फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची: Difference between revisions
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*** जब इनपुट फ़ंक्शन/वेवफॉर्म आवधिक होता है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म आउटपुट | *** जब इनपुट फ़ंक्शन/वेवफॉर्म आवधिक होता है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म आउटपुट डायराक कंघी फ़ंक्शन होता है, जो परिमित-मूल्य वाले गुणांक के असतत अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है जो सामान्य रूप से जटिल-मूल्यवान होते हैं। इन्हें फूरियर श्रृंखला गुणांक कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला शब्द वास्तव में व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को संदर्भित करता है, जो फूरियर श्रृंखला गुणांक द्वारा भारित, अलग-अलग आवृत्तियों पर साइनसॉइड का योग है। | ||
*** जब इनपुट फ़ंक्शन के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो फूरियर रूपांतरण निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का | *** जब इनपुट फ़ंक्शन के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो फूरियर रूपांतरण निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस हिस्से का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फ़ंक्शन की अवधि के रूप में मानने और फूरियर श्रृंखला गुणांक की गणना करके समान असतत सेट प्राप्त किया जाता है। | ||
** [[साइन और कोसाइन रूपांतरित होता है]]: जब इनपुट फ़ंक्शन में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म साइन या कोसाइन ट्रांसफॉर्म में कम हो जाता है। | ** [[साइन और कोसाइन रूपांतरित होता है]]: जब इनपुट फ़ंक्शन में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म साइन या कोसाइन ट्रांसफॉर्म में कम हो जाता है। | ||
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* असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी): | * असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी): निरंतर फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफॉर्म के बराबर जो कि डिराक कंघी को मॉड्यूलेट करने के लिए नमूना मानों का उपयोग करके असतत इनपुट फ़ंक्शन से बनाया गया है। जब नमूना मान वास्तविक रेखा, ƒ(''x'') पर किसी फ़ंक्शन का नमूना लेकर प्राप्त किया जाता है, तो डीटीएफटी फू के फूरियर रूपांतरण के [[आवधिक योग]] के बराबर होता है। डीटीएफटी आउटपुट हमेशा [[अवधि (भौतिकी)]] (चक्रीय) होता है। वैकल्पिक दृष्टिकोण यह है कि डीटीएफटी आवृत्ति डोमेन में परिवर्तन है जो चक्र की लंबाई से घिरा (या ''परिमित'') है। | ||
** [[असतत फूरियर रूपांतरण]] (डीएफटी): | ** [[असतत फूरियर रूपांतरण]] (डीएफटी): | ||
*** जब इनपुट अनुक्रम आवधिक होता है, तो डीटीएफटी आउटपुट भी | *** जब इनपुट अनुक्रम आवधिक होता है, तो डीटीएफटी आउटपुट भी डायराक कंघी फ़ंक्शन होता है, जो फूरियर श्रृंखला के गुणांक द्वारा संशोधित होता है<ref>The Fourier series represents <math>\scriptstyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\cdot \delta(t-nT),</math> where T is the interval between samples.</ref> जिसकी गणना इनपुट अनुक्रम के चक्र के डीएफटी के रूप में की जा सकती है। डीएफटी के चक्र में अलग-अलग मानों की संख्या इनपुट अनुक्रम के चक्र के समान है। | ||
*** जब इनपुट अनुक्रम के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो डीटीएफटी निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का | *** जब इनपुट अनुक्रम के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो डीटीएफटी निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस हिस्से का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फ़ंक्शन के चक्र के रूप में मानने और डीएफटी की गणना करके समान असतत सेट प्राप्त किया जाता है। | ||
** असतत साइन और कोसाइन परिवर्तन: जब इनपुट अनुक्रम में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो डीटीएफटी | ** असतत साइन और कोसाइन परिवर्तन: जब इनपुट अनुक्रम में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो डीटीएफटी [[असतत साइन परिवर्तन]] (डीएसटी) या [[असतत कोसाइन परिवर्तन]] (डीसीटी) में कम हो जाता है। | ||
*** [[प्रतिगामी असतत फूरियर श्रृंखला]], जिसमें अवधि पहले से तय करने के बजाय डेटा द्वारा निर्धारित की जाती है। | *** [[प्रतिगामी असतत फूरियर श्रृंखला]], जिसमें अवधि पहले से तय करने के बजाय डेटा द्वारा निर्धारित की जाती है। | ||
** असतत चेबीशेव रूपांतरण (पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों के 'रूट्स' ग्रिड और 'एक्स्ट्रेमा' ग्रिड पर)। अंतर समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय तरीकों के क्षेत्र में यह परिवर्तन बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग ग्रिड बिंदु मानों से चेबीशेव श्रृंखला गुणांक तक तेजी से और कुशलता से जाने के लिए किया जा सकता है। | ** असतत चेबीशेव रूपांतरण (पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों के 'रूट्स' ग्रिड और 'एक्स्ट्रेमा' ग्रिड पर)। अंतर समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय तरीकों के क्षेत्र में यह परिवर्तन बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग ग्रिड बिंदु मानों से चेबीशेव श्रृंखला गुणांक तक तेजी से और कुशलता से जाने के लिए किया जा सकता है। | ||
* सामान्यीकृत डीएफटी (जीडीएफटी), डीएफटी और निरंतर मापांक परिवर्तनों का | * सामान्यीकृत डीएफटी (जीडीएफटी), डीएफटी और निरंतर मापांक परिवर्तनों का सामान्यीकरण जहां चरण कार्य पूर्णांक और वास्तविक मूल्य वाले ढलानों के साथ रैखिक हो सकते हैं, या यहां तक कि गैर-रैखिक चरण भी हो सकते हैं जो विभिन्न मैट्रिक्स के इष्टतम डिजाइन के लिए लचीलापन लाते हैं, उदाहरण के लिए। ऑटो- और क्रॉस-सहसंबंध। | ||
* [[असतत-अंतरिक्ष फूरियर रूपांतरण]] (डीएसएफटी) 1डी सिग्नल से 2डी सिग्नल तक डीटीएफटी का सामान्यीकरण है। इसे असतत-समय के बजाय असतत-स्थान कहा जाता है क्योंकि सबसे प्रचलित अनुप्रयोग इमेजिंग और छवि प्रसंस्करण के लिए है जहां इनपुट फ़ंक्शन तर्क स्थानिक निर्देशांक के समान दूरी वाले नमूने हैं <math>(x,y)</math>. डीएसएफटी आउटपुट दोनों वेरिएबल्स में अवधि (भौतिकी) है। | * [[असतत-अंतरिक्ष फूरियर रूपांतरण]] (डीएसएफटी) 1डी सिग्नल से 2डी सिग्नल तक डीटीएफटी का सामान्यीकरण है। इसे असतत-समय के बजाय असतत-स्थान कहा जाता है क्योंकि सबसे प्रचलित अनुप्रयोग इमेजिंग और छवि प्रसंस्करण के लिए है जहां इनपुट फ़ंक्शन तर्क स्थानिक निर्देशांक के समान दूरी वाले नमूने हैं <math>(x,y)</math>. डीएसएफटी आउटपुट दोनों वेरिएबल्स में अवधि (भौतिकी) है। | ||
* [[जेड को बदलने]], संपूर्ण [[जटिल विमान]] में डीटीएफटी का | * [[जेड को बदलने]], संपूर्ण [[जटिल विमान]] में डीटीएफटी का सामान्यीकरण | ||
* [[संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन]] (एमडीसीटी) | * [[संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन]] (एमडीसीटी) | ||
* [[असतत हार्टले परिवर्तन]] (DHT) | * [[असतत हार्टले परिवर्तन]] (DHT) | ||
Revision as of 16:34, 8 July 2023
यह फूरियर विश्लेषण से संबंधित फ़ंक्शन (गणित) के रैखिक परिवर्तनों की सूची है। इस तरह के परिवर्तन आधार कार्य को आधार फ़ंक्शन के गुणांकों के सेट में मैप करते हैं, जहां आधार फ़ंक्शन त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन होते हैं और इसलिए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में दृढ़ता से स्थानीयकृत होते हैं। (ये परिवर्तन आम तौर पर उलटे होने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।) फूरियर ट्रांसफॉर्म के मामले में, प्रत्येक आधार फ़ंक्शन एकल आवृत्ति घटक से मेल खाता है।
निरंतर परिवर्तन
निरंतर तर्कों के कार्यों पर लागू, फूरियर-संबंधित परिवर्तनों में शामिल हैं:
- दो तरफा लाप्लास परिवर्तन
- मध्य परिवर्तन, और निकट संबंधी अभिन्न परिवर्तन
- लाप्लास परिवर्तन
- फूरियर रूपांतरण, विशेष मामलों के साथ:
- फोरियर श्रेणी
- जब इनपुट फ़ंक्शन/वेवफॉर्म आवधिक होता है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म आउटपुट डायराक कंघी फ़ंक्शन होता है, जो परिमित-मूल्य वाले गुणांक के असतत अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है जो सामान्य रूप से जटिल-मूल्यवान होते हैं। इन्हें फूरियर श्रृंखला गुणांक कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला शब्द वास्तव में व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को संदर्भित करता है, जो फूरियर श्रृंखला गुणांक द्वारा भारित, अलग-अलग आवृत्तियों पर साइनसॉइड का योग है।
- जब इनपुट फ़ंक्शन के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो फूरियर रूपांतरण निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस हिस्से का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फ़ंक्शन की अवधि के रूप में मानने और फूरियर श्रृंखला गुणांक की गणना करके समान असतत सेट प्राप्त किया जाता है।
- साइन और कोसाइन रूपांतरित होता है: जब इनपुट फ़ंक्शन में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म साइन या कोसाइन ट्रांसफॉर्म में कम हो जाता है।
- फोरियर श्रेणी
- हार्टले परिवर्तन
- अल्पावधि फूरियर रूपांतरण (या अल्पकालिक फूरियर रूपांतरण) (एसटीएफटी)
- चिरप्लेट परिवर्तन
- फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण (एफआरएफटी)
- हैंकेल परिवर्तन : रेडियल फ़ंक्शंस के फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म से संबंधित।
- फूरियर-ब्रोस-इयागोलनित्जर परिवर्तन
- रैखिक विहित परिवर्तन
असतत परिवर्तन
कंप्यूटर, संख्या सिद्धांत और बीजगणित पर उपयोग के लिए, अलग-अलग तर्क (उदाहरण के लिए अलग-अलग नमूनों की श्रृंखला के कार्य) अक्सर अधिक उपयुक्त होते हैं, और परिवर्तनों द्वारा नियंत्रित किए जाते हैं (उपरोक्त निरंतर मामलों के अनुरूप):
- असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी): निरंतर फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफॉर्म के बराबर जो कि डिराक कंघी को मॉड्यूलेट करने के लिए नमूना मानों का उपयोग करके असतत इनपुट फ़ंक्शन से बनाया गया है। जब नमूना मान वास्तविक रेखा, ƒ(x) पर किसी फ़ंक्शन का नमूना लेकर प्राप्त किया जाता है, तो डीटीएफटी फू के फूरियर रूपांतरण के आवधिक योग के बराबर होता है। डीटीएफटी आउटपुट हमेशा अवधि (भौतिकी) (चक्रीय) होता है। वैकल्पिक दृष्टिकोण यह है कि डीटीएफटी आवृत्ति डोमेन में परिवर्तन है जो चक्र की लंबाई से घिरा (या परिमित) है।
- असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी):
- जब इनपुट अनुक्रम आवधिक होता है, तो डीटीएफटी आउटपुट भी डायराक कंघी फ़ंक्शन होता है, जो फूरियर श्रृंखला के गुणांक द्वारा संशोधित होता है[1] जिसकी गणना इनपुट अनुक्रम के चक्र के डीएफटी के रूप में की जा सकती है। डीएफटी के चक्र में अलग-अलग मानों की संख्या इनपुट अनुक्रम के चक्र के समान है।
- जब इनपुट अनुक्रम के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो डीटीएफटी निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। लेकिन इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस हिस्से का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फ़ंक्शन के चक्र के रूप में मानने और डीएफटी की गणना करके समान असतत सेट प्राप्त किया जाता है।
- असतत साइन और कोसाइन परिवर्तन: जब इनपुट अनुक्रम में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो डीटीएफटी असतत साइन परिवर्तन (डीएसटी) या असतत कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी) में कम हो जाता है।
- प्रतिगामी असतत फूरियर श्रृंखला, जिसमें अवधि पहले से तय करने के बजाय डेटा द्वारा निर्धारित की जाती है।
- असतत चेबीशेव रूपांतरण (पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों के 'रूट्स' ग्रिड और 'एक्स्ट्रेमा' ग्रिड पर)। अंतर समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय तरीकों के क्षेत्र में यह परिवर्तन बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग ग्रिड बिंदु मानों से चेबीशेव श्रृंखला गुणांक तक तेजी से और कुशलता से जाने के लिए किया जा सकता है।
- असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी):
- सामान्यीकृत डीएफटी (जीडीएफटी), डीएफटी और निरंतर मापांक परिवर्तनों का सामान्यीकरण जहां चरण कार्य पूर्णांक और वास्तविक मूल्य वाले ढलानों के साथ रैखिक हो सकते हैं, या यहां तक कि गैर-रैखिक चरण भी हो सकते हैं जो विभिन्न मैट्रिक्स के इष्टतम डिजाइन के लिए लचीलापन लाते हैं, उदाहरण के लिए। ऑटो- और क्रॉस-सहसंबंध।
- असतत-अंतरिक्ष फूरियर रूपांतरण (डीएसएफटी) 1डी सिग्नल से 2डी सिग्नल तक डीटीएफटी का सामान्यीकरण है। इसे असतत-समय के बजाय असतत-स्थान कहा जाता है क्योंकि सबसे प्रचलित अनुप्रयोग इमेजिंग और छवि प्रसंस्करण के लिए है जहां इनपुट फ़ंक्शन तर्क स्थानिक निर्देशांक के समान दूरी वाले नमूने हैं . डीएसएफटी आउटपुट दोनों वेरिएबल्स में अवधि (भौतिकी) है।
- जेड को बदलने, संपूर्ण जटिल विमान में डीटीएफटी का सामान्यीकरण
- संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन (एमडीसीटी)
- असतत हार्टले परिवर्तन (DHT)
- इसके अलावा विवेकाधीन एसटीएफटी (ऊपर देखें)।
- हैडामर्ड परिवर्तन (वाल्श समारोह)।
- फूरियर परिमित समूहों पर रूपांतरित होता है।
- असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य)।
इन सभी परिवर्तनों का उपयोग फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) पर आधारित कुशल एल्गोरिदम के अस्तित्व से काफी सुविधाजनक है। ऐसे अलग-अलग परिवर्तनों के आउटपुट को समझने के लिए नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय महत्वपूर्ण है।
यह भी देखें
- अभिन्न परिवर्तन
- तरंगिका परिवर्तन
- फूरियर-परिवर्तन स्पेक्ट्रोस्कोपी
- हार्मोनिक विश्लेषण
- परिवर्तनों की सूची
- गणितीय संचालकों की सूची
- बिस्पेक्ट्रम
टिप्पणियाँ
- ↑ The Fourier series represents where T is the interval between samples.
संदर्भ
- A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- A. N. Akansu and H. Agirman-Tosun, "Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, no. 9, pp. 4547-4556, Sept. 2010.
