तरंगिका परिवर्तन

File:Jpeg2000 2-level wavelet transform-lichtenstein.png

2D असतत तरंगिका परिवर्तन का उदाहरण जिसका उपयोग जेपीईजी2000 में किया जाता है।

For broader coverage of this topic, see तरंगिका.

गणित में, तरंगिका श्रृंखला तरंगिका द्वारा उत्पन्न निश्चित प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण श्रृंखला (गणित) द्वारा वर्ग-अभिन्न (वास्तविक संख्या- या जटिल संख्या-मानित) फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व करती है। यह लेख प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका और पूर्णांकी तरंगिका परिवर्तन की औपचारिक, गणितीय परिभाषा प्रदान करती है।

परिभाषा

इस प्रकार से एक फलन $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ को प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका कहा जाता है यदि इसका उपयोग हिल्बर्ट समष्टि प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधारों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि हिल्बर्ट समष्टि $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ के लिए वर्ग-अभिन्न फलन का प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार है ।

हिल्बर्ट आधार का निर्माण पूर्णांकों $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$ के लिए $\psi \,$

$\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,$

के युग्मकीय परिवर्तन(ज्यामिति) और विस्फार (संक्रियक सिद्धांत) के माध्यम से फलन $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ के वर्ग के रूप में किया गया है।

यदि मानक आंतरिक उत्पाद के अंतर्गत $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$,

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx$

यह वर्ग प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण है, यह प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रणाली है:

${\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}$

जहाँ $\delta _{jl}\,$ क्रोनकर डेल्टा है।

पूर्णता तब संतुष्ट होती है जब प्रत्येक फलन $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ को श्रृंखला के अभिसरण के साथ

$f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)$

के रूप में आधार में विस्तारित किया जा सकता है, जिसे मानक में अभिसरण समझा जाता है। इस प्रकार से F के इस प्रकार के प्रतिनिधित्व को 'तरंगिका श्रृंखला' के रूप में जाना जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका दोहरी तरंगिका या स्व-दोहरी है।

'पूर्णांकी तरंगिका परिवर्तन' को अभिन्न परिवर्तन

$\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

तरंगिका गुणांक $c_{jk}$ को फिर

$c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$ द्वारा दिया जाता है।

इस प्रकार से यहाँ, $a=2^{-j}$ बाइनरी विस्फार या युग्मकीय विस्फार कहा जाता है, और $b=k2^{-j}$ बाइनरी या युग्मकीय स्थिति कहा जाता है।

सिद्धांत

तरंगिका परिवर्तन का मूल विचार यह है कि परिवर्तन को मात्र समय विस्फार में परिवर्तन की अनुमति देनी चाहिए, परन्तु आकार में नहीं। इसे इसके लिए अनुमति देने वाले उपयुक्त आधार फलनों को चुनकर प्राप्त किया जाता है। समय विस्फार में परिवर्तन आधार फलन की संगत विश्लेषण आवृत्ति के अनुरूप होने की अपेक्षा है। संकेत प्रोसेसिंग के अनिश्चितता सिद्धांत के आधार पर,

$\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}$

जहाँ $t$ समय का प्रतिनिधित्व करता है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति ($\omega =2\pi f$, जहाँ $f$ सामान्य आवृत्ति है)

समय में आवश्यक विभेदन जितना अधिक होगा, आवृत्ति में विभेदन उतना ही कम होगा। विश्लेषण विंडो फलन का विस्फार जितना बड़ा चुना जाएगा, $\Delta t$ का मान उतना ही बड़ा होगा।

इस प्रकार से जब $\Delta t$ बड़ी है,

1. निकृष्ट समय का हल
2. ठीक आवृत्ति विभेदन
3. कम आवृत्ति, बड़े सोपानी कारक

अतः जब $\Delta t$ छोटा है

1. शुभ समय विभेदन
2. निकृष्ट आवृत्ति विभेदन
3. उच्च आवृत्ति, छोटे सोपानी कारक

दूसरे शब्दों में, आधार फलन $\psi$ को उस पद्धति के आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसके साथ फलन $x(t)$ को निस्यंदित किया गया है। परिवर्तित संकेत समय और आवृत्ति के विषय में सूचना प्रदान करता है। इसलिए, तरंगिका-परिवर्तनेशन में लघु-समय फूरियर रूपांतरण के समान सूचना होती है, परन्तु तरंगिका के अतिरिक्त विशेष गुणों के साथ, जो आधार फलन के उच्च विश्लेषण आवृत्तियों पर समय में विभेदन पर दिखाई देते हैं। फूरियर परिवर्तन और तरंगिका परिवर्तन के लिए आरोही आवृत्तियों पर समय विभेदन में अंतर नीचे दिखाया गया है। यद्यपि, ध्यान दें कि बढ़ती आवृत्तियों के लिए आवृत्ति विभेदन कम हो रहा है जबकि अस्थायी विभेदन बढ़ता है। फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत का यह परिणाम चित्र में ठीक रूप से प्रदर्शित नहीं किया गया है।

इससे पता चलता है कि उच्च आवृत्तियों के समय विभेदन में तरंगिका परिवर्तन ठीक है, जबकि धीरे-धीरे बदलते फलनों के लिए, आवृत्ति विभेदन उल्लेखनीय है।

इस प्रकार से एक अन्य उदाहरण: एसटीएफटी और तरंगिका-परिवर्तन के साथ तीन अध्यारोपित ज्यावक्रीय संकेत$y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ का विश्लेषण।

File:Analysis of three superposed sinusoidal signals.jpg

तरंगिका संपीड़न

See also: असतत तरंगिका परिवर्तन

तरंगिका संपीड़न डेटा संपीड़न का एक ऐसा रूप है जो प्रतिबिंब संपीड़न (कभी-कभी वीडियो संपीड़न और ऑडियो संपीड़न (डेटा)) के लिए भी उपयुक्त है। उल्लेखनीय कार्यान्वयन स्थिर प्रतिबिम्बों के लिए जेपीईजी 2000, डीजेवीयू और ईसीडब्ल्यू (फ़ाइल प्रारूप), जेपीईजी एक्सएस, सिनेफॉर्म और बीबीसी का डिरैक (कोडेक) हैं। लक्ष्य कम्प्यूटर फाइल में प्रतिबिंब डेटा को यथासंभव कम स्थान में संग्रहीत करना है। तरंगिका संपीड़न या तो दोषरहित डेटा संपीड़न या हानिपूर्ण डेटा संपीड़न हो सकता है।

इस प्रकार से तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करते हुए, तरंगिका संपीड़न विधियाँ क्षणिक (ध्वनिकी) का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं, जैसे कि ऑडियो में आधाती ध्वनियाँ, या दो-आयामी प्रतिबिम्बों में उच्च-आवृत्ति घटक, उदाहरण के लिए रात्रि के आकाश पर सितारों के प्रतिबिम्ब है। इसका अर्थ यह है कि डेटा संकेत के क्षणिक अवयवों को सूचना की छोटी मात्रा द्वारा दर्शाया जा सकता है, यदि कोई अन्य परिवर्तन, जैसे कि अधिक व्यापक असतत कोज्या परिवर्तन, का उपयोग किया गया होता, तो ऐसा होता।

इस प्रकार से वैद्युतहृद्लेखी (ईसीजी) संकेतों के संपीड़न के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन को सफलतापूर्वक लागू किया गया है अतः इस फलन में, क्रमिक हृदय चक्रों के संकेतों के संबंधित तरंगिका गुणांक के बीच उच्च सहसंबंध का उपयोग रैखिक भविष्यवाणी को नियोजित करके किया जाता है।

तरंगिका संपीड़न सभी प्रकार के डेटा के लिए प्रभावी नहीं है। तरंगिका संपीड़न क्षणिक संकेतों को ठीक रूप से संभालता है। परन्तु सुचारू, आवधिक संकेतों को अन्य विधियों का उपयोग करके ठीक रूप से संपीड़ित किया जाता है, विशेष रूप से फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची के साथ आवृत्ति डोमेन में पारंपरिक प्रसंवादी विश्लेषण आदि । क्षणिक और आवधिक दोनों विशेषताओं वाले डेटा को संपीड़ित करना संकर तकनीकों के साथ किया जा सकता है जो पारंपरिक प्रसंवादी विश्लेषण के साथ तरंगिकाओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, वॉर्बिस ऑडियो कोडेक मुख्य रूप से ऑडियो को संपीड़ित करने के लिए संशोधित असतत कोज्या परिवर्तन का उपयोग करता है (जो सामान्यतः सुचारू और आवधिक होता है), यद्यपि क्षणिकाएँ की ठीक ध्वनि गुणवत्ता के लिए संकर तरंगिका निस्यंदक बैंक को जोड़ने की अनुमति देता है।

इस प्रकार से वीडियो संपीड़न के लिए तरंगिका का उपयोग करने वाली वर्तमान विधियों की व्यावहारिक समस्याओं पर चर्चा के लिए डायरी ऑफ़ एन एक्स264 डेवलपर: तरंगिका के साथ समस्याएं (2010) देखें।

विधि

सर्वप्रथम तरंगिका परिवर्तन लागू किया जाता है। यह उतने ही गुणांक उत्पन्न करता है जितने प्रतिबिंब में पिक्सेल हैं (अर्थात, अभी तक कोई संपीड़न नहीं है क्योंकि यह मात्र परिवर्तन है)। फिर इन गुणांकों को अधिक सरलता से संपीड़ित किया जा सकता है क्योंकि सूचना सांख्यिकीय रूप से मात्र कुछ गुणांकों में केंद्रित होती है। इस सिद्धांत को कोडिंग का रूपांतरण कहा जाता है। उसके बाद, गुणांक परिमाणीकरण (संकेत प्रोसेसिंग) हैं और परिमाणित मान एन्ट्रापी एन्कोडिंग और/या रन-लेंथ एन्कोडिंग हैं।

इस प्रकार से तरंगिका संपीड़न के कुछ 1डी और 2डी अनुप्रयोग तरंगिका चरणचिन्ह नामक तकनीक का उपयोग करते हैं।

मूल्यांकन

प्रतिबिंब संपीड़न के लिए आवश्यकता

अधिकांश प्राकृतिक प्रतिबिम्बों के लिए, कम आवृत्ति का वर्णक्रम घनत्व अधिक होता है। परिणामस्वरूप, कम आवृत्ति संकेत (संदर्भ संकेत) की सूचना सामान्यतः संरक्षित रहती है, जबकि विस्तृत संकेत की सूचना अस्वीकृत कर दी जाती है। इस प्रकार से प्रतिबिंब संपीड़न और पुनर्निर्माण के परिप्रेक्ष्य से, तरंगिका को प्रतिबिंब संपीड़न करते समय निम्नलिखित मानदंडों को पूर्ण करना चाहिए:

• अधिक मूल प्रतिबिंब को संदर्भ संकेत में बदलने में सक्षम होना।
• संदर्भ संकेत के आधार पर उच्चतम निष्ठा पुनर्निर्माण।
• अकेले संदर्भ संकेत से पुनर्निर्मित प्रतिबिंब में कलाकृतियाँ नहीं होनी चाहिए।

परिवर्तन विचरण और वलयन व्यवहार के लिए आवश्यकता

तरंगिका प्रतिबिंब संपीड़न प्रणाली में निस्यंदन और संहार सम्मिलित है, इसलिए इसे रैखिक परिवर्तन-प्रकार प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार से विशिष्ट तरंगिका परिवर्तन आरेख नीचे प्रदर्शित किया गया है:

फ्रेमलेस

परिवर्तन प्रणाली में दो विश्लेषण निस्यंदक (एक कम पास निस्यंदक $h_{0}(n)$ और उच्च पास निस्यंदन $h_{1}(n)$), क्षय प्रक्रिया, प्रक्षेप प्रक्रिया, और दो संश्लेषण निस्यंदन ($g_{0}(n)$ और $g_{1}(n)$ सम्मिलित हैं। संपीड़न और पुनर्निर्माण प्रणाली में सामान्यतः कम आवृत्ति वाले घटक सम्मिलित होते हैं, जो प्रतिबिंब संपीड़न के लिए विश्लेषण निस्यंदक $h_{0}(n)$ और पुनर्निर्माण के लिए संश्लेषण फलन $g_{0}(n)$ है। ऐसी प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए, हम आवेग $\delta (n-n_{i})$ निविष्ट कर सकते हैं और इसके पुनर्निर्माण $h(n-n_{i})$ का निरीक्षण कर सकते हैं; इष्टतम तरंगिका वे हैं जो $h(n-n_{i})$ में न्यूनतम परिवर्तन विचरण और पार्श्‍व पालि लाते हैं । यद्यपि दृढ परिवर्तन विचरण के साथ तरंगिका यथार्थवादी नहीं है, मात्र साधारण परिवर्तन विचरण के साथ तरंगिका का चयन करना संभव है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, हम दो निस्यंदक के परिवर्तन विचरण की तुलना कर सकते हैं:

Biorthogonal filters for wavelet image compression

		लम्बाई	निस्यंदन गुणांक	नियमितता
तरंगिका निस्यंदन 1	H0	9	.852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828	1.068
	G0	7	.788486, .418092, -.040689, -.064539	1.701
तरंगिका निस्यंदन 2	H0	6	.788486, .047699, -.129078	0.701
	G0	10	.615051, .133389, -.067237, .006989, .018914	2.068

दो निस्यंदन की आवेग प्रतिक्रियाओं को देखकर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरा निस्यंदन निविष्ट समष्टि के प्रति कम संवेदनशील है (अर्थात यह कम परिवर्तन प्रकार है)।

प्रतिबिंब संपीड़न और पुनर्निर्माण के लिए और महत्वपूर्ण समस्या पद्धति का दोलन व्यवहार है, जो पुनर्निर्मित प्रतिबिंब में गंभीर अवांछित कलाकृतियों को जन्म दे सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, तरंगिका निस्यंदन में पार्श्‍व पालि अनुपात के लिए बड़ा शीर्ष होना चाहिए।

अब तक हमने प्रतिबिंब संपीड़न प्रणाली के एक-आयामी परिवर्तन के विषय में चर्चा की है। इस समस्या को दो आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जबकि अधिक सामान्य शब्द - परिवर्तनीय बहु पैमाना परिवर्तन - प्रस्तावित है।

आवेग प्रतिक्रिया की व्युत्पत्ति

अतः जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्रतिबिंब संपीड़न/पुनर्निर्माण प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए आवेग प्रतिक्रिया का उपयोग किया जा सकता है।

निविष्ट अनुक्रम $x(n)=\delta (n-n_{i})$ के लिए, अपघटन के एक स्तर के बाद संदर्भ संकेत $r_{1}(n)$ $x(n)*h_{0}(n)$ दो के कारक द्वारा क्षय से गुजरता है, जबकि $h_{0}(n)$ निम्न पास निस्यंदक है। इसी प्रकार, $r_{2}(n)$ द्वारा प्राप्त अगला संदर्भ संकेत $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ दो के कारक से क्षय से गुजरता है। अपघटन (और क्षय) के L स्तर के बाद, विश्लेषण प्रतिक्रिया प्रत्येक $2^{L}$ प्रतिदर्शों में से एक को बनाए रखकर प्राप्त की जाती है: $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$।

दूसरी ओर, संकेत x(n) को फिर से बनाने के लिए, हम संदर्भ $r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})$पर विचार कर सकते हैं। यदि विवरण संकेत $d_{i}(n)$ $1\leq i\leq L$ के लिए शून्य के बराबर हैं, तो पिछले चरण ($L-1$ अवस्था) पर संदर्भ संकेत $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$ है, जो $r_{L}(n)$ को प्रक्षेपित करके और $g_{0}(n)$के साथ संयोजित करके प्राप्त किया जाता है। इसी प्रकार, चरण $L-2,L-3,....,1$ पर संदर्भ संकेत $r(n)$ प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है। L पुनरावृत्तियों के बाद, संश्लेषण आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जाती है: $h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$, जो संदर्भ संकेत $r_{L}(n)$ और पुनर्निर्मित संकेत से संबंधित है।

इस प्रकार से समग्र L स्तर विश्लेषण/संश्लेषण प्रणाली प्राप्त करने के लिए, विश्लेषण और संश्लेषण प्रतिक्रियाओं को निम्नानुसार संयोजित किया गया है:

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$।

अंत में, पहले पार्श्‍व पालि अनुपात का शीर्ष और समग्र आवेग प्रतिक्रिया $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$ के औसत दूसरे पार्श्‍व पालि तरंगिका प्रतिबिंब संपीड़न निष्पादन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण और समय-आवृत्ति विश्लेषण के साथ तुलना

परिवर्तन	निरूपण	निवेश
फूरियर अंतरण	${\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$	$f$ : आवृत्ति
समय-आवृत्ति विश्लेषण	$X(t,f)$	$t$ समय; $f$ आवृत्ति
तरंगिका परिवर्तन	$X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt$	$a$ सोपानी ; $b$ समय परिवर्तन कारक

विशिष्ट आवृत्तियों की जांच करते समय गणना को कम करने में फूरियर परिवर्तनों की तुलना में तरंगिका के कुछ साधारण लाभ हैं। यद्यपि, वे संभवतः कभी अधिक संवेदनशील होते हैं, और वस्तुतः, सामान्य मोरलेट तरंगिका गणितीय रूप से गॉसियन विंडो फलन का उपयोग करके कम समय के फूरियर रूपांतरण के समान है। इस प्रकार से अपवाद तब होता है जब किसी ज्ञात, गैर-ज्यावक्रीय आकार (जैसे, ह्रदय स्पंद) के संकेतों की खोज की जाती है; उस स्थिति में, मिलान किए गए तरंगिका का उपयोग मानक एसटीएफटी/मॉरलेट विश्लेषण से ठीक निष्पादन कर सकता है।

अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग

तरंगिका परिवर्तन हमें संकेतों की आवृत्ति और उन आवृत्तियों से जुड़े समय प्रदान कर सकता है, जिससे कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग के लिए यह बहुत सुविधाजनक हो जाता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, चाल विश्लेषण के लिए त्वरण की संकेत प्रोसेसिंग, त्रुटि संसूचन के लिए, कम शक्ति वाले पेसमेकर के डिजाइन के लिए और अति-विस्बैंतारड (यूडब्ल्यूबी) बेतार संचार में भी है।

1. Discretizing of the $c-\tau$ axis

   Applied the following discretization of frequency and time:

   ${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$

   Leading to wavelets of the form, the discrete formula for the basis wavelet:

   $\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

   Such discrete wavelets can be used for the transformation:

   $Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

2. Implementation via the FFT (fast Fourier transform)

   As apparent from wavelet-transformation representation (shown below)

   $Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$

   where $c$ is scaling factor, $\tau$ represents time shift factor

   and as already mentioned in this context, the wavelet-transformation corresponds to a convolution of a function $y(t)$ and a wavelet-function. A convolution can be implemented as a multiplication in the frequency domain. With this the following approach of implementation results into:

   • Fourier-transformation of signal $y(k)$ with the FFT
   • Selection of a discrete scaling factor $c_{n}$
   • Scaling of the wavelet-basis-function by this factor $c_{n}$ and subsequent FFT of this function
   • Multiplication with the transformed signal YFFT of the first step
   • Inverse transformation of the product into the time domain results in $Y_{W}(c,\tau )$ for different discrete values of $\tau$ and a discrete value of $c_{n}$
   • Back to the second step, until all discrete scaling values for $c_{n}$are processed
   There are many different types of wavelet transforms for specific purposes. See also a full list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below: Mexican hat wavelet, Haar Wavelet, Daubechies wavelet, triangular wavelet.

समय-कारण तरंगिकाएँ

वास्तविक समय में अस्थायी संकेतों को संसाधित करने के लिए, यह आवश्यक है कि तरंगिका निस्यंदन भविष्य से संकेत मानों तक न पहुंचें और साथ ही न्यूनतम अस्थायी विलंबता प्राप्त की जा सके। समय-कारण तरंगिका निरूपण को ज़ू एट अल और लिंडेबर्ग द्वारा विकसित किया गया है, बाद की विधि में स्मृति-कुशल समय-पुनरावर्ती कार्यान्वयन भी सम्मिलित है।

सिंक्रो-निष्पीडित परिवर्तन

इस प्रकार से सिंक्रो-निष्पीडित परिवर्तन पारंपरिक तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के अस्थायी और आवृत्ति विभेदन को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकता है।

यह भी देखें

• सतत तरंगिका परिवर्तन
• असतत तरंगिका परिवर्तन
• जटिल तरंगिका परिवर्तन
• सतत-क्यू परिवर्तन
• स्थिर तरंगिका परिवर्तन
• दोहरी तरंगिका
• न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• बहु विभेदन विश्लेषण
• श्रीएसआईडी, लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला (एलएएनएल) में मूल तरंगिका संपीड़न अनुसंधान से विकसित प्रतिबिंब प्रारूप
• ईसीडब्ल्यू (फ़ाइल प्रारूप), गति और प्रसंस्करण दक्षता के लिए डिज़ाइन किया गया तरंगिका-आधारित भू-स्थानिक प्रतिबिंब प्रारूप
• जेपीईजी 2000, तरंगिका-आधारित प्रतिबिंब संपीड़न मानक
• डीजेवीयू प्रारूप प्रतिबिंब संपीड़न के लिए तरंगिका-आधारित आईडब्ल्यू44 एल्गोरिदम का उपयोग करता है
• स्केलोग्राम, प्रकार का स्पेक्ट्रम चित्र जो कम समय के फूरियर रूपांतरण के अतिरिक्त तरंगिकाओं का उपयोग करके उत्पन्न होता है
• तरंगिका
• हार तरंगिका
• डौबेचिस तरंगिका
• द्विपद क्यूएमएफ (डौबेचिस तरंगिका के रूप में भी जाना जाता है)
• मोरलेट तरंगिका
• गैबोर तरंगिका
• चिरप्लेट परिवर्तन
• समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
• एस परिवर्तन
• समुच्चय पदानुक्रमित ट्री में विभाजन
• अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
• द्वि लाम्बिक लगभग युगल आधार, जो दर्शाता है कि प्रतिबिंब संपीड़न के लिए तरंगिका लगभग युगल (लगभग लाम्बिक) भी हो सकता है।

बाहरी संबंध

• Amara Graps (June 1995). "An Introduction to Wavelets". IEEE Computational Science & Engineering. 2 (2): 50–61. doi:10.1109/99.388960.
• Robi Polikar (2001-01-12). "The Wavelet Tutorial".
• Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger