वास्तविक बंद क्षेत्र

"आर्टिन-श्रेयर प्रमेय" यहां पुनर्निर्देश करता है। गैलोज़ सिद्धांत की शाखा के लिए, आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत देखें।

गणित में, एक वास्तविक बंद फ़ील्ड एक फ़ील्ड (गणित) F है जिसमें वास्तविक संख्याओं के फ़ील्ड के समान प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम गुण होते हैं। कुछ उदाहरण वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र, वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र और अतिवास्तविक संख्याओं का क्षेत्र हैं।

परिभाषाएँ

एक वास्तविक बंद फ़ील्ड एक फ़ील्ड F है जिसमें निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी सत्य है:

1. F मूलतः वास्तविक संख्याओं के समतुल्य है। दूसरे शब्दों में, इसमें वास्तविक के समान प्रथम-क्रम गुण हैं: फ़ील्ड की प्रथम-क्रम भाषा में कोई भी वाक्य (गणितीय तर्क) F में सत्य है यदि और केवल यदि यह वास्तविकता में सत्य है।
2. एफ पर एक कुल आदेश है जो इसे एक आदेशित क्षेत्र बनाता है, जैसे कि, इस क्रम में, एफ के प्रत्येक सकारात्मक तत्व का एक वर्गमूल होता है # अभिन्न डोमेन में, एफ में फ़ील्ड और बहुपद की समता (गणित) की डिग्री के किसी भी बहुपद सहित F में गुणांक के साथ F में किसी फ़ंक्शन का कम से कम एक मूल होता है।
3. F एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है जैसे कि F में गुणांक वाले विषम डिग्री के प्रत्येक बहुपद का F में कम से कम एक मूल होता है, और F के प्रत्येक तत्व a के लिए F में b होता है जैसे कि a = b²या a==−b².
4. F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, लेकिन इसका बीजगणितीय बंद एक सीमित विस्तार है।
5. F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है बल्कि फ़ील्ड विस्तार है $F({\sqrt {-1}}\,)$ बीजगणितीय रूप से बंद है.
6. एफ पर एक ऑर्डरिंग है जो एफ के किसी भी उचित बीजीय विस्तार पर ऑर्डरिंग तक विस्तारित नहीं है।
7. F एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है जैसे कि F का कोई भी उचित बीजगणितीय विस्तार औपचारिक रूप से वास्तविक नहीं है। (दूसरे शब्दों में, औपचारिक रूप से वास्तविक होने की संपत्ति के संबंध में बीजीय समापन में क्षेत्र अधिकतम है।)
8. एफ पर एक ऑर्डर है जो इसे एक ऑर्डर किया गया फ़ील्ड बनाता है जैसे कि, इस ऑर्डर में, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय डिग्री ≥ 0 के साथ एफ से अधिक सभी बहुपदों के लिए रखता है।
9. एफ एक कमजोर ओ-न्यूनतम संरचना है| कमजोर ओ-न्यूनतम आदेशित क्षेत्र है।

यदि F एक क्रमित फ़ील्ड है, तो 'आर्टिन-श्रेयर प्रमेय' बताता है कि F में एक बीजगणितीय विस्तार है, जिसे F का 'वास्तविक समापन' K कहा जाता है, जैसे कि K एक वास्तविक बंद फ़ील्ड है जिसका क्रम दिए गए क्रम का विस्तार है एफ, और एफ पर समान क्षेत्रों की एक अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है (ध्यान दें कि वास्तविक बंद क्षेत्रों के बीच प्रत्येक रिंग समरूपता स्वचालित रूप से क्रम समरूपता है, क्योंकि x ≤ y यदि और केवल यदि ∃z : y = x + z²). उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के क्रमित क्षेत्र का वास्तविक समापन क्षेत्र है $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का. इस प्रमेय का नाम एमिल आर्टिन और ओटो श्रेयर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1926 में इसे गणितीय रूप से प्रमाणित किया था।

यदि (F, P) एक क्रमित फ़ील्ड है, और E, F का एक गैलोज़ विस्तार है, तो ज़ोर्न के लेम्मा द्वारा M के साथ अधिकतम ऑर्डर किया गया फ़ील्ड एक्सटेंशन (M, Q) है, E का फ़ील्ड एक्सटेंशन जिसमें F और M पर ऑर्डर है। पी का विस्तार। यह एम, इसके क्रम क्यू के साथ, ई में (एफ, पी) का 'सापेक्षिक वास्तविक बंद' कहा जाता है। हम (एफ, पी) को 'ई के सापेक्ष वास्तविक बंद' कहते हैं यदि एम सिर्फ एफ है। जब E, F का बीजीय समापन है, E में F का सापेक्ष वास्तविक समापन वास्तव में पहले वर्णित F का 'वास्तविक समापन' है। यदि F एक फ़ील्ड है (फ़ील्ड संचालन के साथ संगत कोई ऑर्डर नहीं माना जाता है, न ही यह माना जाता है कि F ऑर्डर करने योग्य है) तो F के पास अभी भी एक वास्तविक समापन है, जो अब एक फ़ील्ड नहीं हो सकता है, लेकिन सिर्फ एक असली बंद अंगूठी. उदाहरण के लिए, क्षेत्र का वास्तविक समापन $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ अंगूठी है (गणित) $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ (दो प्रतियां दो आदेशों के अनुरूप हैं $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$). दूसरी ओर, यदि $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ एक क्रमबद्ध उपक्षेत्र के रूप में माना जाता है का $\mathbb {R}$, इसका वास्तविक समापन फिर से मैदान है $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$.

निर्णायकता और परिमाणक उन्मूलन

वास्तविक बंद क्षेत्रों की औपचारिक भाषा ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ इसमें जोड़ और गुणा की संक्रियाओं, स्थिरांक 0 और 1 और क्रम संबंध के प्रतीक शामिल हैं ≤ (साथ ही समानता, यदि इसे तार्किक प्रतीक नहीं माना जाता है)। इस भाषा में, वास्तविक बंद क्षेत्रों का (प्रथम-क्रम) सिद्धांत, ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$, निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

• आदेशित फ़ील्ड के स्वयंसिद्ध;
• यह सिद्धांत कि प्रत्येक धनात्मक संख्या का एक वर्गमूल होता है;
• प्रत्येक विषम संख्या के लिए $d$, स्वयंसिद्ध यह दावा करता है कि डिग्री के सभी बहुपद $d$ कम से कम एक जड़ हो.

उपरोक्त सभी सिद्धांतों को प्रथम-क्रम तर्क में व्यक्त किया जा सकता है (अर्थात परिमाणक (तर्क)तर्क) केवल क्षेत्र के तत्वों पर निर्भर करता है)।

अल्फ्रेड टार्स्की ने साबित किया (c. 1931) वह ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ पूर्ण सिद्धांत है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए भी ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$-वाक्य, उपरोक्त सिद्धांतों से इसे सत्य या असत्य सिद्ध किया जा सकता है। आगे, ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ निर्णायकता (तर्क) है, जिसका अर्थ है कि ऐसे किसी भी वाक्य की सत्यता या असत्यता का निर्णय करने के लिए एक कलन विधि है।

टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय इस परिणाम को निर्णायक क्वांटिफायर उन्मूलन तक विस्तारित करता है। यानी कि एक एल्गोरिदम है, जिसे कोई भी दिया जाए ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$-सुव्यवस्थित सूत्र, जिसमें मुक्त चर हो सकते हैं, समान मुक्त चर में एक समतुल्य क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र तैयार करता है, जहां समतुल्य का मतलब है कि दो सूत्र चर के बिल्कुल समान मानों के लिए सत्य हैं। टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय निर्णायकता प्रमेय का एक विस्तार है, क्योंकि यह आसानी से जांचा जा सकता है कि मुक्त चर के बिना एक क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र सही है या गलत।

इस प्रमेय को आगे निम्नलिखित प्रक्षेपण प्रमेय तक बढ़ाया जा सकता है। अगर R एक वास्तविक बंद क्षेत्र है, एक सूत्र है n मुक्त चर के एक उपसमुच्चय को परिभाषित करता है Rⁿ, सूत्र को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समूह। ऐसे उपसमुच्चय को अर्धबीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है। का एक उपसमुच्चय दिया गया है k चर, से प्रक्षेपण Rⁿ को R^k वह फ़ंक्शन (गणित) है जो प्रत्येक को मैप करता है n-ट्यूपल से k-चरों के सबसेट के अनुरूप घटकों का टुपल। प्रक्षेपण प्रमेय का दावा है कि एक अर्ध-बीजगणितीय सेट का प्रक्षेपण एक अर्ध-बीजगणितीय सेट है, और एक एल्गोरिथ्म है, जो एक अर्ध-बीजगणितीय सेट को परिभाषित करने वाला एक क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र देता है, इसके प्रक्षेपण के लिए एक क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र तैयार करता है।

वास्तव में, प्रक्षेपण प्रमेय क्वांटिफायर उन्मूलन के बराबर है, क्योंकि सूत्र द्वारा परिभाषित एक अर्ध-बीजगणितीय सेट का प्रक्षेपण p(x, y) द्वारा परिभाषित किया गया है

$(\exists x)P(x,y),$

कहाँ x और y क्रमशः हटाए गए चर के सेट और रखे गए चर के सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं।

वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांत की निर्णायकता नाटकीय रूप से उन आदिम संचालन और कार्यों पर निर्भर करती है जिन पर विचार किया जाता है (यहां जोड़ और गुणा)। अन्य फ़ंक्शन प्रतीकों को जोड़ना, उदाहरण के लिए, उन लोगों के या घातांक प्रकार्य, अनिर्णीत सिद्धांत प्रदान कर सकता है; रिचर्डसन की प्रमेय और वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांतों की निर्णायकता देखें।

निर्णय लेने की जटिलता 𝘛_rcf

क्वांटिफ़ायर उन्मूलन के लिए टार्स्की के मूल एल्गोरिदम में गैर-प्राथमिक समस्या कम्प्यूटेशनल जटिलता है, जिसका अर्थ है कि कोई टावर नहीं है

$2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}$

यदि एल्गोरिथ्म के निष्पादन समय को बाध्य किया जा सकता है n इनपुट सूत्र का आकार है। जॉर्ज ई. कोलिन्स द्वारा प्रस्तुत बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, जटिलता का एक अधिक व्यावहारिक एल्गोरिथ्म प्रदान करता है

$d^{2^{O(n)}}$

कहाँ n चरों की कुल संख्या है (मुक्त और बाध्य), d सूत्र में आने वाले बहुपदों की डिग्री का उत्पाद है, और O(n) बड़ा O अंकन है.

डेवनपोर्ट और हेन्ट्ज़ (1988) ने साबित किया कि यह सबसे खराब स्थिति जटिलता एक परिवार का निर्माण करके क्वांटिफायर उन्मूलन के लिए लगभग इष्टतम है Φ_n लंबाई के सूत्रों की O(n), साथ n क्वांटिफायर, और स्थिर डिग्री के बहुपदों को शामिल करते हुए, जैसे कि कोई भी क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र इसके बराबर होता है Φ_n डिग्री के बहुपद शामिल होने चाहिए $2^{2^{\Omega (n)}}$ और लंबाई $2^{2^{\Omega (n)}},$ कहाँ $\Omega (n)$ बड़ा ओमेगा संकेतन है. इससे पता चलता है कि क्वांटिफ़ायर उन्मूलन की समय जटिलता और स्थानिक जटिलता दोनों ही आंतरिक रूप से दोगुने घातीय समय हैं।

निर्णय समस्या के लिए, बेन-ऑर, डेक्सटर कोज़ेन, और जॉन रीफ़ (1986) ने यह साबित करने का दावा किया है कि वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत EXPSPACE में निर्णय लेने योग्य है, और इसलिए दोहरे घातीय समय में, लेकिन उनका तर्क (अधिक के मामले में) एक से अधिक चर) को आम तौर पर त्रुटिपूर्ण माना जाता है; चर्चा के लिए रेनेगर (1992) देखें।

विशुद्ध रूप से अस्तित्वगत सूत्रों के लिए, अर्थात् रूप के सूत्रों के लिए

∃x₁, ..., ∃x_k P₁(x₁, ..., x_k) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P_s(x₁, ..., x_k) ⋈ 0,

कहाँ ⋈ दोनों में से किसी एक के लिए खड़ा है <, > या=, जटिलता कम है. बसु और मैरी-फ्रैंकोइस रॉय (1996) ने जटिलता के साथ ऐसे अस्तित्व संबंधी सूत्र की सच्चाई तय करने के लिए एक अच्छा व्यवहार वाला एल्गोरिदम प्रदान किया। s^k+1d^O(k) अंकगणितीय परिचालन और पीएसपीएसीई।

ऑर्डर गुण

वास्तविक संख्याओं की एक अत्यंत महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि यह एक आर्किमिडीयन क्षेत्र है, जिसका अर्थ है कि इसमें आर्किमिडीयन संपत्ति है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, निरपेक्ष मूल्य में उससे बड़ा पूर्णांक होता है। एक समतुल्य कथन यह है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, बड़े और छोटे दोनों पूर्णांक होते हैं। ऐसे वास्तविक बंद फ़ील्ड जो आर्किमिडीयन नहीं हैं, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित फ़ील्ड हैं। उदाहरण के लिए, हाइपररियल संख्याओं का कोई भी क्षेत्र वास्तविक बंद और गैर-आर्किमिडीयन है।

आर्किमिडीज़ संपत्ति सह-अंतिमता की अवधारणा से संबंधित है। एक क्रमबद्ध सेट F में निहित एक सेट X, F में सह-अंतिम है यदि F में प्रत्येक y के लिए X में एक x है जैसे कि y < दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक में सह-अंतिम होती हैं, और इसलिए वास्तविक की सह-अंतिमता होती है $\aleph _{0}$.

इसलिए हमारे पास वास्तविक बंद क्षेत्र F की प्रकृति को परिभाषित करने वाले निम्नलिखित अपरिवर्तनीय तत्व हैं:

• एफ की प्रमुखता.
• एफ की सह-अंतिमता।

इसमें हम जोड़ सकते हैं

• F का भार, जो F के सघन उपसमुच्चय का न्यूनतम आकार है।

ये तीन कार्डिनल नंबर हमें किसी भी वास्तविक बंद क्षेत्र के ऑर्डर गुणों के बारे में बहुत कुछ बताते हैं, हालांकि यह पता लगाना मुश्किल हो सकता है कि वे क्या हैं, खासकर यदि हम सातत्य परिकल्पना को लागू करने के इच्छुक नहीं हैं। ऐसे विशेष गुण भी हैं जो धारण कर भी सकते हैं और नहीं भी:

• एक फ़ील्ड F 'पूर्ण' है यदि कोई ऑर्डर किया गया फ़ील्ड K ठीक से F युक्त नहीं है, जैसे कि F, K में सघन है। यदि F की सह-अंतिमता κ है, तो यह कहने के बराबर है कि κ द्वारा अनुक्रमित कॉची अनुक्रम F में अभिसरण अनुक्रम हैं।
• एक आदेशित फ़ील्ड F में eta सेट गुण η है_α, क्रमसूचक संख्या α के लिए, यदि कार्डिनलिटी से कम F के किन्हीं दो उपसमुच्चय L और U के लिए $\aleph _{\alpha }$ जैसे कि L का प्रत्येक तत्व U के प्रत्येक तत्व से छोटा है, F में एक तत्व x है जिसका x L के प्रत्येक तत्व से बड़ा है और U के प्रत्येक तत्व से छोटा है। यह एक होने के मॉडल-सैद्धांतिक गुण से निकटता से संबंधित है संतृप्त मॉडल; कोई भी दो वास्तविक बंद फ़ील्ड η हैं_α यदि और केवल यदि वे हैं $\aleph _{\alpha }$-संतृप्त, और इसके अलावा दो η_α कार्डिनैलिटी के दोनों वास्तविक बंद क्षेत्र $\aleph _{\alpha }$ आदेश समरूपी हैं।

सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना

यदि हम सातत्य परिकल्पना को मानने के इच्छुक हों तो वास्तविक बंद क्षेत्रों की विशेषताएँ बहुत सरल हो जाती हैं। यदि सातत्य परिकल्पना मान्य है, तो सातत्य की प्रमुखता वाले और η वाले सभी वास्तविक बंद क्षेत्र₁ गुण क्रम समरूपी हैं। इस अद्वितीय क्षेत्र Ϝ को अल्ट्राप्रोडक्ट के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$, जहां एम एक अधिकतम आदर्श है जो क्षेत्र क्रम-आइसोमोर्फिक की ओर नहीं ले जाता है $\mathbb {R}$. यह गैरमानक विश्लेषण में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली हाइपररियल संख्या है, और इसकी विशिष्टता सातत्य परिकल्पना के बराबर है। (सातत्य परिकल्पना के बिना भी हमारे पास यह है कि यदि सातत्य की प्रमुखता है $\aleph _{\beta }$ तो हमारे पास एक अद्वितीय ईटा सेट|η है_β आकार का क्षेत्र $\aleph _{\beta }$.)

इसके अलावा, हमें Ϝ का निर्माण करने के लिए अल्ट्रापावर की आवश्यकता नहीं है, हम क्षेत्र के गैर-शून्य शब्दों की अनगिनत अनंत संख्या के साथ श्रृंखला के उपक्षेत्र के रूप में बहुत अधिक रचनात्मक रूप से कर सकते हैं $\mathbb {R} [[G]]$ एक पूरी तरह से आदेशित समूह एबेलियन समूह विभाज्य समूह जी पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का एक ईटा सेट है|η₁ कार्डिनैलिटी का समूह $\aleph _{1}$ (Alling 1962).

हालाँकि, Ϝ एक पूर्ण फ़ील्ड नहीं है; यदि हम इसे पूरा करते हैं, तो हम बड़ी कार्डिनैलिटी के क्षेत्र Κ के साथ समाप्त होते हैं। Ϝ में सातत्य की प्रमुखता है, जो परिकल्पना के अनुसार है $\aleph _{1}$, Κ में कार्डिनैलिटी है $\aleph _{2}$, और इसमें घने उपक्षेत्र के रूप में Ϝ शामिल है। यह कोई अल्ट्रापावर नहीं है बल्कि यह एक अतिवास्तविक क्षेत्र है, और इसलिए गैरमानक विश्लेषण के उपयोग के लिए एक उपयुक्त क्षेत्र है। इसे वास्तविक संख्याओं के उच्च-आयामी एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है; प्रमुखता के साथ $\aleph _{2}$ के बजाय $\aleph _{1}$, सह-अंतिमता $\aleph _{1}$ के बजाय $\aleph _{0}$, और वजन $\aleph _{1}$ के बजाय $\aleph _{0}$, और η के साथ₁ η के स्थान पर संपत्ति₀ संपत्ति (जिसका अर्थ केवल यह है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के बीच हम दूसरी संपत्ति ढूंढ सकते हैं)।

वास्तविक बंद फ़ील्ड के उदाहरण

• वास्तविक बीजगणितीय संख्याएँ
• गणना योग्य संख्याएँ
• निश्चित संख्याएँ
• वास्तविक संख्याएँ
• अतियथार्थवादी संख्याएँ
• अतियथार्थवादी संख्याएँ
• वास्तविक गुणांकों के साथ पुइसेक्स श्रृंखला
• अवास्तविक संख्याएँ

संदर्भ

• Alling, Norman L. (1962), "On the existence of real-closed fields that are η_α-sets of power ℵ_α.", Trans. Amer. Math. Soc., 103: 341–352, doi:10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X, MR 0146089
• Basu, Saugata, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy (2003) "Algorithms in real algebraic geometry" in Algorithms and computation in mathematics. Springer. ISBN 3-540-33098-4 (online version)
• Michael Ben-Or, Dexter Kozen, and John Reif, The complexity of elementary algebra and geometry, Journal of Computer and Systems Sciences 32 (1986), no. 2, pp. 251–264.
• Caviness, B F, and Jeremy R. Johnson, eds. (1998) Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition. Springer. ISBN 3-211-82794-3
• Chen Chung Chang and Howard Jerome Keisler (1989) Model Theory. North-Holland.
• Dales, H. G., and W. Hugh Woodin (1996) Super-Real Fields. Oxford Univ. Press.
• Davenport, James H.; Heintz, Joos (1988). "Real quantifier elimination is doubly exponential". J. Symb. Comput. 5 (1–2): 29–35. doi:10.1016/s0747-7171(88)80004-x. Zbl 0663.03015.
• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
• Macpherson, D., Marker, D. and Steinhorn, C., Weakly o-minimal structures and real closed fields, Trans. of the American Math. Soc., Vol. 352, No. 12, 1998.
• Mishra, Bhubaneswar (1997) "Computational Real Algebraic Geometry," in Handbook of Discrete and Computational Geometry. CRC Press. 2004 edition, p. 743. ISBN 1-58488-301-4
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
• Renegar, James (1992). "On the computational complexity and geometry of the first-order theory of the reals. Part I: Introduction. Preliminaries. The geometry of semi-algebraic sets. The decision problem for the existential theory of the reals". Journal of Symbolic Computation. 13 (3): 255–299. doi:10.1016/S0747-7171(10)80003-3.
• Passmore, Grant (2011). Combined Decision Procedures for Nonlinear Arithmetics, Real and Complex (PDF) (PhD). University of Edinburgh.
• Alfred Tarski (1951) A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
• Erdös, P.; Gillman, L.; Henriksen, M. (1955), "An isomorphism theorem for real-closed fields", Ann. of Math., 2, 61 (3): 542–554, doi:10.2307/1969812, JSTOR 1969812, MR 0069161

बाहरी संबंध

• Real Algebraic and Analytic Geometry Preprint Server
• Model Theory preprint server