स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन

गणित में, स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन फॉर्म की हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है

$q=w+xi+yj+zk$

जहां w, x, y, और z विभाजित-जटिल संख्याएं हैं और i, j, और k चतुर्धातुक समूह की तरह गुणा करते हैं। चूँकि प्रत्येक गुणांक w, x, y, z दो वास्तविक संख्या आयामों तक फैला होता है, स्प्लिट-बाइक्वेटर्नियन आठ-आयामी सदिश स्थल का तत्व है। यह ध्यान में रखते हुए कि इसमें गुणन होता है, यह सदिश स्थान वास्तविक क्षेत्र के ऊपर क्षेत्र पर बीजगणित है, या अंगूठी पर बीजगणित है जहां विभाजित-जटिल संख्याएं अंगूठी बनाती हैं। यह बीजगणित विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा 1873 में लंदन गणितीय सोसायटी के लिए लेख में प्रस्तुत किया गया था। तब से इसे गणितीय साहित्य में बार-बार नोट किया गया है, शब्दावली में विचलन के रूप में, बीजगणित के टेंसर उत्पाद का चित्रण, और मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग # बीजगणित के प्रत्यक्ष योग के चित्रण के रूप में। बीजगणितशास्त्रियों द्वारा विभाजन-द्विभाजक की पहचान विभिन्न तरीकों से की गई है; देखना § Synonyms नीचे।

आधुनिक परिभाषा

स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन क्लिफोर्ड बीजगणित Cℓ के लिए रिंग समरूपता है_0,3(आर)। यह तीन ऑर्थोगोनल काल्पनिक इकाई आधार दिशाओं द्वारा उत्पन्न ज्यामितीय बीजगणित है, {e₁, e₂, e₃} संयोजन नियम के तहत

$e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}$

8 आधार तत्वों द्वारा विस्तृत बीजगणित देना {1, e₁, e₂, e₃, e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁, e₁e₂e₃}, के साथ (ई₁e₂)² = (और₂e₃)² = (और₃e₁)² = −1 और ω² = (और₁e₂e₃)² = +1. उप-बीजगणित 4 तत्वों द्वारा फैला हुआ है {1, i = e₁, j = e₂, k = e₁e₂} हैमिल्टन के चतुर्भुजों का विभाजन वलय है, H = Cℓ_0,2(R). इसलिए कोई भी इसे देख सकता है

$C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes \mathbb {D}$

कहाँ D = Cℓ_1,0(R) द्वारा फैलाया गया बीजगणित है {1, ω}, विभक्त-सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित। समान रूप से,

$C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$

स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन समूह

स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन संबद्धता रिंग सिद्धांत बनाते हैं जैसा कि इसके आधार (रैखिक बीजगणित) {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk} में गुणन पर विचार करने से स्पष्ट है। जब ω चतुर्भुज समूह से जुड़ा होता है तो व्यक्ति को 16 तत्व समूह प्राप्त होता है

( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, × )।

मॉड्यूल

चूँकि चतुर्धातुक समूह के तत्व {1, i, j, k} को विभाजन-द्विभाजक के स्थान के आधार (रैखिक बीजगणित) के रूप में लिया जा सकता है, इसकी तुलना वेक्टर स्थान से की जा सकती है। लेकिन विभाजित-सम्मिश्र संख्याएँ वलय बनाती हैं, फ़ील्ड नहीं, इसलिए वेक्टर समष्टि उपयुक्त नहीं है। बल्कि स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन्स का स्थान मुक्त मॉड्यूल बनाता है। रिंग सिद्धांत का यह मानक शब्द वेक्टर स्पेस की समानता को व्यक्त करता है, और 1873 में क्लिफोर्ड द्वारा बनाई गई यह संरचना उदाहरण है। स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन रिंग के ऊपर बीजगणित बनाते हैं, लेकिन समूह रिंग नहीं।

दो चतुर्भुज वलय का प्रत्यक्ष योग

स्वयं के साथ चतुर्भुज के विभाजन वलय का प्रत्यक्ष योग निरूपित किया जाता है $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$. दो तत्वों का उत्पाद $(a\oplus b)$ और $(c\oplus d)$ है $ac\oplus bd$ मॉड्यूल के इस प्रत्यक्ष योग में#बीजगणित का प्रत्यक्ष योग।

प्रस्ताव: स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन का बीजगणित समरूपी है $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$ प्रमाण: प्रत्येक स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन की अभिव्यक्ति होती है q = w + z ω जहां w और z चतुर्भुज हैं और ω² = +1. अब यदि p = u + v ω और विभाजन-द्विभाजक है, तो उनका उत्पाद है

$pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .$

स्प्लिट-बाइक्वेटर्नियन्स से आइसोमोर्फिज्म मैपिंग $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ द्वारा दिया गया है

$p\mapsto (u+v)\oplus (u-v),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (w-z).$

में $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$, इन छवियों का उत्पाद, बीजगणित-उत्पाद के अनुसार $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ ऊपर दर्शाया गया है, है

$(u+v)(w+z)\oplus (u-v)(w-z).$

यह तत्व मैपिंग के अंतर्गत pq की छवि भी है $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$ इस प्रकार उत्पाद सहमत हैं, मानचित्रण समरूपता है; और चूँकि यह विशेषण है, यह समरूपता है।

यद्यपि स्प्लिट-बाइक्वेटर्नियन हैमिल्टन के बाइक्वाटर्नियन की तरह आठ-आयामी स्थान बनाते हैं, प्रस्ताव के आधार पर यह स्पष्ट है कि यह बीजगणित वास्तविक चतुर्भुज की दो प्रतियों के प्रत्यक्ष योग में विभाजित होता है।

हैमिल्टन बाईक्वाटर्नियन

स्प्लिट-बाइक्वेटर्नियन्स को विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा पहले पेश किए गए (साधारण) बाइक्वाटर्नियंस के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। हैमिल्टन के द्विभाजन बीजगणित के तत्व हैं

$C\ell _{2}(\mathbb {C} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .$

$C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .$

समानार्थी

निम्नलिखित शब्द और यौगिक स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन बीजगणित को संदर्भित करते हैं:

• अण्डाकार द्विचतुर्भुज - Clifford 1873, Rooney 2007
• क्लिफोर्ड बाईक्वाटर्नियन - Joly 1902, van der Waerden 1985
• डाइक्वाटरनियंस - Rosenfeld 1997
• $\mathbb {D} \otimes \mathbb {H}$ जहाँ D = विभाजित-सम्मिश्र संख्याएँ - Bourbaki 1994, Rosenfeld 1997
• $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$, मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग#दो चतुर्भुज बीजगणित के बीजगणित का प्रत्यक्ष योग - van der Waerden 1985

यह भी देखें

• स्प्लिट-ऑक्टोनियन

संदर्भ

• Clifford, W.K. (1873) Preliminary Sketch of Biquaternions, pages 195–7 in Mathematical Papers via Internet Archive
• Clifford, W.K. (1882) The Classification of Geometric Algebras, page 401 in Mathematical Papers, R. Tucker editor
• Girard, P.R. (1984). "The quaternion group and modern physics". Eur. J. Phys. 5 (1): 25–32. Bibcode:1984EJPh....5...25G. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007. S2CID 250775753.
• Rooney, Joe (2007). "William Kingdon Clifford". In Ceccarelli, Marco (ed.). Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions and Legacies. Springer. pp. 79–. ISBN 978-1-4020-6366-4.
• Joly, Charles Jasper (1905). A Manual of Quaternions. Macmillan. p. 21.
• Rosenfeld, Boris (1997). Geometry of Lie Groups. Kluwer. p. 48. ISBN 978-0-7923-4390-5.
• Bourbaki, N. (2013) [1994]. Elements of the History of Mathematics. Translated by Meldrum, J. Springer. p. 137. ISBN 978-3-642-61693-8.
• van der Waerden, B. L. (1985). A History of Algebra. Springer. p. 188. ISBN 978-0-387-13610-3.