अल्फवेन की प्रमेय

आदर्श मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स में, अल्फवेन के प्रमेय, या जमे हुए प्रवाह प्रमेय में कहा गया है कि विद्युत प्रवाहकीय तरल पदार्थ और एम्बेडेड चुंबकीय क्षेत्र बड़े चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्याओं की सीमा में एक साथ चलने के लिए विवश हैं। इसका नाम हेंस अल्फवेन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1943 में इस विचार को सामने रखा था।

अल्फवेन के प्रमेय का तात्पर्य है कि बड़े चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में द्रव का चुंबकीय टोपोलॉजी नहीं बदल सकता है। यह सन्निकटन वर्तमान शीट्स में टूट जाता है, जहाँ चुंबकीय पुन: संयोजन हो सकता है।

इतिहास

अनंत विद्युत चालकता वाले द्रवों में जमे हुए चुंबकीय क्षेत्र की अवधारणा को पहली बार हेंस अल्फवेन द्वारा 1943 में ऑन द एक्जिस्टेंस ऑफ इलेक्ट्रोमैग्नेटिक-हाइड्रोडायनामिक वेव्स शीर्षक से प्रस्तावित किया गया था, जो आर्किव फॉर मैटेमैटिक, एस्ट्रोनोमी ओच फिजिक पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। उन्होंने लिखा है:

अनंत चालकता को ध्यान में रखते हुए, बल की रेखाओं के संबंध में तरल की प्रत्येक गति (क्षेत्र के लंबवत) वर्जित है क्योंकि यह अनंत [एडी करंट] देती है। इस प्रकार तरल पदार्थ बल की रेखाओं के लिए "जुड़ा हुआ" है ...

इलेक्ट्रोमैग्नेटिक-हाइड्रोडायनामिक वेव्स के अस्तित्व पर 1942 में जर्नल नेचर (जर्नल) में प्रकाशित अल्फवेन के पहले के पेपर एग्जिस्टेंस ऑफ इलेक्ट्रोमैग्नेटिक-हाइड्रोडायनामिक वेव्स के परिणामों की व्याख्या की थी।

बाद में जीवन में, अल्फवेन ने अपने स्वयं के प्रमेय के उपयोग के विरुद्ध सलाह दी थी।

सिंहावलोकन

यह अनौपचारिक रूप से, अल्फवेन की प्रमेय मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स या आइडियल एमएचडी में मौलिक परिणाम को संदर्भित करती है जो विद्युत प्रवाहकीय तरल पदार्थ और अन्दर के चुंबकीय क्षेत्र के बड़े चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्याओं की सीमा में एक साथ चलने के लिए विवश हैं - जैसे कि जब द्रव एक सही कंडक्टर है या जब वेग और लंबाई के पैमाने असीम रूप से बड़े हैं। दोनों की गति इस बात से विवश है कि चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत सभी किन्तु द्रव गतियों का परिणाम समान वेग से क्षेत्र की लंबवत गति से मिलता है और इसके विपरीत होता है।

औपचारिक रूप से, तरल पदार्थ की गति और चुंबकीय क्षेत्र की गति के बीच संबंध दो प्राथमिक परिणामों में विस्तृत है जिन्हें अधिकांशतः चुंबकीय प्रवाह संरक्षण और चुंबकीय क्षेत्र रेखा संरक्षण कहा जाता है। की चुंबकीय प्रवाह संरक्षण का तात्पर्य है कि किन्तु द्रव वेग के साथ चलती सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह स्थिर है, और चुंबकीय क्षेत्र रेखा संरक्षण का अर्थ है कि, यदि दो द्रव तत्व चुंबकीय क्षेत्र रेखा से जुड़े हैं, तो वे सदैव रहते है।

फ्लक्स ट्यूब और फील्ड लाइन

Further information: फ्लक्स ट्यूब and फील्ड लाइन

सतह $S_{1}$ और $S_{2}$ एक चुंबकीय प्रवाह ट्यूब के क्रॉस सेक्शन हैं; के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह $S_{1}$ के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के बराबर है $S_{2}$.

अल्फवेन के प्रमेय को अधिकांशतः चुंबकीय प्रवाह ट्यूबों और चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।

यह चुंबकीय फ्लक्स ट्यूब एक ट्यूब- या सिलेंडर जैसा क्षेत्र है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र होता है जैसे कि इसके किनारे हर स्थान क्षेत्र के समानांतर होते हैं। परिणाम स्वरुप, इन पक्षों के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह शून्य है, और ट्यूब की लंबाई के साथ क्रॉस सेक्शन में निरंतर, बराबर चुंबकीय प्रवाह होता है। जो बड़ी चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, अल्फवेन के प्रमेय के लिए आवश्यक है कि निरंतर प्रवाह की ये सतहें उस तरल पदार्थ के साथ चलती हैं जिसमें वे एम्बेडेड होते हैं। जैसे, चुंबकीय प्रवाह ट्यूब तरल पदार्थ में जमे हुए हैं।

दो चुंबकीय फ्लक्स ट्यूबों के किनारों का प्रतिच्छेदन पर चुंबकीय क्षेत्र रेखा बनाता है, एक वक्र जो हर स्थान चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है। तरल पदार्थों में जहां फ्लक्स ट्यूब जमी हुई होती हैं, तब यह अनुसरण करता है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं भी जमी हुई होनी चाहिए। चूँकि, फ्रोजेन-इन फील्ड लाइन्स के लिए स्थितियां फ्रोजन-इन फ्लक्स ट्यूबों की स्थितियों से अशक्त होती हैं, या, समतुल्य रूप से, फ्लक्स के संरक्षण के लिए।

गणितीय कथन

गणितीय शब्दों में, अल्फवेन के प्रमेय में कहा गया है कि, बड़े चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में विद्युत प्रवाहकीय द्रव में, चुंबकीय प्रवाह $\Phi _{B}$ ओरिएंटेबिलिटी के माध्यम से या ओरिएंटेबल सतहें सतह (टोपोलॉजी) यह मैक्रोस्कोपिक अंतरिक्ष- और समय-निर्भर वेग क्षेत्र द्वारा विकसित बंद सतहें $\mathbf {v}$ स्थिर है या

${\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0,$

जंहा $D/Dt=\partial /\partial t+(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )$ क्रिया-विशेषण व्युत्पन्न है।

प्रवाह संरक्षण

आदर्श मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स में, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण अध्ययन किए जा रहे वेग और लंबाई के पैमाने पर चुंबकीय प्रसार पर हावी है। गवर्निंग इंडक्शन समीकरण में डिफ्यूजन टर्म को इंडक्शन टर्म के सापेक्ष छोटा माना जाता है और इसे उपेक्षित किया जाता है। प्रेरण समीकरण तब अपने आदर्श रूप में कम हो जाता है।

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).$

इस प्रकार द्रव में एम्बेडेड भौतिक सतहों के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह का संरक्षण सीधे आदर्श प्रेरण समीकरण और चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के माध्यम से कोई चुंबकीय मोनोपोल की धारणा से होता है।

Elementary derivation

The closed surface formed by $S_{1}$, $S_{2}$, and $S_{3}$

In an electrically conducting fluid with a space- and time-dependent magnetic field $\mathbf {B}$ and velocity field $\mathbf {v}$, an arbitrary, orientable, open surface $S_{1}$ at time $t$ is advected by $\mathbf {v}$ in a small time $\delta t$ to the surface $S_{2}$. The rate of change of the magnetic flux through the surface as it is advected from $S_{1}$ to $S_{2}$ is then

${\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.$

The surface integral over $S_{2}$ can be re expressed by applying Gauss's law for magnetism to assume that the magnetic flux through a closed surface formed by $S_{1}$, $S_{2}$, and the surface $S_{3}$ that connects the boundaries of $S_{1}$ and $S_{2}$ is zero. At time $t+\delta t$, this relationship can be expressed as

$0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},$

where the sense of $S_{1}$ was reversed so that $d\mathbf {S} _{1}$ points outwards from the enclosed volume. In the surface integral over $S_{3}$, the differential surface element $d\mathbf {S} _{3}=d\mathbf {l} \times \mathbf {v} \ \delta t$ where $d\mathbf {l}$ is the line element around the boundary $\partial S_{1}$ of the surface $S_{1}$. Solving for the surface integral over $S_{2}$ then gives

$\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,$

where the final term was rewritten using the properties of scalar triple products and a first-order approximation was taken. Substituting this into the expression for $D\Phi _{B}/Dt$ and simplifying results in

${\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}$

Applying the definition of a partial derivative to the integrand of the first term, applying Stokes' theorem to the second term, and combining the resultant surface integrals gives

${\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.$

Using the ideal induction equation, the integrand vanishes, and

${\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.$

क्षेत्र रेखा संरक्षण

फील्ड लाइन संरक्षण को गणितीय रूप से आदर्श प्रेरण समीकरण, चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम और द्रव्यमान निरंतरता समीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

Field line conservation

The ideal induction equation can be rewritten using a vector identity and Gauss's law for magnetism as

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).$

Using the mass continuity equation,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,$

the ideal induction equation can be further rearranged to give

${\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .$

Similarly, for a line segment $\delta \mathbf {l}$ where $\mathbf {v}$ is the bulk plasma velocity at one end and $\mathbf {v} +\delta \mathbf {v}$ is the velocity at the other end, the differential velocity between the two ends is $\delta \mathbf {v} =(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v}$ and

${\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v}$,

which has the same form as the equation obtained previously for $\mathbf {B} /\rho$. Therefore, if $\delta \mathbf {l}$ and $\mathbf {B}$ are initially parallel, they will remain parallel.

जबकि फ्लक्स संरक्षण का तात्पर्य फील्ड लाइन संरक्षण से है (देखें § फ्लक्स ट्यूब और फील्ड लाइन), बाद वाले के लिए स्थितियां पूर्व के लिए नियम की तुलना में अशक्त हैं। फ्लक्स संरक्षण की नियम के विपरीत, फील्ड लाइन संरक्षण की नियम को तब संतुष्ट किया जा सकता है जब चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर अतिरिक्त, स्रोत शब्द आदर्श प्रेरण समीकरण में उपस्थित हो।

गणितीय रूप से, क्षेत्र रेखाओं के स्थिर होने के लिए, द्रव को संतुष्ट होना चाहिए

$\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,$

जबकि, फ्लक्स के संरक्षण के लिए, द्रव को आदर्श प्रेरण समीकरण द्वारा लगाई गई शक्तिशाली स्थिति को पूरा करना चाहिए।

केल्विन का परिसंचरण प्रमेय

Further information: केल्विन का परिसंचरण प्रमेय

केल्विन के संचलन प्रमेय में कहा गया है कि आदर्श तरल पदार्थ के साथ चलने वाली वर्टिसिटी या वोर्टेक्स लाइनें और वोर्टेक्स ट्यूब तरल पदार्थ के लिए जमे हुए हैं, इसी तरह चुंबकीय प्रवाह ट्यूब पूरी तरह से चलने वाले आदर्श-एमएचडी तरल पदार्थ के साथ तरल पदार्थ में जमे हुए हैं। आदर्श प्रेरण समीकरण वर्टिसिटी के समीकरण के समान रूप लेता है ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v}$ आदर्श तरल पदार्थ में जहां $\mathbf {v}$ वेग क्षेत्र होता है।

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).$

चूँकि, प्रेरण समीकरण रैखिक है, जबकि बीच में गैर-रैखिक संबंध है $\nabla \times \mathbf {v}$ और $\mathbf {v}$ वर्टिसिटी समीकरण में।

निहितार्थ

अल्फवेन का प्रमेय इंगित करता है कि चुंबकीय क्षेत्र की टोपोलॉजी पूरी तरह से प्रवाहकीय द्रव में नहीं बदल सकती है। चूँकि, यह बहुत जटिल टोपोलॉजी के साथ अत्यधिक पेचीदा चुंबकीय क्षेत्र को जन्म देगा जो द्रव गतियों को बाधित करना चाहिए। उच्च विद्युत चालकता वाले एस्ट्रोफिजिकल प्लाज्मा सामान्यतः ऐसे जटिल पेचीदा क्षेत्र नहीं दिखाते हैं। फ्लक्स फ्रीजिंग स्थितियों से जो अपेक्षा की जाएगी, उसके विपरीत इन प्लाज़्मा में चुंबकीय पुन: संयोजन होता है। डायनेमो सिद्धांत के लिए इसका महत्वपूर्ण प्रभाव है। वास्तव में, बहुत ही उच्च विद्युत चालकता उच्च चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या में परिवर्तित होती है, जो इंगित करती है कि प्लाज्मा अशांत होगा।

प्रतिरोधक तरल पदार्थ

यहां तक ​​​​कि गैर-आदर्श स्थितियों के लिए, जिसमें विद्युत चालकता अनंत नहीं है, समान परिणाम लेखन द्वारा चुंबकीय प्रवाह परिवहन वेग को परिभाषित करके प्राप्त किया जा सकता है।

$\nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}$

जिसमें द्रव वेग के अतिरिक्त, ${\bf {v}}$, प्रवाह वेग ${\bf {w}}$ उपयोग किया गया है। चूँकि, कुछ मामलों में, इस वेग क्षेत्र को चुंबकीय समीकरणों का उपयोग करके पाया जा सकता है, इस वेक्टर क्षेत्र का अस्तित्व और विशिष्टता अंतर्निहित स्थितियों पर निर्भर करती है।

स्टोकेस्टिक फ्लक्स फ्रीजिंग

अत्यधिक संवाहक प्लास्मा में फ्लक्स फ्रीजिंग पर पारंपरिक विचार सहज स्टोचैस्टिसिटी की घटना के साथ असंगत हैं। दुर्भाग्य से यह मानक तर्क बन गया है यहां तक ​​कि पाठ्यपुस्तकों में भी चुंबकीय प्रवाह फ्रीजिंग तेजी से उतम होना चाहिए क्योंकि चुंबकीय प्रसार शून्य (गैर-विघटनकारी शासन) हो जाता है। किन्तु सूक्ष्मता यह है कि बहुत बड़ी चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्याएं (अर्थात, छोटी विद्युत प्रतिरोधकता या उच्च विद्युत चालकता) सामान्यतः उच्च गतिज रेनॉल्ड्स संख्याओं (अर्थात, बहुत छोटी चिपचिपाहट) से जुड़ी होती हैं। यदि कीनेमेटिक चिपचिपाहट प्रतिरोधकता के साथ-साथ शून्य हो जाती है, और यदि प्लाज्मा अशांत हो जाता है (उच्च रेनॉल्ड्स संख्या के साथ जुड़ा हुआ है), तो लैग्रैंगियन प्रक्षेपवक्र अब अद्वितीय नहीं होंगे ऊपर चर्चा की गई पारंपरिक भोली फ्लक्स फ्रीजिंग तर्क, सामान्य रूप से प्रयुक्त नहीं होती है।और स्टोकेस्टिक फ्लक्स फ्रीजिंग को नियोजित किया जाना चाहिए।

प्रतिरोधक मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स के लिए स्टोचैस्टिक फ्लक्स-फ्रीजिंग प्रमेय ऊपर चर्चा की गई साधारण फ्लक्स-फ्रीजिंग को सामान्य करता है। इस सामान्यीकृत प्रमेय में कहा गया है कि सुक्ष्म चुंबकीय क्षेत्र B की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ निम्नलिखित स्टोचैस्टिक विभेदक समीकरण को हल करने वाले स्टोचैस्टिक प्रक्षेपवक्र के लिए "जमे हुए" हैं। जिसे लैंग्विन समीकरण के रूप में जाना जाता है।

$d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)$

जिसमें $\eta$ चुंबकीय प्रसार है और $W$ त्रि-आयामी गॉसियन श्वेत ध्वनि है (वीनर प्रक्रिया भी देखें।) कई "आभासी" क्षेत्र-वैक्टर ${\tilde {\bf {B}}}$ भौतिक चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त करने के लिए एक ही अंतिम बिंदु पर पहुंचने का औसत होना चाहिए ${\bf {B}}$ उस बिंदु पर।

यह भी देखें

• अल्फवेन लहर
• चुंबकीय दबाव
• चुंबकीय तनाव