बाह्य व्युत्पन्न

विभेदक मैनिफोल्ड पर, बाहरी व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) की अवधारणा को उच्च डिग्री के विभेदक रूपों तक विस्तारित करता है। बाहरी व्युत्पन्न को प्रथम बार 1899 में एली कार्टन द्वारा इसके वर्तमान स्वरूप में वर्णित किया गया था। परिणामी कैलकुलस, जिसे बाहरी कैलकुलस के रूप में जाना जाता है, बाहरी आवरण से स्टोक्स के प्रमेय, गॉस के प्रमेय एवं ग्रीन के प्रमेय के प्राकृतिक, मीट्रिक-स्वतंत्र सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

यदि अंतर k- रूप को मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर अतिसूक्ष्म के k- पैरेललेपिप्ड माध्यम से प्रवाह को मापने के रूप में माना जाता है, तो इसके बाहरी व्युत्पन्न को (k + 1) की सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को मापने के रूप में माना जा सकता है।

परिभाषा

डिग्री k के विभेदक रूप का बाहरी व्युत्पन्न (विभेदक k-रूप, या यहां संक्षिप्तता के लिए केवल k- रूप) डिग्री k + 1 का विभेदक रूप है।

यदि  f  सहज फलन (0-रूप) है, तो   f  का बाह्य अवकलज   f  का अंतर है। वह है, df  अद्वितीय 1-रूप है|1-इस तरह से कि प्रत्येक चिकने वेक्टर फ़ील्ड X के लिए, df (X) = d_X f , जहां d_X f  X की दिशा में  f  का दिशात्मक व्युत्पन्न है।

विभेदक रूपों का बाहरी उत्पाद (समान प्रतीक ∧ से दर्शाया गया है) को उनके बिंदुवार बाहरी उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी सामान्य k-प्रपत्र के बाह्य व्युत्पन्न की विभिन्न प्रकार की समतुल्य परिभाषाएँ हैं।

स्वसिद्धांतों के संदर्भ में

बाहरी व्युत्पन्न को k-रूप से (k + 1)-प्रपत्र तक अद्वितीय ℝ- रैखिक मानचित्रण के रूप में परिभाषित किया गया है जिनमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. df 0-प्रपत्र  f  के लिए  f  का अंतर है।
2. 0-प्रपत्र  f  के लिए d(df ) = 0 है।
3. d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)^p (α ∧ dβ) जहाँ α है p-प्रपत्र है। तात्पर्य, d विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित पर डिग्री 1 की व्युत्पत्ति (बीजगणित) है (श्रेणीबद्ध उत्पाद नियम देखें)।

दूसरी परिभाषित संपत्ति अधिक व्यापकता रखती है:किसी k-प्रपत्र α के लिए d(dα) = 0; अधिक संक्षेप में, d² = 0 होता है।तीसरी परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य विशेष विषय के रूप में है कि यदि  f  फ़ंक्शन है एवं α, k-रूप है, तो d( fα) = d( f ∧ α) = df  ∧ α +  f  ∧ dα क्योंकि फ़ंक्शन 0-रूप है, एवं अदिश गुणन एवं बाहरी उत्पाद समतुल्य होते हैं जब कोई तर्क अदिश होता है।

स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में

वैकल्पिक रूप से, कोई पूर्ण रूप से स्थानीय समन्वय प्रणाली (x¹, ..., xⁿ) में कार्य कर सकता है। समन्वय अंतर dx¹, ..., dxⁿ एक-रूपों के स्थान का आधार बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक समन्वय से जुड़ा होता है। 1 ≤ i_p ≤ n के लिए 1 ≤ p ≤ k के साथ बहु-सूचकांक I = (i₁, ..., i_k) दिया गया है। (एवं dx^I के साथ dx^i₁ ∧ ... ∧ dx^i_k निरूपित करते हुए ), (सरल) का बाहरी व्युत्पन्न k-प्रपत्र

$\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

ऊपर ℝⁿ परिभाषित किया जाता है,

$d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}$

(आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके)। बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा को सामान्य k-प्रपत्र तक रैखिक रूप से विस्तारित किया जाता है,

$\omega =f_{I}\,dx^{I},$

जहां मल्टी-इंडेक्स के प्रत्येक घटक I में सभी मानों को चलाएँ {1, ..., n}. ध्यान दें कि जब भी i मल्टी-इंडेक्स I के घटकों में सेएक के बराबर होता है, तब dxⁱ ∧ dx^I = 0 (बाहरी उत्पाद देखें) होता है।

स्थानीय निर्देशांक में बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा पूर्ववर्ती स्वयंसिद्धों के संदर्भ में अनुसरण करती है। k-प्रपत्र के साथ φ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,

${\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}$

यहां g व्याख्या 0-रूप रूप में की है, एवं फिर बाहरी व्युत्पन्न के गुणों को प्रस्तुत किया।

यह परिणाम सीधे सामान्य k-प्रपत्र ω तक विस्तारित होता है

$d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}$,

विशेष रूप से, 1-प्रपत्र ω के लिए, के घटक स्थानीय समन्वय प्रणाली में dω के घटक हैं,

$(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i},$

सावधानी: के अर्थ के संबंध में दो परंपराएँ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$ हैं, अधिकांश वर्तमान लेखक की यह परंपरा है कि

$\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1$ होता है।

जबकि कोबायाशी एवं नोमिज़ु या हेल्गासन जैसे पुराने पाठ में

$\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}$ होता है।

अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में

वैकल्पिक रूप से, k-प्रपत्र ω के बाहरी व्युत्पन्न के लिए स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है k + 1 मनमाने ढंग से वेक्टर फ़ील्ड V₀, V₁, ..., V_k साथ जोड़ा जाता है।$d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})$

जहाँ [V_i, V_j] वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट को दर्शाता है एवं टोपी उस तत्व की चूक को दर्शाती है:

$\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}),$

विशेषकर, जब ω 1-रूप है तो वह हमारे पास वह dω(X, Y) = d_X(ω(Y)) − d_Y(ω(X)) − ω([X, Y]) है।

नोट: उदाहरण के लिए, कोबायाशी-नोमिज़ु एवं हेल्गासन की परंपराओं के साथ सूत्र कारक 1/k + 1 से भिन्न होता है :

${\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}$

उदाहरण

उदाहरण 1.अदिश क्षेत्र u 1-रूप आधार के लिए dx¹, ..., dxⁿ पर σ = u dx¹ ∧ dx² पर विचार करें, बाहरी व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}$

अंतिम सूत्र, जहां से योग i = 3 प्रारंभ होता है, बाहरी उत्पाद के गुणों से आसानी से अनुसरण करता है, अर्थात्, dxⁱ ∧ dxⁱ = 0 है।

उदाहरण 2. मान लीजिए σ = u dx + v dy ℝ² पर परिभाषित 1-रूप है, उपरोक्त सूत्र को प्रत्येक पद पर प्रस्तुत करके (विचार करें) x¹ = x एवं x² = y) हमें पास निम्नलिखित योग प्राप्त होता है,

${\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}$

मैनिफोल्ड्स पर स्टोक्स प्रमेय

Main article: सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय

यदि M कॉम्पैक्ट स्मूथ ओरिएंटेबल n-सीमा के साथ आयामी मैनिफोल्ड है एवं ω, M पर (n − 1)-फॉर्म है, तो सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय का सामान्यीकृत रूप बताता है कि:

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega$ होता है

सहज रूप से, यदि कोई सोचता है कि M अतिसूक्ष्म क्षेत्रों में विभाजित होने के कारण, वह सभी क्षेत्रों की सीमाओं के माध्यम से प्रवाह जोड़ता है, आंतरिक सीमाएं सभी रद्द हो जाती हैं, जिससे कुल प्रवाह M की सीमा के माध्यम से निकल जाता है।

आगे के गुण

बंद एवं सटीक फॉर्म

Main article: Closed and exact forms

ए k-प्रपत्र ω को बंद कहा जाता है यदि dω = 0; बंद प्रपत्र कर्नेल (बीजगणित) हैं d. ω को सटीक यदि कहा जाता है ω = dα कुछ के लिए (k − 1)-प्रपत्र α; सटीक रूप की छवि (गणित) हैं d. क्योंकि d² = 0, प्रत्येक सटीक प्रपत्र बंद है। पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि संकुचन योग्य क्षेत्र में, इसका विपरीत सत्य है।

डी राम कोहोमोलॉजी

क्योंकि बाहरी व्युत्पन्न d के पास वह संपत्ति है d² = 0, इसका उपयोग कई गुना पर डॉ कहलमज गर्भाशय को परिभाषित करने के लिए कोचेन कॉम्प्लेक्स (कोबाउंडरी) के रूप में किया जा सकता है। वह k-थ डे राम कोहोमोलॉजी (समूह) बंद का वेक्टर स्थान है k-मॉड्यूलो को सटीक बनाता है k-रूप; जैसा कि पिछले अनुभाग में उल्लेख किया गया है, पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि ये वेक्टर स्थान संकुचन योग्य क्षेत्र के लिए तुच्छ हैं, k > 0. सहज विविधताओं के लिए, रूपों का एकीकरण डी राम कोहोमोलॉजी से लेकर एकवचन कोहोमोलॉजी तक प्राकृतिक समरूपता प्रदान करता है। ℝ. डी राम के प्रमेय से पता चलता है कि यह मानचित्र वास्तव में समरूपता है, जो पोंकारे लेम्मा का दूरगामी सामान्यीकरण है। जैसा कि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा सुझाया गया है, बाहरी व्युत्पन्न एकवचन सरलताओं पर चेन कॉम्प्लेक्स#औपचारिक परिभाषा का दोहरा है।

प्राकृतिकता

बाहरी व्युत्पन्न तकनीकी अर्थ में स्वाभाविक है: यदि  f : M → N सहज मानचित्र है एवं Ω^k कंट्रावेरिएंट स्मूथ ऑपरेटर है जो प्रत्येक को कई गुना स्थान प्रदान करता है k-मैनिफोल्ड पर फॉर्म, फिर निम्नलिखित आरेख चलता है

इसलिए d( f^∗ω) =  f^∗dω, जहाँ  f^∗ के पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) को दर्शाता है  f . यह उसी से निकलता है  f^∗ω(·), परिभाषा के अनुसार, है ω( f_∗(·)),  f_∗ का पुशफॉरवर्ड (अंतर) होना  f . इस प्रकार d से प्राकृतिक परिवर्तन है Ω^k को Ω^k+1.

वेक्टर कलन में बाहरी व्युत्पन्न

अधिकांश वेक्टर कैलकुलस ऑपरेटर बाहरी विभेदन की धारणा के विशेष विषय हैं, या उनके करीबी रिश्ते हैं।

क्रमशः

सुचारु कार्य  f : M → ℝ वास्तविक भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर M है 0-प्रपत्र। इसका बाह्य व्युत्पन्न 0-रूप है 1-प्रपत्र df.

जब आंतरिक उत्पाद ⟨·,·⟩ परिभाषित है, ग्रेडियेंट ∇f  किसी फ़ंक्शन का  f  को अद्वितीय वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है V ऐसा कि इसका आंतरिक उत्पाद किसी भी तत्व के साथ हो V का दिशात्मक व्युत्पन्न है  f  वेक्टर के साथ, वह ऐसा है

$\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.$

वह है,

$\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },$

जहाँ ♯ संगीत समरूपता को दर्शाता है ♯ : V^∗ → Vपहले उल्लेख किया गया है कि आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है। वह 1-प्रपत्र df  कोटैंजेंट बंडल का खंड है, जो स्थानीय रैखिक सन्निकटन देता है  f  प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्थान में।

विचलन

सदिश क्षेत्र V = (v₁, v₂, ..., v_n) पर ℝⁿ के पास संगत है (n − 1)-प्रपत्र

${\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}$

जहाँ ${\widehat {dx^{i}}}$ उस तत्व के लोप को दर्शाता है।

(उदाहरण के लिए, जब n = 3, यानी त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, 2-प्रपत्र ω_V स्थानीय रूप से अदिश त्रिगुण उत्पाद है V.) का अभिन्न अंग ω_V हाइपरसतह के ऊपर का प्रवाह है V उस हाइपरसतह पर।

इसका बाह्य व्युत्पन्न (n − 1)-रूप है n-प्रपत्र

$d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).$

कर्ल

सदिश क्षेत्र V पर ℝⁿ का संगत भी है 1-प्रपत्र

$\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.$

स्थानीय स्तर पर, η_V के साथ डॉट उत्पाद है V. का अभिन्न अंग η_V पथ के विरुद्ध यांत्रिक कार्य किया जाता है −V उस रास्ते पर.

कब n = 3, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, का बाहरी व्युत्पन्न 1-प्रपत्र η_V है 2-प्रपत्र

$d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.$

वेक्टर कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय फॉर्मूलेशन

मानक वेक्टर कैलकुलस ऑपरेटरों को किसी भी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एवं समन्वय-मुक्त नोटेशन में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

${\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}$

जहाँ ⋆ हॉज दोहरे है, ♭ एवं ♯ संगीतमय समरूपताएं हैं,  f  अदिश क्षेत्र है एवं F सदिश क्षेत्र है.

ध्यान दें कि अभिव्यक्ति के लिए curl आवश्यकता है ♯ पर कार्रवाई करना ⋆d(F^♭), जो डिग्री का रूप है n − 2. का स्वाभाविक सामान्यीकरण ♯ को k-मनमानी डिग्री के रूप इस अभिव्यक्ति को किसी के लिए भी अर्थपूर्ण बनाने की अनुमति देते हैं n.

यह भी देखें

• बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न
• राम परिसर का
• परिमित तत्व बाह्य कलन
• विभिन्न बाहरी कलन
• ग्रीन का प्रमेय
• झूठ व्युत्पन्न
• स्टोक्स प्रमेय
• फ्रैक्टल व्युत्पन्न

संदर्भ

• Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (in français). Paris: Gauthier-Villars. 16: 239–332. doi:10.24033/asens.467. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Retrieved 2 Feb 2016.
• Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
• Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
• Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus. Boston: Jones and Bartlett. pp. 304–473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
• Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
• Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

बाहरी संबंध

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "The derivative isn't what you think it is". Aleph Zero. November 3, 2020 – via YouTube.