यह आलेख बाह्य कलन में कई समरूपताओं (गणित) [1] [2] [3] [4] [5]
संकेतन इस प्रकार से निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।
मैनिफोल्ड M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} n {\displaystyle n} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
इस प्रकार से p ∈ M {\displaystyle p\in M} q ∈ N {\displaystyle q\in N} मैनिफोल्ड पर एक बिंदु दर्शाता है।
मैनिफोल्ड M {\displaystyle M} ∂ M {\displaystyle \partial M} n − 1 {\displaystyle n-1} M {\displaystyle M} ∂ M {\displaystyle \partial M}
अतः हम सामान्यतः उपमैनिफोल्ड को Σ ⊂ M {\displaystyle \Sigma \subset M}
स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल इस प्रकार से T M {\displaystyle TM} T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} M {\displaystyle M} स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को दर्शाता है।
अतः T p M {\displaystyle T_{p}M} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} स्पर्शरेखा समष्टि को दर्शाता है। T p ∗ M {\displaystyle T_{p}^{*}M} p {\displaystyle p} M {\displaystyle M} कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को दर्शाता है।
स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः X , Y , Z ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (TM)} p ∈ M {\displaystyle p\in M} X | p , Y | p , Z | p ∈ T p M {\displaystyle X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M} विभेदक रूप (या सहसदिश क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः α , β ∈ Γ ( T ∗ M ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)} p ∈ M {\displaystyle p\in M} α | p , β | p ∈ T p ∗ M {\displaystyle \alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M} Γ ( T ∗ M ) {\displaystyle \Gamma (T^{*}M)} Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}
विभेदक k-रूप विभेदक k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} T M {\displaystyle TM} k {\displaystyle k} Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 0 ≤ k , l , m ≤ n {\displaystyle 0\leq k,\ l,\ m\leq n} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)} γ ∈ Ω m ( M ) {\displaystyle \gamma \in \Omega ^{m}(M)}
इस प्रकार से 0 {\displaystyle 0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} M {\displaystyle M} C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} 1 ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle \mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)}
अनुक्रम के छोड़े गए अवयव जब हमें ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} X 0 , … , X k {\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}
α ( X 0 , … , X ^ i , … , X k ) := α ( X 0 , … , X i − 1 , X i + 1 , … , X k ) {\displaystyle \alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k})} i {\displaystyle i} इस प्रकार से बाह्य गुणनफल को वेज गुणनफल के रूप में भी जाना जाता है। इसे ∧ : Ω k ( M ) × Ω l ( M ) → Ω k + l ( M ) {\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} l {\displaystyle l} β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)} ( k + l ) {\displaystyle (k+l)} α ∧ β ∈ Ω k + l ( M ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)} { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} σ {\displaystyle \sigma } S ( k , k + l ) {\displaystyle S(k,k+l)} σ ( 1 ) < … < σ ( k ) , σ ( k + 1 ) < … < σ ( k + l ) {\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)}
( α ∧ β ) ( X 1 , … , X k + l ) = ∑ σ ∈ S ( k , k + l ) sign ( σ ) α ( X σ ( 1 ) , … , X σ ( k ) ) ⊗ β ( X σ ( k + 1 ) , … , X σ ( k + l ) ) {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\otimes \beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)})} इस प्रकार से अनुभाग X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ∂ X f {\displaystyle \partial _{X}f}
अतः बाह्य व्युत्पन्न d k : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)} 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n}
0 {\displaystyle 0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} 1 {\displaystyle 1} d 0 f ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)} ( d 0 f ) ( X ) = ∂ X f {\displaystyle (d_{0}f)(X)=\partial _{X}f} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} [6]
0 < k ≤ n {\displaystyle 0<k\leq n} [6]
( d k ω ) ( X 0 , … , X k ) = ∑ 0 ≤ j ≤ k ( − 1 ) j d 0 ( ω ( X 0 , … , X ^ j , … , X k ) ) ( X j ) + ∑ 0 ≤ i < j ≤ k ( − 1 ) i + j ω ( [ X i , X j ] , X 0 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X k ) . {\displaystyle (d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).} लाई कोष्ठक इस प्रकार से अनुभागों X , Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)} [ X , Y ] ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (TM)}
∀ f ∈ Ω 0 ( M ) ⇒ ∂ [ X , Y ] f = ∂ X ∂ Y f − ∂ Y ∂ X f {\displaystyle \forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f=\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y}\partial _{X}f} स्पर्शरेखा प्रतिचित्र यदि ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\rightarrow N} d ϕ | p : T p M → T ϕ ( p ) N {\displaystyle d\phi |_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} γ ′ ( 0 ) = X ∈ T p M {\displaystyle \gamma '(0)=X\in T_{p}M} M {\displaystyle M} γ {\displaystyle \gamma }
d ϕ ( X ) := ( ϕ ∘ γ ) ′ . {\displaystyle d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.} ध्यान दें कि ϕ {\displaystyle \phi } N {\displaystyle N} 0 {\displaystyle 0}
पुल-बैक यदि ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\rightarrow N} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( N ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(N)} पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि किसी भी k {\displaystyle k} Σ ⊂ M {\displaystyle \Sigma \subset M}
∫ Σ ϕ ∗ α = ∫ ϕ ( Σ ) α {\displaystyle \int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha } इस प्रकार से पुल-बैक को
( ϕ ∗ α ) ( X 1 , … , X k ) = α ( d ϕ ( X 1 ) , … , d ϕ ( X k ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k}))} आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, अनुभाग Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle Y\in \Gamma (TM)} ι Y : Ω k + 1 ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle \iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} Y {\displaystyle Y} ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} α ∈ Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M)} X i ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X_{i}\in \Gamma (TM)}
( ι Y α ) ( X 1 , … , X k ) = α ( Y , X 1 , … , X k ) {\displaystyle (\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k})} मापन टेंसर प्रत्येक T p M {\displaystyle T_{p}M} गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप g p ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle g_{p}(\cdot ,\cdot )} M {\displaystyle M} छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बन जाता है। हम मापन टेंसर g {\displaystyle g} g ( X , Y ) | p = g p ( X | p , Y | p ) {\displaystyle g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})} s = sign ( g ) {\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)} रीमैनियन मैनिफोल्ड में s = 1 {\displaystyle s=1} मिन्कोवस्की समष्टि में s = − 1 {\displaystyle s=-1}
संगीत समरूपता मापन टेंसर g ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle g(\cdot ,\cdot )} ♭ {\displaystyle \flat } ♯ {\displaystyle \sharp } A ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle A\in \Gamma (TM)} A ♭ ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
A ♭ ( X ) = g ( A , X ) {\displaystyle A^{\flat }(X)=g(A,X)} एक रूप α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} α ♯ ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
α ( X ) = g ( α ♯ , X ) {\displaystyle \alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X)} इस प्रकार से ये प्रतिचित्रण बहुरेखीयता के माध्यम से k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) ♭ = A 1 ♭ ∧ A 2 ♭ ∧ ⋯ ∧ A k ♭ {\displaystyle (A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }} ( α 1 ∧ α 2 ∧ ⋯ ∧ α k ) ♯ = α 1 ♯ ∧ α 2 ♯ ∧ ⋯ ∧ α k ♯ {\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }} हॉज स्टार इस प्रकार से एन-मैनिफोल्ड M के लिए, हॉज स्टार संक्रियक ⋆ : Ω k ( M ) → Ω n − k ( M ) {\displaystyle {\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} ( n − k ) {\displaystyle (n{-}k)} ( ⋆ α ) ∈ Ω n − k ( M ) {\displaystyle ({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)}
अतः इसे T M {\displaystyle TM} ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})} g {\displaystyle g}
( ⋆ α ) ( X 1 , … , X n − k ) = α ( X n − k + 1 , … , X n ) {\displaystyle ({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n})} सह-विभेदक संक्रियक इस प्रकार से n {\displaystyle n} M {\displaystyle M} δ : Ω k ( M ) → Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}
δ := ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ = ( − 1 ) n k + n + 1 ⋆ d ⋆ {\displaystyle \delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }} अतः हॉज-डिरैक संक्रियक, d + δ {\displaystyle d+\delta } डिरैक संक्रियक है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।
अभिविन्यस्त मैनिफोल्ड एक n {\displaystyle n} M एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे n -रूप μ ∈ Ω n ( M ) {\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(M)} M पर प्रत्येक समष्टि सतत और गैर-शून्य है।
आयतन रूप इस प्रकार से एक अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड M {\displaystyle M} g {\displaystyle g} आयतन रूप के विहित चयन और अभिविन्यास (सदिश समष्टि) से मेल खाने के लिए किसी भी आधार d X 1 , … , d X n {\displaystyle dX_{1},\ldots ,dX_{n}} d e t := | det g | d X 1 ♭ ∧ … ∧ d X n ♭ {\displaystyle \mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }}
क्षेत्रफल अतः एक आयतन रूप d e t {\displaystyle \mathbf {det} } N {\displaystyle N} boundary ∂ M {\displaystyle \partial M} पर एक क्षेत्र रूप σ := ι N det {\displaystyle \sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}}
k {\displaystyle k} इस प्रकार से मापन टेंसर का सामान्यीकरण, दो k {\displaystyle k} α , β ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)} सममित द्विरेखीय रूप , M {\displaystyle M}
⟨ α , β ⟩ | p := ⋆ ( α ∧ ⋆ β ) | p {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}} बिंदुवार परिभाषित किया गया है।k {\displaystyle k} Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} L 2 {\displaystyle L^{2}} ⟨ ⟨ α , β ⟩ ⟩ := ∫ M α ∧ ⋆ β {\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta } अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड की स्थिति में, प्रत्येक आंतरिक गुणनफल है (अर्थात धनात्मक-निश्चित है)।
हम किसी दिए गए खंड X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)} L : Ω k ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle {\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}
L X = d ∘ ι X + ι X ∘ d {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d} इस प्रकार से यह अनुभाग X {\displaystyle X} ϕ t {\displaystyle \phi _{t}} k {\displaystyle k}
पुल-बैक गुण d ( ϕ ∗ α ) = ϕ ∗ ( d α ) {\displaystyle d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )} d {\displaystyle d} ϕ ∗ ( α ∧ β ) = ( ϕ ∗ α ) ∧ ( ϕ ∗ β ) {\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )} ∧ {\displaystyle \wedge } ( ϕ 1 ∘ ϕ 2 ) ∗ = ϕ 2 ∗ ϕ 1 ∗ {\displaystyle (\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}} f ∈ Ω 0 ( N ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(N)} ϕ ∗ f = f ∘ ϕ {\displaystyle \phi ^{*}f=f\circ \phi } संगीत समरूपता गुण ( X ♭ ) ♯ = X {\displaystyle (X^{\flat })^{\sharp }=X} ( α ♯ ) ♭ = α {\displaystyle (\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha } आंतरिक गुणनफल गुण ι X ∘ ι X = 0 {\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0} ι X ∘ ι Y = − ι Y ∘ ι X {\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}} ι X ( α ∧ β ) = ( ι X α ) ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ ( ι X β ) {\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )} α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)} α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} ι X α = α ( X ) {\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ι X f = 0 {\displaystyle \iota _{X}f=0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ι X ( f α ) = f ι X α {\displaystyle \iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha } हॉज स्टार गुण λ 1 , λ 2 ∈ R {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} } ⋆ ( λ 1 α + λ 2 β ) = λ 1 ( ⋆ α ) + λ 2 ( ⋆ β ) {\displaystyle {\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} ⋆ ⋆ α = s ( − 1 ) k ( n − k ) α {\displaystyle {\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha } n = dim ( M ) {\displaystyle n=\dim(M)} s = sign ( g ) {\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)} ⋆ ( − 1 ) = s ( − 1 ) k ( n − k ) ⋆ {\displaystyle {\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ⋆ ( f α ) = f ( ⋆ α ) {\displaystyle {\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )} 0 {\displaystyle 0} α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} ⟨ ⟨ α , α ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ⋆ α , ⋆ α ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle } 1 {\displaystyle 1} ⋆ 1 = d e t {\displaystyle {\star }\mathbf {1} =\mathbf {det} } सह-विभेदक संक्रियक गुण δ ∘ δ = 0 {\displaystyle \delta \circ \delta =0} ⋆ δ = ( − 1 ) k d ⋆ {\displaystyle {\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }} ⋆ d = ( − 1 ) k + 1 δ ⋆ {\displaystyle {\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }} d {\displaystyle d} ⟨ ⟨ d α , β ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ α , δ β ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle } ∂ M = 0 {\displaystyle \partial M=0} δ {\displaystyle \delta } d {\displaystyle d} सामान्य रूप में, ∫ M d α ∧ ⋆ β = ∫ ∂ M α ∧ ⋆ β + ∫ M α ∧ ⋆ δ β {\displaystyle \int _{M}d\alpha \wedge \star \beta =\int _{\partial M}\alpha \wedge \star \beta +\int _{M}\alpha \wedge \star \delta \beta }
f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} δ f = 0 {\displaystyle \delta f=0} लाई व्युत्पन्न गुण d ∘ L X = L X ∘ d {\displaystyle d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d} d {\displaystyle d} ι X ∘ L X = L X ∘ ι X {\displaystyle \iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}} ι X {\displaystyle \iota _{X}} L X ( ι Y α ) = ι [ X , Y ] α + ι Y L X α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha } L X ( α ∧ β ) = ( L X α ) ∧ β + α ∧ ( L X β ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )} ( δ α ) ( X 1 , … , X k − 1 ) = − ∑ i = 1 n ( ι E i ( ∇ E i α ) ) ( X 1 , … , X ^ i , … , X k ) {\displaystyle (\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})} E 1 , … , E n {\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}} ( L Y α ) ( X 1 , … , X k ) = ( ∇ Y α ) ( X 1 , … , X k ) − ∑ i = 1 k α ( X 1 , … , ∇ X i Y , … , X k ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})} हॉज अपघटन यदि ∂ M = ∅ {\displaystyle \partial M=\emptyset } ω ∈ Ω k ( M ) ⇒ ∃ α ∈ Ω k − 1 , β ∈ Ω k + 1 , γ ∈ Ω k ( M ) , d γ = 0 , δ γ = 0 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0}
ω = d α + δ β + γ {\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma } पोंकारे लेम्मा इस प्रकार से यदि एक सीमाहीन मैनिफोल्ड M {\displaystyle M} H k ( M ) = { 0 } {\displaystyle H^{k}(M)=\{0\}} ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} अनुबंध योग्य समष्टि है।
सदिश कलन से संबंध यूक्लिडियन 3-समष्टि में समरूपता मान लीजिए यूक्लिडियन मापन g ( X , Y ) := ⟨ X , Y ⟩ = X ⋅ Y {\displaystyle g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y}
अतः इस प्रकार से हम α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)} डेल R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
ι X α = g ( X , α ♯ ) = X ⋅ α ♯ {\displaystyle \iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }} d e t ( X , Y , Z ) = ⟨ X , Y × Z ⟩ = ⟨ X × Y , Z ⟩ {\displaystyle \mathbf {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle } X × Y = ( ⋆ ( X ♭ ∧ Y ♭ ) ) ♯ {\displaystyle X\times Y=({\star }(X^{\flat }\wedge Y^{\flat }))^{\sharp }} अनुप्रस्थ गुणनफल )ι X α = − ( X × A ) ♭ {\displaystyle \iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }} α ∈ Ω 2 ( M ) , A = ( ⋆ α ) ♯ {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }} X ⋅ Y = ⋆ ( X ♭ ∧ ⋆ Y ♭ ) {\displaystyle X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })} अदिश गुणनफल )∇ f = ( d f ) ♯ {\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }} X ⋅ ∇ f = d f ( X ) {\displaystyle X\cdot \nabla f=df(X)} ∇ ⋅ X = ⋆ d ⋆ X ♭ = − δ X ♭ {\displaystyle \nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=-\delta X^{\flat }} विचलन )∇ × X = ( ⋆ d X ♭ ) ♯ {\displaystyle \nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }} कर्ल (गणित) )⟨ X , N ⟩ σ = ⋆ X ♭ {\displaystyle \langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }} N {\displaystyle N} ∂ M {\displaystyle \partial M} σ = ι N d e t {\displaystyle \sigma =\iota _{N}\mathbf {det} } ∂ M {\displaystyle \partial M} ∫ Σ d ⋆ X ♭ = ∫ ∂ Σ ⋆ X ♭ = ∫ ∂ Σ ⟨ X , N ⟩ σ {\displaystyle \int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma } विचलन प्रमेय )लाई व्युत्पन्न L X f = X ⋅ ∇ f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f} 0 {\displaystyle 0} L X α = ( ∇ X α ♯ ) ♭ + g ( α ♯ , ∇ X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)} 1 {\displaystyle 1} ⋆ L X β = ( ∇ X B − ∇ B X + ( div X ) B ) ♭ {\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }} B = ( ⋆ β ) ♯ {\displaystyle B=({\star }\beta )^{\sharp }} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3} ⋆ L X ρ = d q ( X ) + ( div X ) q {\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q} ρ = ⋆ q ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle \rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)} n {\displaystyle n} L X ( d e t ) = ( div ( X ) ) d e t {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det} }
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