स्थानीय वलय: Difference between revisions

Revision as of 22:47, 20 July 2023

गणित में विशेष रूप से वलय सिद्धांत में, स्थानीय वलय कुछ निश्चित वलय (गणित) होते हैं जो तुलनात्मक रूप से सरल होते हैं और यह वर्णन करने के लिए काम करते हैं कि स्थानीय व्यवहार को क्या कहा जाता है बीजगणितीय विविधता या मैनिफोल्ड पर परिभाषित कार्यों के अर्थ में या बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की जांच की जाती है। किसी विशेष स्थान पर (गणित) या अभाज्य स्थानीय बीजगणित क्रमविनिमेय बीजगणित की शाखा है जो क्रमविनिमेय स्थानीय वलय और उनके मॉड्यूल (गणित) का अध्ययन करती है।

वास्तव में एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय अधिकांशतः एक प्रमुख आदर्श पर वलय के स्थानीयकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है।

स्थानीय वलय की अवधारणा वोल्फगैंग क्रुल द्वारा 1938 में स्टेलनरिंगे नाम से प्रस्तुत की गई थी।^[1] अंग्रेजी शब्द स्थानीय वलय ज़ारिस्की के कारण है।^[2]

परिभाषा और प्रथम परिणाम

एक वलय (गणित) आर एक 'स्थानीय वलय' है यदि इसमें निम्नलिखित समकक्ष गुणों में से कोई एक है:

R के पास एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श बायां वलय आदर्श है।
R का एक अद्वितीय अधिकतम दाएँ आदर्श है।
1 ≠ 0 और R में किन्हीं दो गैर-इकाई (बीजगणित) का योग एक गैर-इकाई है।
1 ≠ 0 और यदि x, R का कोई अवयव है, तब x या 1 − x एक इकाई है.
यदि एक परिमित योग एक इकाई है, तब इसका एक पद है जो एक इकाई है (यह विशेष रूप से कहता है कि रिक्त योग एक इकाई नहीं हो सकता है, इसलिए इसका तात्पर्य 1 ≠ 0 है)।

यदि ये गुण मान्य हैं तब अद्वितीय अधिकतम बाएँ आदर्श अद्वितीय अधिकतम दाएँ आदर्श और वलय के जैकबसन रेडिकल के साथ मेल खाता है। ऊपर सूचीबद्ध गुणों में से तीसरा कहता है कि स्थानीय वलय में गैर-इकाइयों का समूह एक (उचित) आदर्श बनाता है,^[3] आवश्यक रूप से जैकबसन रेडिकल में निहित है। चौथी गुण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: एक वलय R स्थानीय है यदि और केवल यदि जब दो सहअभाज्य उचित (प्रधान आदर्श) (बाएं) आदर्श उपस्थित नहीं हैं, जहां दो आदर्श I₁, I₂ सहअभाज्य कहलाते हैं यदि R = I₁ + I₂.

क्रमविनिमेय वलय के स्थितियों में किसी को बाएँ, दाएँ और दो-तरफा आदर्शों के मध्य अंतर करने की आवश्यकता नहीं है: एक क्रमविनिमेय वलय स्थानीय है यदि और केवल यदि जब इसमें एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होते है तो लगभग 1960 से पहले अनेक लेखकों की आवश्यकता थी कि एक स्थानीय वलय (बाएं और दाएं) नोथेरियन वलय हो और (संभवतः गैर-नोथेरियन) स्थानीय वलय को अर्ध-स्थानीय वलय कहा जाता था। इस आलेख में यह आवश्यकता क्रियान्वित नहीं की गई है.

एक स्थानीय वलय जो एक अभिन्न डोमेन है उसे स्थानीय डोमेन कहा जाता है।

उदाहरण

सभी क्षेत्र (गणित) (और विषम क्षेत्र ) स्थानीय वलय हैं, क्योंकि इन वलय में {0} एकमात्र अधिकतम आदर्श है।
वलय $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ एक स्थानीय वलय है ( $p$ मुख्य, $n \geq 1$ ). अद्वितीय अधिकतम आदर्श में $p$ के सभी गुणज सम्मिलित होते हैं
अधिक सामान्यतः, एक गैर-शून्य वलय जिसमें प्रत्येक तत्व या तब एक इकाई या निलपोटेंट होता है, एक स्थानीय वलय होता है।
स्थानीय वलय का एक महत्वपूर्ण वर्ग अलग मूल्यांकन वलय हैं, जो स्थानीय प्रमुख आदर्श डोमेन हैं जो क्षेत्र नहीं हैं।
वलय $\mathbb {C} [[x]]$ , जिसके तत्व अनंत श्रृंखला हैं ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ जहां गुणन ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ द्वारा दिया जाता है जैसे कि ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$ स्थानीय है। इसके अद्वितीय अधिकतम आदर्श में वे सभी तत्व सम्मिलित हैं जो विपरीत नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें अचर पद शून्य वाले सभी तत्व सम्मिलित हैं।
अधिक सामान्यतः स्थानीय वलय पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की प्रत्येक वलय स्थानीय होती है; अधिकतम आदर्श में आधार वलय के अधिकतम आदर्श में स्थिर पद वाली वह शक्ति श्रृंखलाएँ सम्मिलित होती हैं।
इसी प्रकार, किसी भी क्षेत्र में दोहरी संख्याओं का बीजगणित स्थानीय होता है। अधिक सामान्यतः यदि F एक स्थानीय वलय है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तब भागफल वलय F[X]/(Xⁿ) अधिकतम आदर्श वाला स्थानीय है जिसमें F के अधिकतम आदर्श से संबंधित स्थिर पद वाले बहुपदों के वर्ग सम्मिलित हैं, क्योंकि कोई अन्य सभी बहुपदों को विपरीत करने के लिए एक ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग कर सकता है आदर्श (वलय सिद्धांत) Xⁿ. यदि F एक क्षेत्र है, तब F[X]/(Xⁿ) या तब शून्यशक्तिशाली हैं या विपरीत किये जाते हैं।(F के ऊपर की दोहरी संख्याएँ n = 2 के अनुरूप हैं।)
स्थानीय वलय के अशून्य भागफल वलय स्थानीय होते हैं।
विषम संख्या वाले हर वाली परिमेय संख्याओं का वलय स्थानीय होता है; इसके अधिकतम आदर्श में सम अंश और विषम हर वाले भिन्न सम्मिलित होते हैं। यह 2 पर एक वलय का पूर्णांक स्थानीयकरण है।
अधिक सामान्यतः जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय R और R के किसी अभाज्य आदर्श P को देखते हुए, P पर R के वलय का स्थानीयकरण स्थानीय होता है; अधिकतम आदर्श इस स्थानीयकरण में P द्वारा उत्पन्न आदर्श है; अर्थात् अधिकतम आदर्श में a ∈ P और s ∈ R - P वाले सभी तत्व a/s सम्मिलित हैं।

गैर-उदाहरण

फ़ील्ड $K$ पर बहुपद $K[x]$ का वलय स्थानीय नहीं है, क्योंकि $x$ और $1-x$ गैर-इकाइयाँ हैं, लेकिन उनका योग एक इकाई है। पूर्णांक $\mathbb {Z}$ का वलय स्थानीय नहीं है क्योंकि इसमें प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए अधिकतम आदर्श $(p)$ है।

कीटाणुओं का घेरा

इन वलय के लिए स्थानीय नाम को प्रेरित करने के लिए, हम वास्तविक रेखा के 0 के आसपास कुछ अंतराल (गणित) पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों पर विचार करते हैं। हम केवल 0 के निकट इन कार्यों के व्यवहार (उनके स्थानीय व्यवहार) में रुचि रखते हैं और इसलिए हम दो कार्यों की पहचान करेंगे यदि वे 0 के आसपास कुछ (संभवतः बहुत छोटे) विवर्त अंतराल पर सहमत हों। यह पहचान एक तुल्यता संबंध और तुल्यता वर्ग को परिभाषित करती है वे हैं जिन्हें 0 पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों का रोगाणु (गणित) कहा जाता है। इन रोगाणुओं को जोड़ा और बढ़ाया जा सकता है और एक क्रमविनिमेय वलय का निर्माण किया जा सकता है।

यह देखने के लिए कि रोगाणुओं का यह घेरा स्थानीय है हमें इसके विपरीत तत्वों को चिह्नित करने की आवश्यकता है। एक रोगाणु एफ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि f(0) ≠ 0. कारण: यदि f(0) ≠ 0, तब निरंतरता से 0 के आसपास एक विवर्त अंतराल होता है जहां एफ गैर-शून्य है, और हम फलन बना सकते हैं g(x) = 1/f(x) इस अंतराल पर. फलन g एक रोगाणु को जन्म देता है, और fg का गुणनफल 1 के सामान्तर होता है। (इसके विपरीत, यदि f विपरीत है, तब कुछ g ऐसा है कि f(0)g(0) = 1, इसलिए f(0) ≠ 0.)

इस लक्षण वर्णन के साथ, यह स्पष्ट है कि किन्हीं दो गैर-विपरीत रोगाणुओं का योग फिर से गैर-विपरीत है, और हमारे पास एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय है। इस वलय का अधिकतम आदर्श स्पष्ट रूप से उन रोगाणुओं f से युक्त होता है जिनका f(0) = 0 होता है।

बिल्कुल वही तर्क किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर वास्तविक-मान वाले कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं, या किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी अलग-अलग अनेक गुना पर अलग-अलग कार्यों के रोगाणुओं की वलय, या तर्कसंगत कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं। किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी बीजगणितीय विविधता पर। इसलिए ये सभी वलय स्थानीय हैं। ये उदाहरण यह समझाने में सहायता करते हैं कि स्कीम (गणित), विविधो के सामान्यीकरण को विशेष स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है।

मूल्यांकन सिद्धांत

मूल्यांकन सिद्धांत में स्थानीय वलय एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। परिभाषा के अनुसार, क्षेत्र K का मूल्यांकन वलय एक उपवलय R है, जैसे कि K के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x के लिए, x और x⁻¹ में से कम से कम एक R में है। ऐसी कोई भी उपवलय एक स्थानीय वलय होगी। उदाहरण के लिए, विषम संख्या वाले हर (ऊपर उल्लिखित) वाली परिमेय संख्याओं का वलय $\mathbb {Q}$ एक मूल्यांकन वलय है

एक क्षेत्र K को देखते हुए, जो बीजगणितीय किस्म का फलन क्षेत्र हो भी सकता है और नहीं भी, हम इसमें स्थानीय वलय की खोज कर सकते हैं। यदि K वास्तव में बीजगणितीय विविधता V का फलन क्षेत्र था, तब V के प्रत्येक बिंदु P के लिए हम P पर परिभाषित फलन के मूल्यांकन वलय R को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। ऐसे स्थितियों में जहां V का आयाम 2 या अधिक है, वहां एक कठिनाई है इस प्रकार देखा जाए: यदि F और G, V पर परिमेय फलन हैं

F(P) = G(P) = 0,,

फलन

F/G

P पर एक अनिश्चित रूप है। एक सरल उदाहरण पर विचार करते हुए, जैसे

Y/X,

एक पंक्ति के साथ संपर्क किया था

Y = tX,

कोई देखता है कि P पर मान एक सरल परिभाषा के बिना एक अवधारणा है। इसे मूल्यांकन का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है।

नॉन-कम्यूटेटिव

कुछ अन्य वलय पर मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल अपघटन के प्रत्यक्ष योग के अध्ययन में एंडोमोर्फिज्म वलय के रूप में गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय वलय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। विशेष रूप से, यदि मॉड्यूल M की एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है, तब M अविभाज्य मॉड्यूल है; इसके विपरीत यदि मॉड्यूल M में मॉड्यूल की सीमित लंबाई है और यह अविभाज्य है तब इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है।

यदि k विशेषता p > 0 का क्षेत्र है और G एक परिमित p-समूह है, तो समूह बीजगणित kG स्थानीय है।

कुछ तथ्य एवं परिभाषाएँ

क्रमविनिमेय स्थितियों

हम अधिकतम आदर्श m के साथ क्रमविनिमेय स्थानीय वलय R के लिए (R, m) भी लिखते हैं। यदि कोई m की शक्तियों को 0 के निकट के आधार के रूप में लेता है, तो ऐसी प्रत्येक वलय प्राकृतिक रूप से एक टोपोलॉजिकल वलय बन जाती है। यह R पर m-एडिक टोपोलॉजी है। यदि (R, m) एक क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय है, तो

\bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}

(क्रुल का प्रतिच्छेदन प्रमेय), और यह इस प्रकार है कि m -एडिक टोपोलॉजी के साथ R एक हॉसडॉर्फ स्थान है। प्रमेय नाकायमा के लेम्मा के साथ आर्टिन-रीस लेम्मा का परिणाम है, और, जैसे, "नोथेरियन" धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तव में, मान लीजिए कि R वास्तविक रेखा में 0 पर असीम रूप से भिन्न कार्यों के रोगाणुओं का वलय है और m अधिकतम आदर्श $(x)$ है। फिर एक गैर-शून्य फलन $e^{-{1 \over x^{2}}}$ किसी भी n के लिए $m^{n}$ से संबंधित होता है, क्योंकि $x^{n}$ से विभाजित वह फलन अभी भी सुचारू है।

जहां तक किसी टोपोलॉजिकल वलय का प्रश्न है, कोई यह पूछ सकता है कि क्या (R, m) पूर्ण एकसमान स्थान है (एकसमान स्थान के रूप में); यदि ऐसा नहीं है, तब कोई इसके समापन (वलय सिद्धांत) पर विचार करता है, फिर से एक स्थानीय वलय पूर्ण नोथेरियन स्थानीय वलय कोहेन संरचना प्रमेय द्वारा वर्गीकृत किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, विशेषकर जब R किसी बिंदु P पर किसी योजना का स्थानीय वलय है, R / m को स्थानीय वलय का अवशेष क्षेत्र या बिंदु P का अवशेष क्षेत्र कहा जाता है।

यदि (R, m) और (S, n) स्थानीय वलय हैं, तो R से S तक एक स्थानीय वलय होमोमोर्फिज्म f : R → S संपत्ति f(m) ⊆ n के साथ एक वलय होमोमोर्फिज्म है।^[4] ये स्पष्ट रूप से वलय होमोमोर्फिज्म हैं जो R और S पर दिए गए टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर हैं। उदाहरण के लिए, वलय मॉर्फिज्म $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})$ को $x\mapsto x$ भेजने पर विचार करें। $(x,y)$ की पूर्वछवि $(x)$ है। स्थानीय वलय आकारिकी का एक और उदाहरण $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})$ द्वारा दिया गया है।

सामान्य स्थितियों

एक स्थानीय वलय R का जैकबसन रेडिकल m (जो अद्वितीय अधिकतम बाएं आदर्श के सामान्तर है और अद्वितीय अधिकतम दाएं आदर्श के सामान्तर है) में वलय की गैर-इकाइयां सम्मिलित हैं; इसके अतिरिक्त यह R का अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श है। चूंकि गैर-अनुक्रमणीय स्थितियों में एक अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श होना स्थानीय होने के सामान्तर नहीं है।^[5]

स्थानीय वलय R के तत्व x के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

x का बायाँ व्युत्क्रम है
x का दायां व्युत्क्रम है
x व्युत्क्रमणीय है
x, m में नहीं है।

यदि (R, m) स्थानीय है, तब कारक वलय R/m एक विषम क्षेत्र है। यदि J ≠ R आर में कोई दो-तरफा आदर्श है तब कारक वलय R/J फिर से स्थानीय है, अधिकतम आदर्श m/J के साथ है।

इरविंग कपलान्स्की का एक गहन प्रमेय कहता है कि स्थानीय वलय पर कोई भी प्रक्षेप्य मॉड्यूल मुफ़्त है, चूँकि वह स्थिति जहाँ मॉड्यूल को अंतिम रूप से उत्पन्न किया जाता है, वह नाकायमा के लेम्मा का एक सरल परिणाम है। मोरीटा तुल्यता के संदर्भ में इसका एक रौचक परिणाम है। अर्थात्, यदि P एक परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य R मॉड्यूल है, तो P मुक्त मॉड्यूल Rⁿ के लिए आइसोमोर्फिक है, और इसलिए एंडोमोर्फिज्म की वलय $\mathrm {End} _{R}(P)$ आव्यूह की पूरी वलय के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathrm {M} _{n}(R)$ चूंकि स्थानीय वलय आर के समान प्रत्येक वलय मोरिटा ऐसे P के लिए रूप $\mathrm {End} _{R}(P)$ का है, निष्कर्ष यह है कि स्थानीय वलय आर के समान एकमात्र वलय मोरिटा आर के ऊपर आव्यूह वलय (आइसोमोर्फिक) हैं।

↑ Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (in Deutsch). 1938 (179): 204. doi:10.1515/crll.1938.179.204. S2CID 115691729.
↑ Zariski, Oscar (May 1943). "Foundations of a General Theory of Birational Correspondences" (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 53 (3): 490–542 [497]. doi:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.
↑ Lam (2001), p. 295, Thm. 19.1.
↑ "Tag 07BI".
↑ The 2 by 2 matrices over a field, for example, has unique maximal ideal {0}, but it has multiple maximal right and left ideals.

संदर्भ

Lam, T.Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

यह भी देखें

पृथक मूल्यांकन वलय
अर्ध-स्थानीय वलय
वैल्यूएशन वलय
गोरेन्स्टीन स्थानीय वलय

बाहरी संबंध

The philosophy behind local rings

[Krull-1] Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (in Deutsch). 1938 (179): 204. doi:10.1515/crll.1938.179.204. S2CID 115691729.

[Zariski-2] Zariski, Oscar (May 1943). "Foundations of a General Theory of Birational Correspondences" (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 53 (3): 490–542 [497]. doi:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.

[3] Lam (2001), p. 295, Thm. 19.1.

[4] "Tag 07BI".

[5] The 2 by 2 matrices over a field, for example, has unique maximal ideal {0}, but it has multiple maximal right and left ideals.

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 गणित में विशेष रूप से [[वलय सिद्धांत]] में, '''स्थानीय वलय''' कुछ निश्चित वलय (गणित) होते हैं जो तुलनात्मक रूप से सरल होते हैं और यह वर्णन करने के लिए काम करते हैं कि स्थानीय व्यवहार को क्या कहा जाता है [[बीजगणितीय विविधता]] या मैनिफोल्ड पर परिभाषित कार्यों के अर्थ में या बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की जांच की जाती है। किसी विशेष स्थान पर (गणित) या अभाज्य स्थानीय बीजगणित [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] की शाखा है जो क्रमविनिमेय स्थानीय वलय और उनके [[मॉड्यूल (गणित)]] का अध्ययन करती है।
-वास्तव  में एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय अधिकांशतः एक [[प्रमुख आदर्श]] पर वलय के स्थानीयकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है।
+वास्तव में एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय अधिकांशतः एक [[प्रमुख आदर्श]] पर वलय के स्थानीयकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है।
 स्थानीय वलय की अवधारणा [[वोल्फगैंग क्रुल]] द्वारा 1938 में ''स्टेलनरिंगे'' नाम से प्रस्तुत की गई थी।<ref name="Krull">
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 * R का एक अद्वितीय अधिकतम दाएँ आदर्श है।
 * 1 ≠ 0 और R में किन्हीं दो गैर-इकाई (बीजगणित) का योग एक गैर-इकाई है।
-* 1 ≠ 0 और यदि x, R का कोई अवयव है, तब  x या {{nowrap|1 &minus; ''x''}} एक इकाई है.
+* 1 ≠ 0 और यदि x, R का कोई अवयव है, तब x या {{nowrap|1 &minus; ''x''}} एक इकाई है.
-* यदि एक परिमित योग एक इकाई है, तब  इसका एक पद है जो एक इकाई है (यह विशेष रूप से कहता है कि रिक्त योग एक इकाई नहीं हो सकता है, इसलिए इसका तात्पर्य 1 ≠ 0 है)।
+* यदि एक परिमित योग एक इकाई है, तब इसका एक पद है जो एक इकाई है (यह विशेष रूप से कहता है कि रिक्त योग एक इकाई नहीं हो सकता है, इसलिए इसका तात्पर्य 1 ≠ 0 है)।
-यदि ये गुण मान्य हैं तब अद्वितीय अधिकतम बाएँ आदर्श अद्वितीय अधिकतम दाएँ आदर्श और वलय के [[ जैकबसन कट्टरपंथी |जैकबसन रेडिकल]] के साथ मेल खाता है। ऊपर सूचीबद्ध गुणों में से तीसरा कहता है कि स्थानीय वलय में गैर-इकाइयों का समूह  एक (उचित) आदर्श बनाता है,<ref>Lam (2001), p. 295, Thm. 19.1.</ref> आवश्यक रूप से जैकबसन रेडिकल में निहित है। चौथी गुण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: एक वलय ''R''  स्थानीय है यदि और केवल यदि जब दो सहअभाज्य उचित (प्रधान आदर्श) (बाएं) आदर्श उपस्थित नहीं हैं, जहां दो आदर्श ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub> सहअभाज्य कहलाते हैं यदि {{nowrap|1=''R'' = ''I''<sub>1</sub> + ''I''<sub>2</sub>}}.
+यदि ये गुण मान्य हैं तब अद्वितीय अधिकतम बाएँ आदर्श अद्वितीय अधिकतम दाएँ आदर्श और वलय के [[ जैकबसन कट्टरपंथी |जैकबसन रेडिकल]] के साथ मेल खाता है। ऊपर सूचीबद्ध गुणों में से तीसरा कहता है कि स्थानीय वलय में गैर-इकाइयों का समूह एक (उचित) आदर्श बनाता है,<ref>Lam (2001), p. 295, Thm. 19.1.</ref> आवश्यक रूप से जैकबसन रेडिकल में निहित है। चौथी गुण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: एक वलय ''R'' स्थानीय है यदि और केवल यदि जब दो सहअभाज्य उचित (प्रधान आदर्श) (बाएं) आदर्श उपस्थित नहीं हैं, जहां दो आदर्श ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub> सहअभाज्य कहलाते हैं यदि {{nowrap|1=''R'' = ''I''<sub>1</sub> + ''I''<sub>2</sub>}}.
-[[क्रमविनिमेय वलय]] के स्थितियों में किसी को बाएँ, दाएँ और दो-तरफा आदर्शों के मध्य अंतर करने की आवश्यकता नहीं है: एक क्रमविनिमेय वलय स्थानीय है यदि और केवल यदि जब इसमें एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होते है तो लगभग 1960 से पहले अनेक लेखकों की आवश्यकता थी कि एक स्थानीय वलय (बाएं और दाएं) [[नोथेरियन अंगूठी|नोथेरियन वलय]]  हो और (संभवतः गैर-नोथेरियन) स्थानीय वलय को अर्ध-स्थानीय वलय कहा जाता था। इस आलेख में यह आवश्यकता क्रियान्वित  नहीं की गई है.
+[[क्रमविनिमेय वलय]] के स्थितियों में किसी को बाएँ, दाएँ और दो-तरफा आदर्शों के मध्य अंतर करने की आवश्यकता नहीं है: एक क्रमविनिमेय वलय स्थानीय है यदि और केवल यदि जब इसमें एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होते है तो लगभग 1960 से पहले अनेक लेखकों की आवश्यकता थी कि एक स्थानीय वलय (बाएं और दाएं) [[नोथेरियन अंगूठी|नोथेरियन वलय]] हो और (संभवतः गैर-नोथेरियन) स्थानीय वलय को अर्ध-स्थानीय वलय कहा जाता था। इस आलेख में यह आवश्यकता क्रियान्वित नहीं की गई है.
 एक स्थानीय वलय जो एक [[अभिन्न डोमेन]] है उसे स्थानीय डोमेन कहा जाता है।
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 == उदाहरण ==
 *सभी [[फ़ील्ड (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] (और विषम क्षेत्र ) स्थानीय वलय हैं, क्योंकि इन वलय में {0} एकमात्र अधिकतम आदर्श है।
-*वलय <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> एक स्थानीय वलय है ({{mvar|p}} मुख्य, {{math|''n'' ≥ 1}}). अद्वितीय अधिकतम आदर्श में {{mvar|p}}  के सभी गुणज सम्मिलित होते हैं
+*वलय <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> एक स्थानीय वलय है ({{mvar|p}} मुख्य, {{math|''n'' ≥ 1}}). अद्वितीय अधिकतम आदर्श में {{mvar|p}} के सभी गुणज सम्मिलित होते हैं
 *अधिक सामान्यतः, एक गैर-शून्य वलय जिसमें प्रत्येक तत्व या तब एक इकाई या निलपोटेंट होता है, एक स्थानीय वलय होता है।
 *स्थानीय वलय का एक महत्वपूर्ण वर्ग अलग मूल्यांकन वलय हैं, जो स्थानीय [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] हैं जो क्षेत्र नहीं हैं।
-*वलय  <math>\mathbb{C}[[x]]</math>, जिसके तत्व अनंत श्रृंखला हैं <math display="inline">\sum_{i=0}^\infty a_ix^i </math>जहां गुणन <math display="inline">(\sum_{i=0}^\infty a_ix^i)(\sum_{i=0}^\infty b_ix^i)=\sum_{i=0}^\infty c_ix^i</math> द्वारा दिया जाता है जैसे कि <math display="inline">c_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j</math> स्थानीय है। इसके अद्वितीय अधिकतम आदर्श में वे सभी तत्व सम्मिलित हैं जो विपरीत नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें अचर पद शून्य वाले सभी तत्व सम्मिलित हैं।
+*वलय <math>\mathbb{C}[[x]]</math>, जिसके तत्व अनंत श्रृंखला हैं <math display="inline">\sum_{i=0}^\infty a_ix^i </math>जहां गुणन <math display="inline">(\sum_{i=0}^\infty a_ix^i)(\sum_{i=0}^\infty b_ix^i)=\sum_{i=0}^\infty c_ix^i</math> द्वारा दिया जाता है जैसे कि <math display="inline">c_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j</math> स्थानीय है। इसके अद्वितीय अधिकतम आदर्श में वे सभी तत्व सम्मिलित हैं जो विपरीत नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें अचर पद शून्य वाले सभी तत्व सम्मिलित हैं।
 *अधिक सामान्यतः स्थानीय वलय पर [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] की प्रत्येक वलय स्थानीय होती है; अधिकतम आदर्श में आधार वलय के अधिकतम आदर्श में स्थिर पद वाली वह शक्ति श्रृंखलाएँ सम्मिलित होती हैं।
-*इसी प्रकार, किसी भी क्षेत्र में [[दोहरी संख्या]]ओं का बीजगणित स्थानीय होता है। अधिक सामान्यतः यदि F एक स्थानीय वलय है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तब  भागफल वलय F[X]/(X<sup>n</sup>) अधिकतम आदर्श वाला स्थानीय है जिसमें F के अधिकतम आदर्श से संबंधित स्थिर पद वाले बहुपदों के वर्ग सम्मिलित हैं, क्योंकि कोई अन्य सभी बहुपदों को विपरीत करने के लिए एक ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग कर सकता है [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] X<sup>n</sup>. यदि F एक क्षेत्र है, तब  F[X]/(X<sup>n</sup>) या तब  शून्यशक्तिशाली हैं या विपरीत किये जाते हैं।(F के ऊपर की दोहरी संख्याएँ {{nowrap|1=''n'' = 2}} के अनुरूप हैं।)
+*इसी प्रकार, किसी भी क्षेत्र में [[दोहरी संख्या]]ओं का बीजगणित स्थानीय होता है। अधिक सामान्यतः यदि F एक स्थानीय वलय है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तब भागफल वलय F[X]/(X<sup>n</sup>) अधिकतम आदर्श वाला स्थानीय है जिसमें F के अधिकतम आदर्श से संबंधित स्थिर पद वाले बहुपदों के वर्ग सम्मिलित हैं, क्योंकि कोई अन्य सभी बहुपदों को विपरीत करने के लिए एक ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग कर सकता है [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] X<sup>n</sup>. यदि F एक क्षेत्र है, तब F[X]/(X<sup>n</sup>) या तब शून्यशक्तिशाली हैं या विपरीत किये जाते हैं।(F के ऊपर की दोहरी संख्याएँ {{nowrap|1=''n'' = 2}} के अनुरूप हैं।)
 *स्थानीय वलय के अशून्य भागफल वलय स्थानीय होते हैं।
 *[[विषम संख्या]] वाले हर वाली परिमेय संख्याओं का वलय स्थानीय होता है; इसके अधिकतम आदर्श में सम अंश और विषम हर वाले भिन्न सम्मिलित होते हैं। यह 2 पर एक वलय का पूर्णांक स्थानीयकरण है।
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 इन वलय के लिए स्थानीय नाम को प्रेरित करने के लिए, हम वास्तविक रेखा के 0 के आसपास कुछ [[अंतराल (गणित)]] पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों पर विचार करते हैं। हम केवल 0 के निकट इन कार्यों के व्यवहार (उनके स्थानीय व्यवहार) में रुचि रखते हैं और इसलिए हम दो कार्यों की पहचान करेंगे यदि वे 0 के आसपास कुछ (संभवतः बहुत छोटे) विवर्त अंतराल पर सहमत हों। यह पहचान एक तुल्यता संबंध और [[तुल्यता वर्ग]] को परिभाषित करती है वे हैं जिन्हें 0 पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों का [[रोगाणु (गणित)]] कहा जाता है। इन रोगाणुओं को जोड़ा और बढ़ाया जा सकता है और एक क्रमविनिमेय वलय का निर्माण किया जा सकता है।
-यह देखने के लिए कि रोगाणुओं का यह घेरा स्थानीय है हमें इसके विपरीत तत्वों को चिह्नित करने की आवश्यकता है। एक रोगाणु एफ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}. कारण: यदि {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}, तब  निरंतरता से 0 के आसपास एक विवर्त  अंतराल होता है जहां एफ गैर-शून्य है, और हम फलन बना सकते हैं {{nowrap|1=''g''(''x'') = 1/''f''(''x'')}} इस अंतराल पर. फलन g एक रोगाणु को जन्म देता है, और fg का गुणनफल 1 के सामान्तर  होता है। (इसके विपरीत, यदि f विपरीत है, तब  कुछ g ऐसा है कि f(0)g(0) = 1, इसलिए {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}.)
+यह देखने के लिए कि रोगाणुओं का यह घेरा स्थानीय है हमें इसके विपरीत तत्वों को चिह्नित करने की आवश्यकता है। एक रोगाणु एफ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}. कारण: यदि {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}, तब निरंतरता से 0 के आसपास एक विवर्त अंतराल होता है जहां एफ गैर-शून्य है, और हम फलन बना सकते हैं {{nowrap|1=''g''(''x'') = 1/''f''(''x'')}} इस अंतराल पर. फलन g एक रोगाणु को जन्म देता है, और fg का गुणनफल 1 के सामान्तर होता है। (इसके विपरीत, यदि f विपरीत है, तब कुछ g ऐसा है कि f(0)g(0) = 1, इसलिए {{nowrap|''f''(0) ≠ 0}}.)
 इस लक्षण वर्णन के साथ, यह स्पष्ट है कि किन्हीं दो गैर-विपरीत रोगाणुओं का योग फिर से गैर-विपरीत है, और हमारे पास एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय है। इस वलय का अधिकतम आदर्श स्पष्ट रूप से उन रोगाणुओं f से युक्त होता है जिनका {{nowrap|1=''f''(0) = 0}} होता है।
-बिल्कुल वही तर्क किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर निरंतर वास्तविक-मान वाले कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं, या किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी अलग-अलग अनेक  गुना पर अलग-अलग कार्यों के रोगाणुओं की वलय, या तर्कसंगत कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं। किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी बीजगणितीय विविधता पर। इसलिए ये सभी वलय स्थानीय हैं। ये उदाहरण यह समझाने में सहायता करते हैं कि स्कीम (गणित), विविधो के सामान्यीकरण को विशेष स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है।
+बिल्कुल वही तर्क किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर निरंतर वास्तविक-मान वाले कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं, या किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी अलग-अलग अनेक गुना पर अलग-अलग कार्यों के रोगाणुओं की वलय, या तर्कसंगत कार्यों के रोगाणुओं की वलय के लिए काम करते हैं। किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी बीजगणितीय विविधता पर। इसलिए ये सभी वलय स्थानीय हैं। ये उदाहरण यह समझाने में सहायता करते हैं कि स्कीम (गणित), विविधो के सामान्यीकरण को विशेष स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है।
 === मूल्यांकन सिद्धांत ===
 मूल्यांकन सिद्धांत में स्थानीय वलय एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। परिभाषा के अनुसार, क्षेत्र K का मूल्यांकन वलय एक उपवलय R है, जैसे कि K के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x के लिए, x और ''x''<sup>−1</sup> में से कम से कम एक ''R'' में है। ऐसी कोई भी उपवलय एक स्थानीय वलय होगी। उदाहरण के लिए, विषम संख्या वाले हर (ऊपर उल्लिखित) वाली परिमेय संख्याओं का वलय <math>\mathbb{Q}</math> एक मूल्यांकन वलय है
-एक क्षेत्र K को देखते हुए, जो बीजगणितीय किस्म का फलन क्षेत्र हो भी सकता है और नहीं भी, हम इसमें स्थानीय वलय की खोज कर सकते हैं। यदि K वास्तव में बीजगणितीय विविधता V का फलन क्षेत्र था, तब  V के प्रत्येक बिंदु P के लिए हम P पर परिभाषित फलन के मूल्यांकन वलय R को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। ऐसे स्थितियों में जहां V का आयाम 2 या अधिक है, वहां एक कठिनाई है इस प्रकार देखा जाए: यदि F और G, V पर परिमेय फलन हैं
+एक क्षेत्र K को देखते हुए, जो बीजगणितीय किस्म का फलन क्षेत्र हो भी सकता है और नहीं भी, हम इसमें स्थानीय वलय की खोज कर सकते हैं। यदि K वास्तव में बीजगणितीय विविधता V का फलन क्षेत्र था, तब V के प्रत्येक बिंदु P के लिए हम P पर परिभाषित फलन के मूल्यांकन वलय R को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। ऐसे स्थितियों में जहां V का आयाम 2 या अधिक है, वहां एक कठिनाई है इस प्रकार देखा जाए: यदि F और G, V पर परिमेय फलन हैं
 :''F''(''P'') = ''G''(''P'') = 0,,
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 === नॉन-कम्यूटेटिव ===
-कुछ अन्य वलय पर मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल अपघटन के प्रत्यक्ष योग के अध्ययन में [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म]] वलय के रूप में गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय वलय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। विशेष रूप से, यदि मॉड्यूल ''M'' की एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है, तब  ''M'' [[अविभाज्य मॉड्यूल]] है; इसके विपरीत यदि मॉड्यूल ''M'' में मॉड्यूल की सीमित लंबाई है और यह अविभाज्य है तब  इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है।
+कुछ अन्य वलय पर मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल अपघटन के प्रत्यक्ष योग के अध्ययन में [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म]] वलय के रूप में गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय वलय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। विशेष रूप से, यदि मॉड्यूल ''M'' की एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है, तब ''M'' [[अविभाज्य मॉड्यूल]] है; इसके विपरीत यदि मॉड्यूल ''M'' में मॉड्यूल की सीमित लंबाई है और यह अविभाज्य है तब इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय स्थानीय है।
 यदि k विशेषता p > 0 का क्षेत्र है और G एक परिमित p-समूह है, तो समूह बीजगणित kG स्थानीय है।
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 === क्रमविनिमेय स्थितियों ===
-हम अधिकतम आदर्श m के साथ क्रमविनिमेय स्थानीय वलय R के लिए (R, m) भी लिखते हैं। यदि कोई m की शक्तियों को 0 के निकट  के आधार के रूप में लेता है, तो ऐसी प्रत्येक वलय प्राकृतिक रूप  से एक टोपोलॉजिकल वलय बन जाती है। यह R पर m-एडिक टोपोलॉजी है। यदि (R, m) एक क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय है, तो
+हम अधिकतम आदर्श m के साथ क्रमविनिमेय स्थानीय वलय R के लिए (R, m) भी लिखते हैं। यदि कोई m की शक्तियों को 0 के निकट के आधार के रूप में लेता है, तो ऐसी प्रत्येक वलय प्राकृतिक रूप से एक टोपोलॉजिकल वलय बन जाती है। यह R पर m-एडिक टोपोलॉजी है। यदि (R, m) एक क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय है, तो
 :<math>\bigcap_{i=1}^\infty m^i = \{0\}</math>
 (क्रुल का प्रतिच्छेदन प्रमेय), और यह इस प्रकार है कि m -एडिक टोपोलॉजी के साथ ''R'' एक हॉसडॉर्फ स्थान है। प्रमेय नाकायमा के लेम्मा के साथ आर्टिन-रीस लेम्मा का परिणाम है, और, जैसे, "नोथेरियन" धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तव में, मान लीजिए कि R वास्तविक रेखा में 0 पर असीम रूप से भिन्न कार्यों के रोगाणुओं का वलय है और m अधिकतम आदर्श <math>(x)</math> है। फिर एक गैर-शून्य फलन <math>e^{-{1 \over x^2}}</math> किसी भी n के लिए <math>m^n</math> से संबंधित होता है, क्योंकि <math>x^n</math> से विभाजित वह फलन अभी भी सुचारू है।
-जहां तक किसी टोपोलॉजिकल वलय का प्रश्न है, कोई यह पूछ सकता है कि क्या {{nowrap|(''R'', ''m'')}} पूर्ण [[एकसमान स्थान]] है (एकसमान स्थान के रूप में); यदि ऐसा नहीं है, तब  कोई इसके समापन (वलय सिद्धांत) पर विचार करता है, फिर से एक स्थानीय वलय पूर्ण नोथेरियन स्थानीय वलय [[कोहेन संरचना प्रमेय]] द्वारा वर्गीकृत किया गया है।
+जहां तक किसी टोपोलॉजिकल वलय का प्रश्न है, कोई यह पूछ सकता है कि क्या {{nowrap|(''R'', ''m'')}} पूर्ण [[एकसमान स्थान]] है (एकसमान स्थान के रूप में); यदि ऐसा नहीं है, तब कोई इसके समापन (वलय सिद्धांत) पर विचार करता है, फिर से एक स्थानीय वलय पूर्ण नोथेरियन स्थानीय वलय [[कोहेन संरचना प्रमेय]] द्वारा वर्गीकृत किया गया है।
 बीजगणितीय ज्यामिति में, विशेषकर जब R किसी बिंदु P पर किसी योजना का स्थानीय वलय है, {{nowrap|''R'' / ''m''}} को स्थानीय वलय का [[अवशेष क्षेत्र]] या बिंदु P का अवशेष क्षेत्र कहा जाता है।
-यदि {{nowrap|(''R'', ''m'')}} और {{nowrap|(''S'', ''n'')}} स्थानीय वलय  हैं, तो ''R'' से ''S'' तक एक स्थानीय वलय  होमोमोर्फिज्म {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} संपत्ति {{nowrap|''f''(''m'') ⊆ ''n''}} के साथ एक वलय  होमोमोर्फिज्म है।<ref>{{Cite web|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/07BI|title=Tag 07BI}}</ref> ये स्पष्ट रूप से वलय  होमोमोर्फिज्म हैं जो ''R'' और ''S''  पर दिए गए टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर हैं। उदाहरण के लिए, वलय  मॉर्फिज्म <math>\mathbb{C}[x]/(x^3) \to \mathbb{C}[x,y]/(x^3,x^2y,y^4)</math> को <math>x \mapsto x</math> भेजने पर विचार करें। <math>(x,y)</math> की पूर्वछवि <math>(x)</math> है। स्थानीय वलय  आकारिकी का एक और उदाहरण <math>\mathbb{C}[x]/(x^3) \to \mathbb{C}[x]/(x^2)
+यदि {{nowrap|(''R'', ''m'')}} और {{nowrap|(''S'', ''n'')}} स्थानीय वलय हैं, तो ''R'' से ''S'' तक एक स्थानीय वलय होमोमोर्फिज्म {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} संपत्ति {{nowrap|''f''(''m'') ⊆ ''n''}} के साथ एक वलय होमोमोर्फिज्म है।<ref>{{Cite web|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/07BI|title=Tag 07BI}}</ref> ये स्पष्ट रूप से वलय होमोमोर्फिज्म हैं जो ''R'' और ''S'' पर दिए गए टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर हैं। उदाहरण के लिए, वलय मॉर्फिज्म <math>\mathbb{C}[x]/(x^3) \to \mathbb{C}[x,y]/(x^3,x^2y,y^4)</math> को <math>x \mapsto x</math> भेजने पर विचार करें। <math>(x,y)</math> की पूर्वछवि <math>(x)</math> है। स्थानीय वलय आकारिकी का एक और उदाहरण <math>\mathbb{C}[x]/(x^3) \to \mathbb{C}[x]/(x^2)
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 ===सामान्य स्थितियों ===
-एक स्थानीय वलय ''R'' का जैकबसन रेडिकल m  (जो अद्वितीय अधिकतम बाएं आदर्श के सामान्तर  है और अद्वितीय अधिकतम दाएं आदर्श के सामान्तर  है) में वलय की गैर-इकाइयां सम्मिलित हैं; इसके अतिरिक्त  यह ''R'' का अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श है। चूंकि गैर-अनुक्रमणीय स्थितियों में एक अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श होना स्थानीय होने के सामान्तर नहीं है।<ref>The 2 by 2 matrices over a field, for example, has unique maximal ideal {0}, but it has multiple maximal right and left ideals.</ref>
+एक स्थानीय वलय ''R'' का जैकबसन रेडिकल m (जो अद्वितीय अधिकतम बाएं आदर्श के सामान्तर है और अद्वितीय अधिकतम दाएं आदर्श के सामान्तर है) में वलय की गैर-इकाइयां सम्मिलित हैं; इसके अतिरिक्त यह ''R'' का अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श है। चूंकि गैर-अनुक्रमणीय स्थितियों में एक अद्वितीय अधिकतम दो-तरफा आदर्श होना स्थानीय होने के सामान्तर नहीं है।<ref>The 2 by 2 matrices over a field, for example, has unique maximal ideal {0}, but it has multiple maximal right and left ideals.</ref>
 स्थानीय वलय R के तत्व x के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
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 * x, m में नहीं है।
-यदि {{nowrap|(''R'', ''m'')}} स्थानीय है, तब  [[कारक वलय]] R/m एक विषम क्षेत्र है। यदि {{nowrap|''J'' ≠ ''R''}} आर में कोई दो-तरफा आदर्श है तब  कारक वलय ''R''/''J''  फिर से स्थानीय है, अधिकतम आदर्श ''m''/''J''  के साथ है।
+यदि {{nowrap|(''R'', ''m'')}} स्थानीय है, तब [[कारक वलय]] R/m एक विषम क्षेत्र है। यदि {{nowrap|''J'' ≠ ''R''}} आर में कोई दो-तरफा आदर्श है तब कारक वलय ''R''/''J'' फिर से स्थानीय है, अधिकतम आदर्श ''m''/''J'' के साथ है।
 इरविंग कपलान्स्की का एक गहन प्रमेय कहता है कि स्थानीय वलय पर कोई भी प्रक्षेप्य मॉड्यूल मुफ़्त है, चूँकि वह स्थिति जहाँ मॉड्यूल को अंतिम रूप से उत्पन्न किया जाता है, वह नाकायमा के लेम्मा का एक सरल परिणाम है। मोरीटा तुल्यता के संदर्भ में इसका एक रौचक परिणाम है। अर्थात्, यदि P एक परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य R मॉड्यूल है, तो P मुक्त मॉड्यूल ''R<sup>n</sup>'' के लिए आइसोमोर्फिक है, और इसलिए एंडोमोर्फिज्म की वलय <math>\mathrm{End}_R(P)</math>आव्यूह की पूरी वलय के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathrm{M}_n(R)</math> चूंकि स्थानीय वलय आर के समान प्रत्येक वलय मोरिटा ऐसे P के लिए रूप <math>\mathrm{End}_R(P)</math> का है, निष्कर्ष यह है कि स्थानीय वलय आर के समान एकमात्र वलय मोरिटा आर के ऊपर आव्यूह वलय (आइसोमोर्फिक) हैं।

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