फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची

यह फूरियर विश्लेषण से संबंधित फलन (गणित) के रैखिक परिवर्तन की सूची है। इस तरह के परिवर्तन आधार फलन को आधार फलन के गुणांकों के समुच्चय में मैप करते हैं, जहां आधार फलन त्रिकोणमितीय फलन होते हैं और इसलिए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में दृढ़ता से स्थानीयकृत होते हैं। (ये परिवर्तन सामान्यतः विपरीत होने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।) फूरियर ट्रांसफॉर्म के स्थिति में, प्रत्येक आधार फलन एकल आवृत्ति घटक से मेल खाता है।

निरंतर परिवर्तन

निरंतर तर्कों के फलनों पर प्रयुक्त, फूरियर-संबंधित परिवर्तनों में सम्मिलित हैं:

• दो तरफा लाप्लास परिवर्तन
• मध्य परिवर्तन, और निकट संबंधी अभिन्न परिवर्तन
• लाप्लास परिवर्तन
• फूरियर रूपांतरण, विशेष स्थितियों के साथ:
  • फोरियर श्रेणी
    • जब इनपुट फलन/वेवफॉर्म आवधिक होता है, जिससे फूरियर ट्रांसफॉर्म आउटपुट डायराक कंघी फलन होता है, जो परिमित-मूल्य वाले गुणांक के असतत अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है जो सामान्य रूप से सम्मिश्र-मूल्यवान होते हैं। इन्हें फूरियर श्रृंखला गुणांक कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला शब्द वास्तव में व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को संदर्भित करता है, जो फूरियर श्रृंखला गुणांक द्वारा भारित, अलग-अलग आवृत्तियों पर साइनसॉइड का योग है।
    • जब इनपुट फलन के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, जिससे फूरियर रूपांतरण निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। किन्तु इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस भाग का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फलन की अवधि के रूप में मानने और फूरियर श्रृंखला गुणांक की गणना करके समान असतत समुच्चय प्राप्त किया जाता है।
  • साइन और कोसाइन रूपांतरित होता है: जब इनपुट फलन में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म साइन या कोसाइन ट्रांसफॉर्म में कम हो जाता है।
• हार्टले परिवर्तन
• अल्पावधि फूरियर रूपांतरण (या अल्पकालिक फूरियर रूपांतरण) (एसटीएफटी)
  • आयताकार आवरण अल्पकालिक फूरियर रूपांतरण
• चिरप्लेट परिवर्तन
• फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण (एफआरएफटी)
• हैंकेल परिवर्तन : रेडियल फलन के फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म से संबंधित।
• फूरियर-ब्रोस-इयागोलनित्जर परिवर्तन
• रैखिक विहित परिवर्तन

असतत परिवर्तन

कंप्यूटर, संख्या सिद्धांत और बीजगणित पर उपयोग के लिए, अलग-अलग तर्क (उदाहरण के लिए अलग-अलग नमूनों की श्रृंखला के फलन) अक्सर अधिक उपयुक्त होते हैं, और परिवर्तनों द्वारा नियंत्रित किए जाते हैं (उपरोक्त निरंतर स्थितियों के अनुरूप):

• असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी): निरंतर फलन के फूरियर ट्रांसफॉर्म के सामान्य जो कि डिराक कंघी को मॉड्यूलेट करने के लिए प्रतिरूप मानों का उपयोग करके असतत इनपुट फलन से बनाया गया है। जब प्रतिरूप मान वास्तविक रेखा, ƒ(x) पर किसी फलन का प्रतिरूप लेकर प्राप्त किया जाता है, तो डीटीएफटी फूरियर रूपांतरण के आवधिक योग के सामान्य होता है। डीटीएफटी आउटपुट सदैव अवधि (भौतिकी) चक्रीय होता है। वैकल्पिक दृष्टिकोण यह है कि डीटीएफटी आवृत्ति डोमेन में परिवर्तन है जो चक्र की लंबाई से घिरा (या परिमित) है।
  • असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी):
    • जब इनपुट अनुक्रम आवधिक होता है, जिससे डीटीएफटी आउटपुट भी डायराक कंघी फलन होता है, जो फूरियर श्रृंखला के गुणांक द्वारा संशोधित होता है जिसकी गणना इनपुट अनुक्रम के चक्र के डीएफटी के रूप में की जा सकती है। डीएफटी के चक्र में अलग-अलग मानों की संख्या इनपुट अनुक्रम के चक्र के समान है।
    • जब इनपुट अनुक्रम के गैर-शून्य भाग की अवधि सीमित होती है, तो डीटीएफटी निरंतर और सीमित-मूल्यवान होता है। किन्तु इसके मूल्यों का अलग उपसमुच्चय उस भाग का पुनर्निर्माण/प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है जिसका विश्लेषण किया गया था। खंड की अवधि को आवधिक फलन के चक्र के रूप में मानने और डीएफटी की गणना करके समान असतत समुच्चय प्राप्त किया जाता है।
  • असतत साइन और कोसाइन परिवर्तन: जब इनपुट अनुक्रम में मूल के चारों ओर विषम या सम समरूपता होती है, तो डीटीएफटी असतत साइन परिवर्तन (डीएसटी) या असतत कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी) में कम हो जाता है।
    • प्रतिगामी असतत फूरियर श्रृंखला, जिसमें अवधि पहले से तय करने के अतिरिक्त डेटा द्वारा निर्धारित की जाती है।
  • असतत चेबीशेव रूपांतरण (पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों के 'रूट्स' ग्रिड और 'एक्स्ट्रेमा' ग्रिड पर) अंतर समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय विधियों के क्षेत्र में यह परिवर्तन बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग ग्रिड बिंदु मानों से चेबीशेव श्रृंखला गुणांक तक तेजी से और कुशलता से जाने के लिए किया जा सकता है।
• सामान्यीकृत डीएफटी (जीडीएफटी), डीएफटी और निरंतर मापांक परिवर्तनों का सामान्यीकरण जहां चरण फलन पूर्णांक और वास्तविक मूल्य वाले ढलानों के साथ रैखिक हो सकते हैं, या यहां तक ​​​​कि गैर-रैखिक चरण भी हो सकते हैं जो विभिन्न मैट्रिक्स के इष्टतम डिजाइन के लिए लचीलापन लाते हैं,
• असतत-अंतरिक्ष फूरियर रूपांतरण (डीएसएफटी) 1डी सिग्नल से 2डी सिग्नल तक डीटीएफटी का सामान्यीकरण है। इसे असतत-समय के अतिरिक्त असतत-स्थान कहा जाता है क्योंकि सबसे प्रचलित अनुप्रयोग इमेजिंग और छवि प्रसंस्करण के लिए है जहां इनपुट फलन तर्क स्थानिक निर्देशांक के समान $(x,y)$ दूरी वाले प्रतिरूप हैं डीएसएफटी आउटपुट दोनों वेरिएबल्स में अवधि (भौतिकी) है।
• जेड को बदलने, संपूर्ण सम्मिश्र विमान में डीटीएफटी का सामान्यीकरण
• संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन (एमडीसीटी)
• असतत हार्टले परिवर्तन (डीएचटी)
• इसके अतिरिक्त विवेकाधीन एसटीएफटी (ऊपर देखें)।
• हैडामर्ड परिवर्तन (वाल्श फलन)।
• फूरियर परिमित समूहों पर रूपांतरित होता है।
• असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य)।

इन सभी परिवर्तनों का उपयोग फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) पर आधारित कुशल एल्गोरिदम के अस्तित्व से अधिक सुविधाजनक है। ऐसे अलग-अलग परिवर्तनों के आउटपुट को समझने के लिए नाइक्विस्ट-शैनन प्रतिरूपकरण प्रमेय महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

• अभिन्न परिवर्तन
• तरंगिका परिवर्तन
• फूरियर-परिवर्तन स्पेक्ट्रोस्कोपी
• हार्मोनिक विश्लेषण
• परिवर्तनों की सूची
• गणितीय संचालकों की सूची
• बिस्पेक्ट्रम

संदर्भ

• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• A. N. Akansu and H. Agirman-Tosun, "Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, no. 9, pp. 4547-4556, Sept. 2010.