हंडर्टमार्क, ई.एच. लिब और एल.ई. थॉमस सिद्ध किया कि सबसे अच्छा स्थिरांक किसके द्वारा दिया जाता है $L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=1/2$.

दूसरी ओर, यह ज्ञात है $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}$ के लिए $1/2\leq \gamma <3/2,n=1$और के लिए $\gamma <1,d\geq 1$. पूर्व मामले में लिब और थिरिंग ने अनुमान लगाया कि तीव्र स्थिरांक द्वारा दिया जाता है

$L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.$

भौतिक प्रासंगिक स्थिरांक के लिए सर्वोत्तम ज्ञात मान $L_{1,3}$ है $\pi L_{1,3}^{\mathrm {cl} }/{\sqrt {3}}$ और Cwikel–Lieb–Rosenbljum असमानता में सबसे छोटा ज्ञात स्थिरांक है $6.869L_{0,n}^{\mathrm {cl} }$.के लिए वर्तमान में सर्वोत्तम ज्ञात मूल्यों का एक संपूर्ण सर्वेक्षण $L_{\gamma ,n}$ साहित्य में पाया जा सकता है।

गतिज ऊर्जा असमानताएँ

लिब-थिरिंग असमानता के लिए $\gamma =1$ किसी दिए गए सामान्यीकृत की गतिशील ऊर्जा पर निचली सीमा के बराबर है $N$-कण तरंग समारोह $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})$ एक-निकाय घनत्व के संदर्भ में। एक विरोधी सममित तरंग समारोह के लिए जैसे कि

$\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{N})$

सभी के लिए $1\leq i,j\leq N$, एक-निकाय घनत्व के रूप में परिभाषित किया गया है

$\rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N})|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n}.$

लिब-थिरिंग असमानता (1) के लिए $\gamma =1$ कथन के तुल्य है

$\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla _{i}\psi |^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{i}\geq K_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rho _{\psi }(x)^{1+{\frac {2}{n}}}}\mathrm {d} ^{n}x$

(2)

जहां तेज स्थिरांक $K_{n}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {n}{2}}\right)L_{1,n}\right)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.$

असमानता को स्पिन (भौतिकी) राज्यों के साथ कणों तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि एक-निकाय घनत्व को स्पिन-संक्षिप्त एक-शरीर घनत्व द्वारा प्रतिस्थापित कर सकता है। अटल $K_{n}$ फिर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है $K_{n}/q^{2/n}$ कहाँ $q$ प्रत्येक कण के लिए उपलब्ध क्वांटम स्पिन अवस्थाओं की संख्या है ($q=2$ इलेक्ट्रॉनों के लिए)। यदि तरंग फ़ंक्शन सममित है, तो विरोधी सममित के बजाय, जैसे कि

$\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

सभी के लिए $1\leq i,j\leq N$, अटल $K_{n}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है $K_{n}/N^{2/n}$. असमानता (2) किसी दिए गए घनत्व को प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम गतिज ऊर्जा का वर्णन करता है $\rho _{\psi }$ साथ $N$ में कण $n$ आयाम। अगर $L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }$ धारण करने के लिए सिद्ध किया गया था, के दाहिने हाथ की ओर (2) के लिए $n=3$ थॉमस-फर्मी मॉडल | थॉमस-फर्मी सिद्धांत में निश्चित रूप से गतिज ऊर्जा शब्द होगा।

असमानता की तुलना सोबोलेव असमानता से की जा सकती है। एम। रुमिन गतिज ऊर्जा असमानता व्युत्पन्न (2) (एक छोटे स्थिरांक के साथ) सीधे लिब-थिरिंग असमानता के उपयोग के बिना।

पदार्थ की स्थिरता

(अधिक जानकारी के लिए, पदार्थ पृष्ठ की स्थिरता पढ़ें)

लाइब और थिरिंग द्वारा प्रस्तुत पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में गतिज ऊर्जा असमानता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) विचाराधीन एक प्रणाली का वर्णन करता है $N$ के साथ कण $q$ स्पिन स्टेट्स और $M$ स्थानों पर निश्चित परमाणु नाभिक $R_{j}\in \mathbb {R} ^{3}$ बिजली का आवेश के साथ $Z_{j}>0$. कण और नाभिक एक दूसरे के साथ इलेक्ट्रोस्टैटिक कूलम्ब बल के माध्यम से बातचीत करते हैं और एक मनमाना चुंबकीय क्षेत्र पेश किया जा सकता है। यदि विचाराधीन कण फरमिओन्स हैं (अर्थात तरंग फलन $\psi$ विषम है), तो गतिज ऊर्जा असमानता (2) स्थिरांक के साथ धारण करता है $K_{n}/q^{2/n}$ (नहीं $K_{n}/N^{2/n}$). यह fermions की एक प्रणाली के लिए पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में एक महत्वपूर्ण घटक है। यह सुनिश्चित करता है कि जमीनी राज्य ऊर्जा $E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})$ सिस्टम को केवल अधिकतम नाभिक आवेशों के आधार पर एक स्थिरांक से नीचे से बांधा जा सकता है, $Z_{\max }$, कणों की संख्या का गुना,

$E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.$

प्रणाली तब पहली तरह की स्थिर होती है क्योंकि जमीनी-राज्य ऊर्जा नीचे से बंधी होती है और दूसरी तरह की भी स्थिर होती है, अर्थात कणों और नाभिकों की संख्या के साथ रैखिक रूप से घटती ऊर्जा। इसकी तुलना में, यदि कणों को बोसोन माना जाता है (अर्थात वेव फंक्शन $\psi$ सममित है), तो गतिज ऊर्जा असमानता (2) केवल स्थिरांक के साथ धारण करता है $K_{n}/N^{2/n}$ और जमीनी अवस्था ऊर्जा के लिए केवल रूप की एक सीमा $-CN^{5/3}$ रखती है। शक्ति के बाद से $5/3$ इष्टतम दिखाया जा सकता है, बोसॉन की एक प्रणाली पहली तरह की स्थिर है लेकिन दूसरी तरह की अस्थिर है।

सामान्यीकरण

अगर लाप्लासियन $-\Delta =-\nabla ^{2}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $(\mathrm {i} \nabla +A(x))^{2}$, कहाँ $A(x)$ में एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर क्षमता है $\mathbb {R} ^{n},$ लाइब-थिरिंग असमानता (1) सत्य रहता है। इस कथन की उपपत्ति प्रतिचुंबकीय असमानता का उपयोग करती है। हालांकि वर्तमान में सभी ज्ञात स्थिरांक $L_{\gamma ,n}$ अपरिवर्तित रहते हैं, यह ज्ञात नहीं है कि यह सामान्य रूप से सर्वोत्तम संभव स्थिरांक के लिए सत्य है या नहीं।

लाप्लासियन को अन्य शक्तियों द्वारा भी बदला जा सकता है $-\Delta$. विशेष रूप से ऑपरेटर के लिए ${\sqrt {-\Delta }}$, एक लाइब-थिरिंग असमानता के समान (1) एक अलग स्थिरांक के साथ धारण करता है $L_{\gamma ,n}$ और दाईं ओर की शक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया गया $\gamma +n$. समान रूप से एक गतिज असमानता के समान (2) रखती है, साथ $1+2/n$ द्वारा प्रतिस्थापित $1+1/n$, जिसका उपयोग आरोपों पर अतिरिक्त मान्यताओं के तहत सापेक्षतावादी श्रोडिंगर ऑपरेटर के लिए मामले की स्थिरता को साबित करने के लिए किया जा सकता है $Z_{k}$. संक्षेप में, लिब-थिरिंग असमानता (1) ईगेनवैल्यू ​​की दूरियों पर एक ऊपरी सीमा देता है $\lambda _{j}$ आवश्यक स्पेक्ट्रम के लिए $[0,\infty )$ गड़बड़ी के संदर्भ में $V$. जैकोबी संचालकों के लिए समान असमानताएँ सिद्ध की जा सकती हैं।

साहित्य

• Lieb, E.H.; Seiringer, R. (2010). क्वांटम यांत्रिकी में पदार्थ की स्थिरता (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521191180.
• Hundertmark, D. (2007). "Some bound state problems in quantum mechanics". In Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (eds.). वर्णक्रमीय सिद्धांत और गणितीय भौतिकी: बैरी साइमन के 60वें जन्मदिन के सम्मान में एक उत्सव. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 76. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 463–496. Bibcode:2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.

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