गठनात्मक समीकरण

For भौतिक मात्रा की कई और परिभाषाएँ, see समीकरण को परिभाषित करना (भौतिक विज्ञान) and समीकरण को परिभाषित करना (भौतिक रसायन विज्ञान).

भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी में, एक रचनात्मक समीकरण या रचनात्मक संबंध दो भौतिक मात्राओं (विशेष रूप से गतिज मात्राओं से संबंधित गतिकी मात्रा) के बीच एक संबंध है जो किसी पदार्थ या पदार्थ के लिए विशिष्ट है, और बाहरी उत्तेजनाओं के लिए उस पदार्थ की प्रतिक्रिया का अनुमान लगाता है। सामान्यतः लागू क्षेत्र या बलों के रूप में। भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें भौतिक नियम को नियंत्रित करने वाले अन्य समीकरणों के साथ जोड़ा जाता है; उदाहरण के लिए द्रव यांत्रिकी में पाइप प्रवाह, ठोस अवस्था भौतिक विज्ञान में विद्युत क्षेत्र के प्रति क्रिस्टल की प्रतिक्रिया, या संरचनात्मक विश्लेषण में, लागू तनाव या संरचनात्मक भार से तनाव या विरूपण के बीच संबंध है।

कुछ रचनात्मक समीकरण केवल घटनात्मक होते हैं जो कि अन्य पहले सिद्धांतों से प्राप्त हुए हैं। सामान्य अनुमानित रचनात्मक समीकरण को प्रायः पदार्थ की संपत्ति, जैसे विद्युत चालकता या वसंत स्थिरांक के रूप में लिए गए प्राचल का उपयोग करके एक साधारण आनुपातिकता के रूप में व्यक्त किया जाता है। यद्यपि, पदार्थ की दिशात्मक निर्भरता को ध्यान में रखना प्रायः आवश्यक होता है, और अदिश प्राचल को एक टेन्सर के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। पदार्थ की प्रतिक्रिया की दर और उनके अ-रैखिक व्यवहार को ध्यान में रखते हुए रचनात्मक संबंधों को भी संशोधित किया जाता है। रैखिक प्रतिक्रिया फलन आलेख देखें।

पदार्थ के यांत्रिक गुण

पहला रचनात्मक समीकरण (रचनात्मक नियम) रॉबर्ट हुक द्वारा विकसित किया गया था और इसे हुक के नियम के रूप में जाना जाता है। यह रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थो के स्थिति से संबंधित है। इस खोज के बाद, इस प्रकार के समीकरण, जिसे प्रायः इस उदाहरण में बल-तनाव संबंध कहा जाता है, लेकिन इसे रचनात्मक धारणा या स्थिति का समीकरण भी कहा जाता है, का सामान्यतः उपयोग किया जाता था। वाल्टर नोल ने रचनात्मक समीकरणों के उपयोग को आगे बढ़ाया, उनके वर्गीकरण और अपरिवर्तनीय आवश्यकताओं, बाधाओं और करार की परिभाषा की भूमिका को स्पष्ट किया जैसे पदार्थ, "समदैशिक", "ऐलोट्रोपिक" आदि। तनाव दर = F (वेग ढाल, तनाव, घनत्व) के "रचनात्मक संबंधों" का वर्ग 1954 में क्लिफोर्ड ट्रूस्डेल के तहत वाल्टर नोल के शोध प्रबंध का विषय था।

आधुनिक संघनित भौतिक विज्ञान पदार्थ में, रचनात्मक समीकरण प्रमुख भूमिका निभाता है। रैखिक संवैधानिक समीकरण और अरेखीय सहसंबंध फलन देखें।

परिभाषाएँ

Quantity (common name/s)	(Common) symbol/s	Defining equation	SI units	Dimension
General stress, pressure	P, σ	$\sigma =F/A$ F is the perpendicular component of the force applied to area A	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
General strain	ε	$\varepsilon =\Delta D/D$ D, dimension (length, area, volume) ΔD, change in dimension of material	1	Dimensionless
General elastic modulus	Emod	$E_{\text{mod}}=\sigma /\varepsilon$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Young's modulus	E, Y	$Y=\sigma /(\Delta L/L)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T] −2
Shear modulus	G	$G=(F/A)/(\Delta x/L)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Bulk modulus	K, B	$B=P/(\Delta V/V)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Compressibility	C	$C=1/B$	Pa−1 = m2⋅N−1	[M]−1[L][T]2

दृढ़ता का विरूपण

घर्षण

घर्षण एक जटिल घटना है. स्थूल दृष्टि से रूप से, दो पदार्थो के अंतराफलक के बीच घर्षण बल F को घर्षण के आयाम रहित गुणांक के माध्यम से दो अंतराफलक के बीच संपर्क बिंदु पर प्रतिक्रिया R के आनुपातिक के रूप में तैयार किया जा सकता है। जो पदार्थो की जोड़ी पर निर्भर करता है:

$F=\mu _{\text{f}}R.$

इसे स्थैतिक घर्षण (घर्षण जो दो स्थिर वस्तुओं को अपने आप फिसलने से रोकता है), गतिज घर्षण (दो वस्तुओं के बीच घर्षण जो एक-दूसरे से टकराते/फिसलते हैं) या घुमाव (घर्षण बल जो फिसलने से रोकता है लेकिन बलाघूर्ण का कारण बनता है) पर लागू किया जा सकता है। एक गोल वस्तु)।

तनाव और दबाव

रैखिक पदार्थो के लिए तनाव-दबाव संरचनात्मक संबंध को सामान्यतः हुक के नियम के रूप में जाना जाता है। अपने सरलतम रूप में, नियम एक अदिश समीकरण में वसंत स्थिरांक (या लोच स्थिरांक) k को परिभाषित करता है, जिसमें कहा गया है कि तन्य/संपीड़ित बल विस्तारित (या अनुबंधित) विस्थापन (वेक्टर) x के समानुपाती होता है:

$F_{i}=-kx_{i}$

तात्पर्य पदार्थ रैखिक रूप से प्रतिक्रिया करती है। समान रूप से, तनाव (यांत्रिकी) σ, तरुण मापांक E, और विरूपण (यांत्रिकी) ε (आयाम रहित) के संदर्भ में:

$\sigma =E\,\varepsilon$

सामान्यतः, ठोस पदार्थों को विकृत करने वाले बल पदार्थ की सतह (सामान्य बल), या स्पर्शरेखीय (कतरनी बल) के लिए सामान्य हो सकते हैं, इसे तनाव (यांत्रिकी) का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}$

जहां C लोच प्रदिश है और S अनुपालन टेंसर है।

ठोस अवस्था विकृति

प्रत्यास्थ पदार्थो में विकृतियों के कई वर्ग निम्नलिखित हैं:

कृत्रिम

जब तनाव (या प्रत्यास्थ तनाव) एक महत्वपूर्ण परिमाण तक पहुंच जाता है, जिसे उपज बिंदु कहा जाता है, तो लगाया गया बल पदार्थ में अ-पुनर्प्राप्ति योग्य विकृतियों को प्रेरित करता है।

प्रत्यास्थ

विरूपण के बाद पदार्थ अपने प्रारंभिक आकार को पुनः प्राप्त कर लेती है।

वेसकेलास्टिक

यदि समय-निर्भर प्रतिरोधक योगदान बड़ा है, और इसे उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। रबर और कृत्रिम में यह गुण होता है, और निश्चित रूप से हुक के नियम को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में,प्रत्यास्थ हिस्टैरिसीस होता है।

एनेलैस्टिक

यदि पदार्थ प्रत्यास्थ के करीब है, लेकिन लगाया गया बल अतिरिक्त समय-निर्भर प्रतिरोधक बलों को प्रेरित करता है (यानी विस्तार/संपीड़न के अलावा विस्तार/संपीड़न के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है)। धातुओं और चीनी मिट्टी की वस्तुओं में यह विशेषता होती है, लेकिन यह सामान्यतः पर नगण्य होती है, यद्यपि घर्षण के कारण गर्म होने पर (जैसे मशीनों में कंपन या कतरनी तनाव) इतनी अधिक नहीं होती है।

हाइपरइलास्टिक

लागू बल तनाव ऊर्जा घनत्व फलन के बाद पदार्थ में विस्थापन उत्पन्न करता है।

टकराव

किसी अन्य वस्तु बी के साथ टकराव के बाद किसी वस्तु ए के अलग होने बनाम अलग होने की सापेक्ष गति, न्यूटन के प्रयोगात्मक प्रभाव कानून द्वारा परिभाषित पुनर्स्थापन के गुणांक द्वारा दृष्टिकोण वेप्रोच की सापेक्ष गति से संबंधित है: [5]

$e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}$

जो इस बात पर निर्भर करता है कि ए और बी किस पदार्थ से बने हैं, क्योंकि टकराव में सामान्यतः ए और बी की सतहों पर परस्पर क्रिया सम्मिलित होती है 0 ≤ e ≤ 1, जिसमें e = 1 पूरी तरह से प्रत्यास्थ टकरावों के लिए, और e = 0 पूरी तरह से बेप्रत्यास्थ टकरावों के लिए। के लिए यह संभव है e ≥ 1 घटित होना - सुपरइलास्टिक (या विस्फोटक) टकरावों के लिए।

द्रवों का विरूपण

कर्षण समीकरण अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) | अनुप्रस्थ काट क्षेत्र ए की एक वस्तु पर कर्षण डी देता है जो वेग वी (द्रव के सापेक्ष) पर घनत्व ρ के तरल पदार्थ के माध्यम से चलती है।

$D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}$

जहां कर्षण गुणांक (आयाम रहित) c_dवस्तु की ज्यामिति और द्रव तथा वस्तु के बीच अंतराफलक पर खींचें बलों पर निर्भर करता है।

श्यानता μ के न्यूटोनियन द्रव पदार्थ के लिए, कतरनी तनाव τ रैखिक रूप से तनाव दर (अनुप्रस्थ प्रवाह वेग ढाल) ∂u/∂y (इकाइयाँ s) से संबंधित है⁻¹). एक समान कतरनी प्रवाह में:

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

यू(वाई) के साथ क्रॉस प्रवाह (अनुप्रस्थ) दिशा वाई में प्रवाह वेग यू की भिन्नता। सामान्यतः, न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, तत्वों के बीच का संबंध τ होता है_ij कतरनी तनाव प्रदिश और द्रव का विरूपण द्वारा दिया जाता है

$\tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)$   साथ   $e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$   और   $\Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,$

जहां वी_i संगत x में प्रवाह वेग वेक्टर के घटक हैं_i दिशाओं का समन्वय, ई_ij तनाव दर प्रदिश के घटक हैं, Δ वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन दर (या फैलाव दर) है और δ_ij क्रोनकर डेल्टा है।

आदर्श गैस नियम इस अर्थ में एक रचनात्मक संबंध है कि दबाव p और आयतन V गैस के मोल n की संख्या के माध्यम से तापमान T से संबंधित हैं:

$pV=nRT$

जहां R गैस स्थिरांक (J⋅K) है⁻¹⋅mol⁻¹) हैं।

विद्युतचुम्बकत्व

विद्युत चुंबकत्व और संबंधित क्षेत्रों में रचनात्मक समीकरण

See also: परावैद्युतांक, पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व), and विद्युतीय चालकता

परंपरागत और परिमाण भौतिक विज्ञान दोनों में, एक प्रणाली की सटीक गतिशीलता एक साथ समीकरणों के अंतर समीकरण का एक समूह बनाती है, जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के स्तर पर भी, लगभग प्रायः हल करने के लिए बहुत जटिल होती है। विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में, यह टिप्पणी न केवल मुक्त आवेशों और धाराओं (जो सीधे मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती है) की गतिशीलता पर लागू होती है, बल्कि बाध्य आवेशों और धाराओं की गतिशीलता (जो रचनात्मक संबंधों के माध्यम से मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती है) पर भी लागू होती है। परिणामस्वरूप, सामान्यतः विभिन्न सन्निकटन योजनाओं का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक पदार्थो में, आवेशों के समय और स्थानिक प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए जटिल परिवहन समीकरणों को हल किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, बोल्ट्ज़मैन समीकरण या फोककर-प्लैंक समीकरण या नेवियर-स्टोक्स समीकरण। उदाहरण के लिए, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, द्रव गतिकी, इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक्स, अतिचालकता , प्लाज्मा प्रतिमानिंग देखें। इन स्थितियों से निपटने के लिए एक संपूर्ण भौतिक तंत्र विकसित हो गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक प्रतिक्रिया फलन, ग्रीन-कुबो संबंध और ग्रीन फलन (कई-निकाय सिद्धांत) देखें।

ये जटिल सिद्धांत विभिन्न पदार्थो, जैसे पारगम्यता, पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व), विद्युत चालकता इत्यादि की विद्युत प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाले रचनात्मक संबंधों के लिए विस्तृत सूत्र प्रदान करते हैं।

विद्युत चुंबकत्व में गणना करने से पहले (यानी मैक्सवेल के स्थूल दृष्टि से समीकरणों को लागू करने से पहले) विद्युत विस्थापन क्षेत्र D और E और चुंबकीय H-क्षेत्र और H और B के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। ये समीकरण लागू क्षेत्रों में बाध्य आवेश और धारा की प्रतिक्रिया को निर्दिष्ट करते हैं और इन्हें रचनात्मक संबंध कहा जाता है।

सहायक क्षेत्रों D और H और E और B क्षेत्रों के बीच संरचनात्मक संबंध का निर्धारण स्वयं सहायक क्षेत्रों की परिभाषा से प्रारम्भ होता है:

${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$

जहां P ध्रुवीकरण घनत्व क्षेत्र है और M चुंबकीयकरण क्षेत्र है जिसे क्रमशः सूक्ष्म बाध्य आवेशों और बाध्य धारा के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। M और P की गणना कैसे करें, यह जानने से पहले निम्नलिखित विशेष स्थितियों की जांच करना उपयोगी है।

चुंबकीय या अपरिचालक पदार्थ के बिना

चुंबकीय या अपरिचालक पदार्थ की अनुपस्थिति में, संरचनात्मक संबंध सरल हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$

जहाँ E₀ और μ₀ दो सार्वभौमिक स्थिरांक हैं, जिन्हें क्रमशः निर्वात का विद्युत स्थिरांक और मुक्त स्थान का चुंबकीय स्थिरांक कहा जाता है।

समदैशिक रैखिक पदार्थ

एक (आइसोट्रोपिक) में) रैखिक पदार्थ, जहां P, E के समानुपाती है, और M, B के समानुपाती है, रचनात्मक संबंध भी सीधे हैं। ध्रुवीकरण P और चुंबकत्व M के संदर्भ में वे हैं:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

जहाँ χ_e और χ_m किसी दिए गए पदार्थ की विद्युत संवेदनशीलता और चुंबकीय संवेदनशीलता क्रमशः D और H के संदर्भ में रचनात्मक संबंध हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,$

जहां ε और μ स्थिरांक हैं (जो पदार्थ पर निर्भर करते हैं), जिन्हें क्रमशः पदार्थ की पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) कहा जाता है। ये निम्न प्रकार से संवेदनशीलताओं से संबंधित हैं:

$\varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1$

सामान्य स्थिति

वास्तविक दुनिया की पदार्थो के लिए, लगभग को छोड़कर, संरचनात्मक संबंध रैखिक नहीं हैं। पहले सिद्धांतों से रचनात्मक संबंधों की गणना में यह निर्धारित करना सम्मिलित है कि किसी दिए गए E और B से P और M कैसे बनाए जाते हैं। ये संबंध अनुभवजन्य(सीधे माप पर आधारित), या सैद्धांतिक (सांख्यिकीय यांत्रिकी, परिवहन सिद्धांत या अन्य पर आधारित) या अन्य उपकरणों पर आधारित संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञान के उपकरण)। नियोजित विवरण स्थूल या सूक्ष्म हो सकता है, जो जांच के तहत समस्या के लिए आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है।

रचनात्मक संबंध सामान्यतः अभी भी लिखे जा सकते हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B}$

लेकिन ε और μ, सामान्यतः, सरल स्थिरांक नहीं हैं, बल्कि प्रकृति में 'E', 'B', स्थिति और समय और तन्य के कार्य हैं। उदाहरण हैं:

• फैलाव और अवशोषण जहां ε और μ आवृत्ति के कार्य हैं। (कारण-कारण सामग्री को अतरिक्त-फैलाने योग्य नहीं होने देता; उदाहरण के लिए, क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध देखें।) न ही क्षेत्र को चरण में होने की आवश्यकता है, जो ε और μ की ओर ले जाता है सम्मिश्र होना। इससे अवशोषण भी होता है।
• अरेखीयता जहां ε और μ E' और B के फलन हैं।
• असमदिग्वर्ती होने की दशा(जैसे birefringence या dichroism) जो तब होता है जब ε और μ दूसरे स्तर के टेंसर s होते हैं,
  $$D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$$
• अन्य स्थानों और समयों पर पी'' और एम' की ई' और बी' पर निर्भरता। यह स्थानिक असमानता के कारण हो सकता है; उदाहरण के लिए डोमेन संरचना, हेटरोस्ट्रक्चर या तरल क्रिस्टल, या सामान्यतः ऐसी स्थिति में जहां स्थानों के विभिन्न क्षेत्रों पर अधिकार करने वाली कई पदार्थे होती हैं। या यह समय बदलने वाले माध्यम के कारण या हिस्टैरिसीस के कारण हो सकता है। ऐसे मामलों में पी और एम की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
  $${\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}$$
  जिसमें पारगम्यता और पारगम्यता कार्यों को अधिक सामान्य विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलताओं पर अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सजातीय सामग्रियों में, अन्य स्थानों पर निर्भरता को स्थानिक फैलाव के रूप में जाना जाता है।

इन उदाहरणों की भिन्नता के रूप में, सामान्यतः पदार्थ द्वि-आइसोट्रोपिक पदार्थ होती है जहां D और B अतिरिक्त युग्मन स्थिरांक ξ और ζ के माध्यम से E और H दोनों पर निर्भर होते हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .$

व्यवहार में, कुछ भौतिक गुणों का विशेष परिस्थितियों में नगण्य प्रभाव पड़ता है, जिससे छोटे प्रभावों की उपेक्षा हो जाती है। उदाहरण के लिए: कम क्षेत्र की ताकत के लिए प्रकाशीय नॉनलाइनरिटीज़ को उपेक्षित किया जा सकता है; जब आवृत्ति एक संकीर्ण बैंडविड्थ तक सीमित होती है तो पदार्थ का फैलाव महत्वहीन होता है; जिस तरंग दैर्ध्य के लिए कोई पदार्थ पारदर्शी होती है, उसके लिए पदार्थ अवशोषण की उपेक्षा की जा सकती है; और परिमित चालकता वाली धातुओं को प्रायः माइक्रोतंरग या लंबी तरंग दैर्ध्य पर अनंत चालकता के साथ उत्तम संवाहक के रूप में अनुमानित किया जाता है (क्षेत्र प्रवेश की शून्य त्वचा गहराई के साथ कठोर अवरोध बनाते हैं)।

कुछ मानव निर्मित पदार्थ जैसे मेटामटेरियल और फोटोनिक क्रिस्टल को अनुकूलित पारगम्यता और पारगम्यता के लिए बनावट किया गया है।

रचनात्मक संबंधों की गणना

See also: अभिकलन विद्युतचुंबकीय

किसी पदार्थ के संरचनात्मक समीकरणों की सैद्धांतिक गणना सैद्धांतिक संघनित-पदार्थ भौतिक विज्ञान और पदार्थ विज्ञान में एक सामान्य, महत्वपूर्ण और कभी-कभी कठिन कार्य है। सामान्यतः, रचनात्मक समीकरण सैद्धांतिक रूप से यह गणना करके निर्धारित किए जाते हैं कि एक अणु लोरेंत्ज़ बल के माध्यम से स्थानीय क्षेत्रों पर कैसे प्रतिक्रिया करता है। अन्य बलों को भी प्रतिमान करने की आवश्यकता हो सकती है जैसे कि क्रिस्टल या बंधन बलों में जाली कंपन। सभी बलों को सम्मिलित करने से अणु में परिवर्तन होता है जिसका उपयोग स्थानीय क्षेत्रों के फलन के रूप में P और M की गणना करने के लिए किया जाता है।

आस-पास की पदार्थ के ध्रुवीकरण और चुंबकत्व द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों के कारण स्थानीय क्षेत्र लागू क्षेत्रों से भिन्न होते हैं; एक प्रभाव जिसे प्रतिमान करने की भी आवश्यकता है। इसके अलावा, वास्तविक पदार्थे सातत्य यांत्रिकी नहीं हैं वास्तविक पदार्थो के स्थानीय क्षेत्र परमाणु स्तर पर बिना समझे भिन्न होते हैं। सातत्य सन्निकटन बनाने के लिए क्षेत्र को उपयुक्त मात्रा में औसत करने की आवश्यकता होती है।

इन सातत्य सन्निकटनों के लिए प्रायः कुछ प्रकार के परिमाण यांत्रिकी विश्लेषण की आवश्यकता होती है जैसे कि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत, जैसा कि संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञान पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य देखें।

समरूपीकरण विधियों का एक अलग समूह (समूह और टुकड़े टुकड़े जैसी पदार्थो के उपचार में एक परंपरा से विकसित हो रहा है) एक सजातीय प्रभावी माध्यम द्वारा एक अमानवीय पदार्थ के सन्निकटन पर आधारित है। (असमानता के स्तर से कहीं अधिक बड़ी तरंग दैर्ध्य वाले उत्तेजनाओं के लिए मान्य)।

कई वास्तविक पदार्थो के सातत्य-अनुमान गुणों का सैद्धांतिक प्रतिमान प्रायः प्रयोगात्मक माप पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कम आवृत्तियों पर विसंवाहक के ε को समानांतर-प्लेट संधारित्र में बनाकर मापा जा सकता है, और प्रकाशीय-प्रकाश आवृत्तियों पर ε को प्रायः एलिप्सोमेट्री द्वारा मापा जाता है।

पदार्थ के ताप विद्युत और विद्युतचुंबकीय गुण

इन रचनात्मक समीकरणों का उपयोग प्रायः स्फटिक रूप-विधा, ठोस-अवस्था भौतिक विज्ञान के क्षेत्र में किया जाता है।

दृढ़ता के विद्युत चुम्बकीय गुण

Property/effect	Stimuli/response parameters of system	Constitutive tensor of system	Equation
Hall effect	E, electric field strength (N⋅C−1) J, electric current density (A⋅m−2) H, magnetic field intensity (A⋅m−1)	ρ, electrical resistivity (Ω⋅m)	$E_{k}=\rho _{kij}J_{i}H_{j}$
Direct Piezoelectric Effect	σ, Stress (Pa) P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)	d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)	$P_{i}=d_{ijk}\sigma _{jk}$
Converse Piezoelectric Effect	ε, Strain (dimensionless) E, electric field strength (N⋅C−1)	d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)	$\varepsilon _{ij}=d_{ijk}E_{k}$
Piezomagnetic effect	σ, Stress (Pa) M, magnetization (A⋅m−1)	q, piezomagnetic coefficient (A⋅N−1⋅m)	$M_{i}=q_{ijk}\sigma _{jk}$

ठोस पदार्थों के ताप विद्युत गुण

Property/effect	Stimuli/response parameters of system	Constitutive tensor of system	Equation
Pyroelectricity	P, (dielectric) polarization (C⋅m−2) T, temperature (K)	p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)	$\Delta P_{j}=p_{j}\Delta T$
Electrocaloric effect	S, entropy (J⋅K−1) E, electric field strength (N⋅C−1)	p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)	$\Delta S=p_{i}\Delta E_{i}$
Seebeck effect		β, thermopower (V⋅K−1)	$E_{i}=-\beta _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
Peltier effect	E, electric field strength (N⋅C−1) J, electric current density (A⋅m−2) q, heat flux (W⋅m−2)	Π, Peltier coefficient (W⋅A−1)	$q_{j}=\Pi _{ji}J_{i}$

फोटोनिक्स

अपवर्तक सूचकांक

किसी माध्यम n (आयाम रहित) का (निरपेक्ष) अपवर्तक सूचकांक ज्यामितीय और भौतिक प्रकाशिकी का एक स्वाभाविक रूप से महत्वपूर्ण गुण है जिसे निर्वात c₀ में ल्यूमिनल गति और माध्यम c में ल्यूमिनल गति अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

$n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}$

जहां ε पारगम्यता है और ε_r माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता, इसी प्रकार μ पारगम्यता और μ_r माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता हैं। पारगम्यता ε₀ और निर्वात पारगम्यता μ₀. . . . सामान्यतः n (ε_rभी ) सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

सापेक्ष अपवर्तक सूचकांक को दो अपवर्तक सूचकांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। निरपेक्ष पदार्थ पर लागू होता है, सापेक्ष अंतराफलक की हर संभव जोड़ी पर लागू होता है;

$n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}$

पदार्थ में प्रकाश की गति

परिभाषा के परिणामस्वरूप, पदार्थ में प्रकाश की गति होती है

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

निर्वात के विशेष स्थिति के लिए; ε = ε₀ और μ = μ₀,

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

पीजोऑप्टिक प्रभाव

पीजोऑप्टिक प्रभाव ठोस पदार्थों में तनाव को ढांकता हुआ अभेद्यता a से संबंधित करता है, जो कि पीजोऑप्टिक गुणांक Π (इकाइयाँ K⁻¹) नामक चौथे-श्रेणी प्रदिश द्वारा युग्मित होते हैं):

$a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}$

परिवहन घटना

परिभाषाएँ

परिभाषाएँ (पदार्थ के तापीय गुण)

मात्रा (सामान्य नाम)	(सामान्य) प्रतीक/चिह्न	समीकरण को परिभाषित करना	SI इकाइयां	परिमाण
सामान्य ताप क्षमता	C, पदार्थ की ताप क्षमता	$q=CT$	J⋅K−1	[M][L]2[T]−2[Θ]−1
रैखिक तापीय विस्तार	L, सामग्री की लंबाई (एम) α, रैखिक थर्मल विस्तार गुणांक (आयाम रहित) ε, स्ट्रेन टेंसर (आयाम रहित)	${\frac {\partial L}{\partial T}}=\alpha L$ $\varepsilon _{ij}=\alpha _{ij}\Delta T$	K−1	[Θ]−1
बड़ा ऊष्मीय विस्तार	β, γ V, वस्तु का आयतन (m3) P, परिवेश का निरंतर दबाव	$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=\gamma V$	K−1	[Θ]−1
ऊष्मीय चालकता	κ, K, λ, ए, सामग्री की सतह क्रॉस सेक्शन (एम2) P, सामग्री के माध्यम से तापीय धारा/शक्ति (डब्ल्यू) ∇T, तापमान प्रवणता सामग्री में (K⋅m−1)	$\lambda =-{\frac {P}{\mathbf {A} \cdot \nabla T}}$	W⋅m−1⋅K−1	[M][L][T]−3[Θ]−1
तापीय चालकता	U	$U={\frac {\lambda }{\delta x}}$	W⋅m−2⋅K−1	[M][T]−3[Θ]−1
तापीय प्रतिरोध	R Δx, ऊष्मा हस्तांतरण का विस्थापन (M)	$R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{\lambda }}$	m2⋅K⋅W−1	[M]−1[L][T]3[Θ]

परिभाषाएँ (पदार्थ के विद्युत/चुंबकीय गुण)

मात्रा (सामान्य नाम)	(सामान्य) प्रतीक/चिह्न	समीकरण को परिभाषित करना	SI इकाइयां	परिमाण
विद्युतीय प्रतिरोध	R	$R={\frac {V}{I}}$	Ω, V⋅A−1 = J⋅s⋅C−2	[M][L]2[T]−3[I]−2
प्रतिरोधकता	ρ	$\rho ={\frac {RA}{l}}$	Ω⋅m	[M]2[L]2[T]−3[I]−2
प्रतिरोधकता तापमान गुणांक, रैखिक तापमान निर्भरता	α	$\rho -\rho _{0}=\rho _{0}\alpha (T-T_{0})$	K−1	[Θ]−1
विद्युत संचालन	G	$G={\frac {1}{R}}$	S = Ω−1	[M]−1[L]−2[T]3[I]2
विद्युत चालकता	σ	$\sigma ={\frac {1}{\rho }}$	Ω−1⋅m−1	[M]−2[L]−2[T]3[I]2
चुंबकीय अनिच्छा	R, Rm, ${\mathcal {R}}$	$R_{\text{m}}={\frac {\mathcal {M}}{\Phi _{B}}}$	A⋅Wb−1 = H−1	[M]−1[L]−2[T]2
चुंबकीय पारगम्यता	P, Pm, Λ, ${\mathcal {P}}$	$\Lambda ={\frac {1}{R_{\text{m}}}}$	Wb⋅A−1 = H	[M][L]2[T]−2

निश्चित नियम

ऐसे कई नियम हैं जो पदार्थ के परिवहन या उसके गुणों का लगभग समान तरीके से वर्णन करते हैं। हर स्थिति में, शब्दों में वे पढ़ते हैं:

प्रचुर (घनत्व) ढाल के समानुपाती होता है, आनुपातिकता का स्थिरांक पदार्थ की विशेषता है।

सामान्यतः पदार्थ की दिशात्मक निर्भरता को ध्यान में रखते हुए स्थिरांक को दूसरी श्रेणी के प्रदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

गुण/प्रभाव	नामपद्धति	समीकरण
फ़िक का विसरण का नियम, विसरण गुणांक D को परिभाषित करता है	D, द्रव्यमान प्रसार गुणांक (M2⋅s−1) J, पदार्थ का प्रसार प्रवाह (mol⋅m−2⋅s−1) ∂C/∂x, (1d)एकाग्रता पदार्थ की प्रवणता (mol⋅dm−4)	$J_{i}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}$
छिद्रपूर्ण मीडिया में द्रव प्रवाह के लिए डार्सी का नियम, पारगम्यता κ को परिभाषित करता है	κ, पारगम्यता माध्यम की (एम2) μ, द्रव चिपचिपापन (Pa⋅s) q, पदार्थ का निर्वहन प्रवाह (m⋅s−1) ∂P/∂x, (1d) दबाव प्रवणता सिस्टम का (Pa⋅m−1)	$q_{j}=-{\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\partial P}{\partial x_{j}}}$
ओम का विद्युत चालन का नियम, विद्युत चालकता (और इसलिए प्रतिरोधकता और प्रतिरोध) को परिभाषित करता है	V, संभावित अंतर सामग्री में (वी) I, विद्युत धारा सामग्री के माध्यम से (ए) R, प्रतिरोध सामग्री का (Ω) ∂V/∂x, संभावित ढाल (विद्युत क्षेत्र) सामग्री के माध्यम से (V⋅m−1) J, विद्युत वर्तमान घनत्व सामग्री के माध्यम से (A⋅m−2) σ, पदार्थ की विद्युत चालकता (Ω−1⋅m−1) ρ, पदार्थ की विद्युत प्रतिरोधकता (Ω⋅m)	सबसे सरल रूप है $V=IR$ अधिक सामान्य रूप हैं: ${\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}=\rho _{ji}J_{i}\,\rightleftharpoons \,J_{i}=\sigma _{ij}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}$
फूरियर का तापीय चालकता का नियम, तापीय चालकता को परिभाषित करता है λ	λ, थर्मल चालकता पदार्थ की (W⋅m−1⋅K−1 ) q, पदार्थ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह (W⋅m−2) ∂T/∂x, तापमान प्रवणता पदार्थ में (K⋅m−1)	$q_{i}=-\lambda _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
ब्लैक-बॉडी विकिरण का स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मैन नियम, उत्सर्जन को परिभाषित करता है	I, उज्ज्वल तीव्रता (W⋅m−2) σ, स्टीफन-बोल्ट्जमान स्थिरांक (W⋅m−2⋅K−4) Tsys, विकिरण प्रणाली का तापमान (K) Text, बाहरी परिवेश का तापमान (K) ε, उत्सर्जन (आयाम रहित)	एकल रेडिएटर के लिए: $I=\varepsilon \sigma T^{4}$ तापमान अंतर के लिए $I=\varepsilon \sigma \left(T_{\text{ext}}^{4}-T_{\text{sys}}^{4}\right)$ 0 ≤ ε ≤ 1; परफेक्ट रिफ्लेक्टर के लिए 0, परफेक्ट अवशोषक के लिए 1 (असली ब्लैक बॉडी)

यह भी देखें

• शासकीय समीकरण
• भौतिक वस्तुनिष्ठता का सिद्धांत
• रियोलॉजी