अंकगणित व्युत्पन्न

संख्या सिद्धांत में, लैगरियास अंकगणितीय व्युत्पन्न या संख्या व्युत्पन्न पूर्णांक के लिए परिभाषित फलन (गणित) है, जो गणितीय विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले व्युत्पन्न के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप, अभाज्य गुणनखंड पर आधारित है।

अंकगणितीय व्युत्पन्नों के कई संस्करण हैं, जिनमें इस लेख में चर्चा की गई (लैगरियस अंकगणितीय व्युत्पन्न) भी सम्मिलित है, जैसे कि इहारा का अंकगणितीय व्युत्पन्न और बुइअम का अंकगणितीय व्युत्पन्न है।

प्रारंभिक इतिहास

अंकगणितीय व्युत्पन्न की प्रारंभ 1911 में स्पेनिश गणितज्ञ जोस मिंगोट शेली द्वारा की गई थी। इस प्रकार अंकगणितीय व्युत्पन्न 1950 विलियम लोवेल पटनम प्रतियोगिता में भी दिखाई दिया था।

परिभाषा

प्राकृतिक संख्याओं n के लिए, अंकगणितीय व्युत्पन्न D(n) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• D(0) = D(1) = 0.
• D(p) = 1 किसी भी अभाज्य संख्या के लिए p.
• किसी भी $m,n\in \mathbb {N}$ (लीबनिज़ नियम) के लिए D(mn) = D(m)n + mD(n)।

प्राकृतिक संख्याओं से परे विस्तार

एडवर्ड जे. बारब्यू ने यह दिखाकर डोमेन को सभी पूर्णांकों तक विस्तारित किया कि विकल्प D(−n) = −D(n), जो विशिष्ट रूप से डोमेन को पूर्णांकों तक विस्तारित करता है, उत्पाद सूत्र के अनुरूप है। बारब्यू ने इसे तर्कसंगत संख्याओं तक भी बढ़ाया, यह दिखाते हुए कि परिचित भागफल नियम $\mathbb {Q}$ अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न देता है

$D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.$

विक्टर उफ्नारोव्स्की और बो ओहलैंडर ने इसे अपरिमेय संख्या तक विस्तारित किया जिसे अनैतिक तर्कसंगत घातो तक बढ़ाए गए अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे $D({\sqrt {3}}\,)$ जैसी अभिव्यक्तियों की गणना की जा सकती है।

अंकगणितीय व्युत्पन्न को किसी भी अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (यूएफडी) तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि गॉसियन पूर्णांक और आइज़ेंस्टीन पूर्णांक, और इससे संबंधित भिन्नों का क्षेत्र है यदि यूएफडी बहुपद वलय है, तो अंकगणितीय व्युत्पन्न उक्त बहुपद वलय पर व्युत्पन्न (विभेदक बीजगणित) के समान है। उदाहरण के लिए, नियमित व्युत्पन्न अविभाज्य वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या बहुपद और तर्कसंगत कार्य के वलय के लिए अंकगणितीय व्युत्पन्न है, जिसे बीजगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अंकगणितीय व्युत्पन्न को पूर्णांक मॉड्यूलो n की वलय तक भी बढ़ाया गया है।

प्राथमिक गुण

लीबनिज़ नियम का अर्थ यह है D(0) = 0 (माना m = n = 0) और D(1) = 0 (माना m = n = 1).

घात नियम अंकगणितीय व्युत्पन्न के लिए भी मान्य है। किसी भी पूर्णांक k और n ≥ 0 के लिए :

$D(k^{n})=nk^{n-1}D(k).$

यह किसी पूर्णांक ${\textstyle x=\prod _{i=1}^{\omega (x)}{p_{i}}^{\nu _{p_{i}}(x)}}$ के अभाज्य गुणनखंड से व्युत्पन्न की गणना करने की अनुमति देता है, :

$D(x)=\sum _{i=1}^{\omega (x)}\left[\nu _{p_{i}}(x)\left(\prod _{j=1}^{i-1}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)p_{i}^{\nu _{p_{i}}-1}\left(\prod _{j=i+1}^{\omega (x)}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)\right]=\sum _{i=1}^{\omega (x)}{\frac {\nu _{p_{i}}(x)}{p_{i}}}x=x\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{ prime}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}$

जहां ω(x), एक अभाज्य ओमेगा फलन, x में विशिष्ट अभाज्य कारकों की संख्या है, और ν_p(x) x का p-एडिक मूल्यांकन है।.

उदाहरण के लिए:

$D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=\left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)\cdot 60=92,$

या

$D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.$

k = 0, 1, 2, … के लिए संख्या व्युत्पन्न का क्रम प्रारंभ होता है ((sequence A003415 in the OEIS)):

$0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots$

संबंधित कार्य

लघुगणकीय व्युत्पन्न

लघुगणकीय व्युत्पन्न $\operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{ prime}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}$ एक पूर्णतः योगात्मक फलन है:$\operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).$

$p$ के संबंध में $x$ के अंकगणितीय आंशिक व्युत्पन्न को $x_{p}^{\prime }={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए, $x$ के अंकगणितीय व्युत्पन्न को $D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{ prime}}}}x_{p}^{\prime }.$ के रूप में दिया गया है

एक अंकगणितीय फलन $f$ लाइबनिज़-एडिटिव है यदि कोई पूरी तरह से गुणक फलन $h_{f}$ है जैसे कि सभी धनात्मक पूर्णांक $m$ और $n$ के लिए $f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)$। इस अवधारणा के लिए एक प्रेरणा यह तथ्य है कि लाइबनिज़-एडिटिव फलन अंकगणितीय व्युत्पन्न $D$ के सामान्यीकरण हैं; अर्थात्, $D$ $h_{D}(n)=n$ के साथ लीबनिज़-एडिटिव है

सैंडोर और अटानासोव द्वारा पुस्तक के खंड 3.5 में दिया गया फलन $\delta$ वास्तव में सामान्य अंकगणितीय व्युत्पन्न $D$ के समान ही है

असमानताएं और सीमाएं

ई. जे. बारब्यू ने अंकगणितीय व्युत्पन्न पर सीमाओं की जांच की थी और पाया कि

$D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}$

और

$D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}$

जहां Ω(n) एक अभाज्य ओमेगा फलन, n में अभाज्य कारकों की संख्या है। उपरोक्त दोनों सीमाओं में, समानता सदैव तब होती है जब n 2 की घात होटी है।

डाहल, ओल्सन और लोइको ने पाया कि प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय व्युत्पन्न किसके द्वारा परिबद्ध है

$D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}$

जहां p, n में सबसे छोटा अभाज्य है और समानता तब कायम रहती है जब n, p की घात है।

अलेक्जेंडर लोइको, जोनास अर्न्स्ट ओल्सन और निकलास डाहल ने पाया कि तर्कसंगत संख्याओं तक विस्तारित अंकगणितीय व्युत्पन्न के लिए समान सीमाएं खोजना असंभव है, यह सिद्ध करके कि किन्हीं दो तर्कसंगत संख्याओं के बीच अनैतिक रूप से बड़े या छोटे व्युत्पन्न के साथ अन्य तर्कसंगत हैं (ध्यान दें कि इसका कारण यह है कि) अंकगणितीय व्युत्पन्न $\mathbb {Q}$ को $\mathbb {Q}$ तक सतत कार्य नहीं है ).

औसत का क्रम

अपने पास

$\sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)$

और

$\sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })$

किसी भी δ > 0 के लिए, जहां

$T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.$

संख्या सिद्धांत की प्रासंगिकता

विक्टर उफनरोव्स्की और बो ओहलैंडर ने फलन के कनेक्शन को प्रतरूप प्राइम अनुमान, प्राइम ट्रिपल अनुमान और गोल्डबैक के अनुमान जैसे प्रसिद्ध संख्या-सैद्धांतिक अनुमानों के साथ विस्तृत किया है। उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान यह दर्शाता है कि प्रत्येक k > 1 के लिए एक n का अस्तित्व है जिससे D(n) = 2k है। प्रतरूप अभाज्य अनुमान का अर्थ यह होगा कि अनंत रूप से कई k हैं जिसके लिए D²(k) = 1.

यह भी देखें

• अंकगणितीय फलन
• व्युत्पन्न (विभेदक बीजगणित)
• p-व्युत्पन्न या p-व्युत्पन्न

संदर्भ

• Barbeau, E. J. (1961). "Remarks on an arithmetic derivative". Canadian Mathematical Bulletin. 4 (2): 117–122. doi:10.4153/CMB-1961-013-0. Zbl 0101.03702.
• Ufnarovski, Victor; Åhlander, Bo (2003). "How to Differentiate a Number". Journal of Integer Sequences. 6. Article 03.3.4. ISSN 1530-7638. Zbl 1142.11305.
• Arithmetic Derivative, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
• L. Westrick (2003). Investigations of the Number Derivative.
• Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• Stay, Michael (2005). "Generalized Number Derivatives". Journal of Integer Sequences. 8. Article 05.1.4. arXiv:math/0508364. ISSN 1530-7638. Zbl 1065.05019.
• Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.
• Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo Pietro (2013). La derivata aritmetica. Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri. Milan: Hoepli. ISBN 978-88-203-5864-8.
• Sandor, Jozsef; Atanassov, Krassimir (2021). Arithmetic Functions, Section 3.5. Nova Science Publishers.

• Koviˇc, Jurij (2012). "The Arithmetic Derivative and Antiderivative" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (3.8).
• Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Mattila, Mika; Tossavainen, Timo (2017). "The arithmetic Jacobian matrix and determinant" (PDF). Journal of Integer Sequences. 20. Article 17.9.2. ISSN 1530-7638.
• Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2016). "On Arithmetic Partial Differential Equations" (PDF). Journal of Integer Sequences. 19. ISSN 1530-7638.
• Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2018). "The arithmetic derivative and Leibniz-additive functions". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics. 24 (3): 68–76. doi:10.7546/nntdm.2018.24.3.68-76. S2CID 119688466.
• Haukkanen, Pentti (2019). "Generalized arithmetic subderivative". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics. 25 (2): 1–7. doi:10.7546/nntdm.2019.25.2.1-7. S2CID 198468574.
• Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). "Arithmetic Subderivatives: p-adic Discontinuity and Continuity". Journal of Integer Sequences. 23. Article 20.7.3. ISSN 1530-7638.
• Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). "Asymptotics of partial sums of the Dirichlet series of the arithmetic derivative". Mathematical Communications. 25.
• Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2019). "Arithmetic subderivatives and Leibniz-additive functions" (PDF). Annales Mathematicae et Informaticae. 50.
• Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2021). "Complete additivity, complete multiplicativity, and Leibniz-additivity on rationals" (PDF). Integers. 21.