अपरिवर्तनीय (गणित)
गणित में, एक अपरिवर्तनीय एक गणितीय वस्तु (या गणितीय वस्तुओं का एक वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) ) की संपत्ति है जो वस्तुओं पर एक निश्चित प्रकार के संचालन (गणित) या परिवर्तन (फ़ंक्शन) के बाद अपरिवर्तित रहती है।[1][2] वस्तुओं के विशेष वर्ग और प्रकार के परिवर्तन सामान्यतः उस संदर्भ द्वारा इंगित किए जाते हैं जिसमें शब्द का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज का क्षेत्र समतल (ज्यामिति) की आइसोमेट्री के संबंध में अपरिवर्तनीय है। वाक्यांश "के तहत अपरिवर्तनीय" और "अपरिवर्तनीय" परिवर्तन के लिए व्युत्पत्ति दोनों का उपयोग किया जाता है। अधिक सामान्यतः एक तुल्यता संबंध के संबंध में एक अपरिवर्तनीय एक संपत्ति है जो प्रत्येक तुल्यता वर्ग पर स्थिर है। [3]
गणित के विभिन्न क्षेत्रों जैसे कि ज्यामिति, टोपोलॉजी, बीजगणित और असतत गणित में अपरिवर्तनीय का प्रयोग किया जाता है। परिवर्तन के कुछ महत्वपूर्ण वर्गों को एक अपरिवर्तनीय के द्वारा परिभाषित किया जाता है, वे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। उदाहरण के लिए, अनुरूप मानचित्रों को समतल के रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है जो कोण को संरक्षित करता है। निश्चर की खोज गणितीय वस्तुओं को वर्गीकृत करने की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण कदम है। [2][3]
उदाहरण
निश्चरता का एक सरल उदाहरण हमारी गणना की क्षमता में व्यक्त किया गया है। किसी भी प्रकार की वस्तुओं के एक परिमित समुच्चय के लिए, एक संख्या है जिसके लिए हम हमेशा पहुंचते हैं, चाहे जिस क्रम में हम समुच्चय में वस्तुओं की गणना करते हैं। मात्रा, एक कार्डिनल संख्या, समुच्चय से जुड़ी होती है और गिनती की प्रक्रिया के तहत अपरिवर्तनीय होती है।
गणितीय सर्वसमिकाओं की सूची एक समीकरण है जो अपने चरों के सभी मानों के लिए सत्य रहता है। ऐसी असमानताओं की सूची भी है जो चरों के मान बदलने पर सत्य रहती हैं।
संख्या रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी दोनों संख्याओं में समान मात्रा जोड़कर नहीं बदली जाती है। दूसरी ओर, गुणन में एक ही संपत्ति नहीं है, क्योंकि दूरी गुणा के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है
दूरी के कोण और अनुपात स्केलिंग (ज्यामिति), रोटेशन (गणित), अनुवाद (ज्यामिति) और प्रतिबिंब (गणित) के तहतअपरिवर्तनीय हैं। ये परिवर्तन समरूपता (ज्यामिति) आकार उत्पन्न करते हैं, जो त्रिकोणमिति का आधार है। इसके विपरीत, कोण और अनुपात गैर-समान स्केलिंग (जैसे स्ट्रेचिंग) के तहत अपरिवर्तनीय नहीं हैं। एक त्रिभुज के आंतरिक कोण (180°c) का योग सभी उपरोक्त संक्रियाओं के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, सभी वृत्त समान हैं: उन्हें एक दूसरे में बदला जा सकता है और व्यास के प्रति परिधि का अनुपात अपरिवर्तनीय है (ग्रीक अक्षर π (अनुकरणीय ) द्वारा दर्शाया गया है)।
कुछ और जटिल उदाहरण:
- जटिल संयुग्मन का वास्तविक भाग और निरपेक्ष मान एक जटिल संख्या के तहत अपरिवर्तनीय हैं।
- बहुपद की डिग्री चर के रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।
- एक टोपोलॉजिकल वस्तु के टोपोलॉजिकल आयाम और समरूपता समूह होमियोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय हैं।[4]
- गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदु (गणित) की संख्या कई गणितीय संक्रियाओं के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।
- यूक्लिडियन दूरी ऑर्थोगोनल परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।
- यूक्लिडियन क्षेत्र रैखिक मानचित्रों के तहत अपरिवर्तनीय है, जिसमें निर्धारक ± 1 ( देखें भूमध्य रेखा मानचित्र = रैखिक रूपांतरण § Notes).
- प्रक्षेपी परिवर्तनों के कुछ अपरिवर्तनों में तीन या अधिक बिंदुओं की संपार्श्विकता, तीन या अधिक रेखाओं की समवर्ती रेखाएँ, शंकु खंड, क्रॉस-अनुपात शामिल हैं।[5]
- एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक, ट्रेस (रैखिक बीजगणित), और इगनवेक्टर और इगनवाल्यूआधार के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रम आधार के परिवर्तन के लिए अपरिवर्तनीय है।
- टेंसरों के प्रमुख निश्चर समन्वय प्रणाली के घूर्णन के साथ नहीं बदलते हैं (देखें टेन्सर के निश्चर)।
- एक मैट्रिक्स (गणित) का एकल मान अपघटन ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है।
- लेबब्ज़्य माप अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।
- प्रायिकता वितरण का विचरण वास्तविक रेखा के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है; इसलिए एक स्थिरांक के जोड़ के बाद एक यादृच्छिक चर का विचरण अपरिवर्तित है।
- एक परिवर्तन का निश्चित बिंदु (गणित) उस क्षेत्र के तत्व हैं जो परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। उन्हें, आवेदन के आधार पर, उस परिवर्तन के संबंध में सममित कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुवादकीय समरूपता वाली वस्तुएं कुछ अनुवादों के तहत अपरिवर्तनीय हैं।
- अभिन्न गॉसियन वक्रता का एक 2-आयामी रीमैनियन कई गुना का रिमेंनियन मीट्रिक के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है . यह गॉस-बोनट प्रमेय है।
- अंतर समीकरणों के लिए विभेदक अपरिवर्तनीय [6]
एमयू पहेली
एमयू पहेली[7] एक तार्किक समस्या का एक अच्छा उदाहरण है जहां अपरिवर्तनीयता का निर्धारण असंभवता प्रमाण के लिए उपयोग किया जाता है। पहेली किसी को एमआई शब्द से शुरू करने और इसे एमयू शब्द में बदलने के लिए कहती है, प्रत्येक चरण में निम्नलिखित परिवर्तन नियमों में से एक का उपयोग करते हुए:
- यदि एक स्ट्रिंग I के साथ समाप्त होती है, तो एक U जोड़ा जा सकता है (xI → xIU)
- M के बाद की स्ट्रिंग पूरी तरह से समरूप हो सकती है (Mx → Mxx)
- किसी भी तीन क्रमवर्ती I (III) को एक एकल U (xIIIy → xUy) के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है
- किसी भी दो क्रमवर्ती U's को हटाया जा सकता है (xUUy → xy)
एक उदाहरण व्युत्पत्ति (लागू नियमों को इंगित करने वाले सुपरस्क्रिप्ट के साथ) है
- MI →2 MII →2 MIIII →3 MUI →2 MUIUI →1 MUIUIU →2 MUIUIUUIUIU →4 MUIUIIUIU → ...
इसके प्रकाश में, किसी को आश्चर्य हो सकता है कि क्या केवल इन चार परिवर्तन नियमों का उपयोग करके MI को MU में परिवर्तित करना संभव है। इन परिवर्तन नियमों को स्ट्रिंग्स पर लागू करने में कई घंटे लग सकते हैं। हालाँकि, यह एक विधेय (गणितीय तर्क) खोजने में तेज़ हो सकता है जो सभी नियमों के लिए अपरिवर्तनीय है (अर्थात यह उनमें से किसी के द्वारा नहीं बदला गया है), और दर्शाता है कि MU तक पहुँचना असंभव है। एक तार्किक दृष्टिकोण से पहेली को देखने के द्वारा, किसी भी से छुटकारा पाने का एकमात्र तरीका है कि I स्ट्रिंग में लगातार तीन बार है। यह निम्नलिखित अपरिवर्तनीय विचार करने के लिए दिलचस्प बनाता है:
- स्ट्रिंग में I's की संख्या 3 का एक गुणज नहीं है।
यह समस्या के प्रति एक निश्चर है, यदि परिवर्तन नियमों में से प्रत्येक के लिए निम्नलिखित धारण करता है: यदि नियम लागू करने से पहले रखे गए निश्चर, तो वह इसे लागू करने के बाद भी धारण करेगा। I's और U's की संख्या पर नियमों को लागू करने के शुद्ध प्रभाव को देखते हुए, आप देख सकते हैं कि वास्तव में यह सभी नियमों के लिए मामला है:
नियम #I's #U's अपरिवर्तनीय प्रभाव 1 +0 +1 संख्या अपरिवर्तित I's यदि निश्चर अभिनिर्धारित किया जाता है, तो वह अभी भी करता है। 2 ×2 ×2 यदि n 3 का एक गुणज नहीं है, तो, 2×n भी नहीं है। अपरिवर्तनीय अभी भी धारण करता है। 3 −3 +1 यदि n 3 का एक गुण नहीं है, तो, n−3 भी नहीं है। अपरिवर्तनीय अभी भी धारण करता है। 4 +0 −2 I's की संख्या अपरिवर्तित है। यदि निश्चर अभिनिर्धारित किया जाता है, तो वह अभी भी करता है।
उपर्युक्त तालिका स्पष्ट रूप से दिखाती है कि अपरिवर्तनीय प्रत्येक संभावित परिवर्तन नियमों में से प्रत्येक के लिए धारण करता है, जिसका अर्थ है कि जो भी नियम एक चुनते हैं, किसी भी राज्य में, यदि नियम लागू करने से पहले I's तीन की संख्या नहीं थी, तो यह बाद में भी नहीं होगा।
यह देखते हुए कि प्रारंभिक स्ट्रिंग MI में एक एकल है, और एक जो तीन में से एक से अधिक नहीं है, तब कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि MI से MU तक जाना असंभव है (क्योंकि I's की संख्या कभी भी तीन से अधिक नहीं होगी ).
अपरिवर्तनीय समुच्चय
एक मानचित्रण T के डोमेन U का एक उपसमुच्चय S: U → U मानचित्रण के तहत एक अपरिवर्तनीय समुच्चय है जब ध्यान दें कि S का तत्व (गणित) निश्चित बिंदु (गणित) नहीं है, भले ही समुच्चय S U के सत्ता स्थापित में तय हो। (कुछ लेखक शब्दावली समुच्चयवाइज इनवेरिएंट का उपयोग करते हैं,[8] बनाम बिंदुवार अपरिवर्तनीय,[9] इन मामलों के बीच अंतर करने के लिए।)
उदाहरण के लिए, एक वृत्त, वृत्त के केंद्र के चारों ओर एक घूर्णन के तहत समतल का एक अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है। इसके अलावा, एक शंक्वाकार सतह दूरी की होमोथेटिक परिवर्तन के तहत एक समुच्चय के रूप में अपरिवर्तनीय है।
एक सिद्धांत T के एक अपरिवर्तनीय समुच्चय को 'T के तहत स्थिर' भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सामान्य उपसमूह जो समूह सिद्धांत में बहुत महत्वपूर्ण हैं, वे उपसमूह हैं जो परिवेश समूह (गणित) के आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के तहत स्थिर हैं।[10][11][12] रैखिक बीजगणित में, यदि एक रैखिक परिवर्तन T में एक आइजन्वेक्टर 'वी' है, तो '0' और 'वी' के माध्यम से रेखा T के तहत एक अपरिवर्तनीय समुच्चय है, इस मामले में ईजेनवेक्टर एक अपरिवर्तनीय उपस्थान फैलाते हैं जो T के तहत स्थिर है।
जब T एक स्क्रू विस्थापन है, तो पेंच अक्ष एक अपरिवर्तनीय रेखा है, हालांकि यदि पिच (पेंच) गैर-शून्य है, तो T का कोई निश्चित बिंदु नहीं है।
औपचारिक वक्तव्य
निश्चरता की धारणा को गणित में तीन अलग-अलग तरीकों से औपचारिक रूप दिया जाता है: समूह क्रिया ओं, प्रस्तुतियों और विरूपण के माध्यम से।
समूह कार्रवाई के तहत अपरिवर्तित
सबसे पहले, यदि किसी के पास एक गणितीय वस्तु (या वस्तुओं के समुच्चय) X पर कार्य करने वाला समूह (गणित) G है, तो कोई पूछ सकता है कि समूह क्रिया के तहत या समूह के एक तत्व g के तहत x कौन सा बिंदु अपरिवर्तित हैं।
अक्सर एक समूह होता है जो एक समुच्चय x पर कार्य करता है, जो एक को यह निर्धारित करने के लिए छोड़ देता है कि एक संबद्ध समुच्चय F(X) में कौन सी वस्तुएं अपरिवर्तनीय हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु के आसपास विमान में घुमाव उस बिंदु को छोड़ देता है जिसके बारे में यह अपरिवर्तनीय है, जबकि समतल में अनुवाद किसी भी बिंदु अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ते हैं, लेकिन सभी रेखाओं को रेखाओं के रूप में अनुवाद अपरिवर्तनीय की दिशा के समानांतर छोड़ देता है। औपचारिक रूप से, समतल P में रेखाओं के समुच्चय को L(P) के रूप में परिभाषित करें; फिर विमान की एक कठोर गति रेखाओं को रेखाओं को ले जाती है - रेखाओं के समुच्चय पर कठोर गति के समूह - और एक पूछ सकता है कि कौन सी रेखाएं एक क्रिया द्वारा अपरिवर्तित हैं।
इससे भी महत्वपूर्ण, एक समुच्चय पर एक फलन को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि समतल में एक वृत्त का त्रिज्या, और फिर पूछना कि क्या यह फ़ंक्शन किसी समूह कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है, जैसे कि कठोर गति।
अपरिवर्तनीय की धारणा के लिए दोहरी सहपरिवर्ती हैं, जिन्हें ऑर्बिट्स के रूप में भी जाना जाता है, जो सर्वांगसमता संबंध की धारणा को औपचारिक रूप देता है: ऐसी वस्तुएं जिन्हें एक समूह क्रिया द्वारा एक दूसरे के पास ले जाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समतल की कठोर गतियों के समूह के अंतर्गत, एक त्रिभुज की परिधि एक अपरिवर्तनीय है, जबकि दिए गए त्रिभुज के सर्वांगसम त्रिभुजों का समुच्चय एक सहपरिवर्तक है।
ये निम्नानुसार जुड़े हुए हैं: इनवेरिएंट कॉइनवेरिएंट पर स्थिर होते हैं (उदाहरण के लिए, सर्वांगसम त्रिभुजों की परिधि समान होती है), जबकि दो वस्तुएं जो एक इनवेरिएंट के मान में सहमत होती हैं या नहीं भी हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, समान परिधि वाले दो त्रिकोण) सर्वांगसम होने की आवश्यकता नहीं है)। वर्गीकरण की समस्या (गणित) में, कोई भी इनवेरिएंट्स का एक पूरा समुच्चय खोजने की कोशिश कर सकता है, जैसे कि यदि दो वस्तुओं के इनवेरिएंट्स के इस समुच्चय के लिए समान मान हैं, तो वे सर्वांगसम हैं।
उदाहरण के लिए, त्रिकोण जैसे कि तीनों भुजाएँ समान हैं, कठोर गतियों के तहत सर्वांगसम हैं, त्रिभुजों की सर्वांगसमता (ज्यामिति) # सर्वांगसमता के माध्यम से, और इस प्रकार तीनों भुजाओं की लंबाई त्रिभुजों के लिए अपरिवर्तनीयों का एक पूरा समुच्चय बनाती है। एक त्रिभुज के तीन कोण माप भी कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं, लेकिन एक पूर्ण समुच्चय नहीं बनाते हैं क्योंकि असंगत त्रिभुज समान कोण माप साझा कर सकते हैं। हालांकि, यदि कोई कठोर गतियों के अतिरिक्त स्केलिंग की अनुमति देता है, तो समानता (ज्यामिति)#समान त्रिभुज दर्शाता है कि यह अपरिवर्तनीय का एक पूर्ण समुच्चय है।
प्रस्तुति से स्वतंत्र
दूसरे, किसी गणितीय वस्तु की कुछ प्रस्तुति या अपघटन के संदर्भ में एक फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, कोशिका परिसर की यूलर विशेषता को प्रत्येक आयाम में कोशिकाओं की संख्या के वैकल्पिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है। कोई सेल कॉम्प्लेक्स संरचना को भूल सकता है और केवल अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस (मैनिफ़ोल्ड) को देख सकता है - क्योंकि विभिन्न सेल कॉम्प्लेक्स समान अंतर्निहित विविध देते हैं, कोई पूछ सकता है कि क्या फ़ंक्शन प्रस्तुति की पसंद से स्वतंत्र है, इस मामले में यह एक आंतरिक रूप से है परिभाषित अपरिवर्तनीय। यह यूलर विशेषता के मामले में है, और इनवेरिएंट को परिभाषित करने और गणना करने के लिए एक सामान्य विधि उन्हें किसी दिए गए प्रस्तुति के लिए परिभाषित करना है, और फिर यह दिखाना है कि वे प्रस्तुति की पसंद से स्वतंत्र हैं। ध्यान दें कि इस अर्थ में समूह क्रिया की कोई धारणा नहीं है।
सबसे आम उदाहरण हैं:
- डिफरेंशियल मैनिफोल्ड # परिभाषा समन्वय चार्ट के संदर्भ में - निर्देशांक के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय अपरिवर्तित होना चाहिए।
- विभिन्न कई गुना अपघटन, जैसा कि यूलर विशेषता के लिए चर्चा की गई है।
- एक समूह की प्रस्तुति के अपरिवर्तनीय।
गड़बड़ी के तहत अपरिवर्तित
तीसरा, यदि कोई ऐसी वस्तु का अध्ययन कर रहा है जो एक परिवार में भिन्न होती है, जैसा कि बीजगणितीय ज्यामिति औरअंतर ज्यामिति में आम है, तो कोई यह पूछ सकता है कि क्या गुण गड़बड़ी के तहत अपरिवर्तित है (उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु परिवारों पर स्थिर है या परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है) मीट्रिक)।
कंप्यूटर विज्ञान में अपरिवर्तनीय
कंप्यूटर विज्ञान में, एक अपरिवर्तनीय एक तार्किक अभिकथन है जिसे कंप्यूटर कार्यक्रम शुद्धता निष्पादन के एक निश्चित चरण के दौरान हमेशा सत्य माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक पाश अपरिवर्तनीय एक ऐसी स्थिति है जो लूप के प्रत्येक पुनरावृत्ति की शुरुआत और अंत में सत्य होती है।
शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान) के बारे में तर्क करते समय इनवेरिएंट विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। संकलक के अनुकूलन का सिद्धांत, अनुबंध द्वारा डिजाइन की कार्यप्रणाली, और कार्यक्रम की शुद्धता का निर्धारण करने के लिए औपचारिक तरीके , सभी आक्रमणकारियों पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं।
प्रोग्रामर अक्सर इनवेरिएंट को स्पष्ट करने के लिए अपने कोड में अभिकथन (कंप्यूटिंग) का उपयोग करते हैं। कुछ वस्तु के उन्मुख प्रोग्रामिंग भाषा में वर्ग अपरिवर्तनीय ्स को निर्दिष्ट करने के लिए एक विशेष सिंटैक्स होता है।
अनिवार्य कार्यक्रमों में स्वचालित अपरिवर्तनीय पहचान
सार व्याख्या उपकरण दिए गए अनिवार्य कंप्यूटर प्रोग्रामों के सरल आविष्कारों की गणना कर सकते हैं। जिस प्रकार के गुण पाए जा सकते हैं, वे सार व्याख्या पर निर्भर करते हैं # उपयोग किए गए अमूर्त डोमेन के उदाहरण। विशिष्ट उदाहरण गुण एकल पूर्णांक चर श्रेणी जैसे हैं 0<=x<1024, जैसे कई चर के बीच संबंध 0<=i-j<2*n-1, और मॉड्यूलस जानकारी जैसे y%4==0. शैक्षणिक अनुसंधान प्रोटोटाइप सूचक संरचनाओं के सरल गुणों पर भी विचार करते हैं।[13]
अधिक परिष्कृत आक्रमणकारियों को आम तौर पर मैन्युअल रूप से प्रदान किया जाना है।
विशेष रूप से, होरे तर्क का उपयोग करते हुए एक अनिवार्य कार्यक्रम की पुष्टि करते समय,[14] प्रोग्राम में प्रत्येक लूप के लिए एक लूप इनवेरिएंट मैन्युअल रूप से प्रदान किया जाना है, जो एक कारण है कि यह दृष्टिकोण सामान्यतः अधिकांश कार्यक्रमों के लिए अव्यावहारिक है।
उपरोक्त एमयू पहेली उदाहरण के संदर्भ में, वर्तमान में कोई सामान्य स्वचालित उपकरण नहीं है जो यह पता लगा सके कि केवल 1-4 नियमों का उपयोग करके एमआई से एमयू तक की व्युत्पत्ति असंभव है। हालाँकि, एक बार स्ट्रिंग से इसके I की संख्या तक अमूर्त हाथ से बनाया गया है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित C प्रोग्राम के लिए, एक अमूर्त व्याख्या उपकरण यह पता लगाने में सक्षम होगा ICount%3 0 नहीं हो सकता है, और इसलिए -लूप कभी समाप्त नहीं होगा।
void MUPuzzle(void) {
volatile int RandomRule;
int ICount = 1, UCount = 0;
while (ICount % 3 != 0) // non-terminating loop
switch(RandomRule) {
case 1: UCount += 1; break;
case 2: ICount *= 2; UCount *= 2; break;
case 3: ICount -= 3; UCount += 1; break;
case 4: UCount -= 2; break;
// computed invariant: ICount % 3 == 1 || ICount % 3 == 2}
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ "अपरिवर्तनीय परिभाषा (सचित्र गणित शब्दकोश)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-05.
- ↑ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. "अचल". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-05.
- ↑ 3.0 3.1 "अपरिवर्तनीय - गणित का विश्वकोश". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-05.
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- ↑ Kay (1969, pp. 219)
- ↑ Differential Invariants for Differential Equations by André Platzer
- ↑ Hofstadter, Douglas R. (1999) [1979], Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, ISBN 0-465-02656-7 Here: Chapter I.
- ↑ Barry Simon. परिमित और कॉम्पैक्ट समूहों का प्रतिनिधित्व. American Mathematical Soc. p. 16. ISBN 978-0-8218-7196-6.
- ↑ Judith Cederberg (1989). आधुनिक ज्यामिति में एक कोर्स. Springer. p. 174. ISBN 978-1-4757-3831-5.
- ↑ Fraleigh (1976, p. 103)
- ↑ Herstein (1964, p. 42)
- ↑ McCoy (1968, p. 183)
- ↑ Bouajjani, A.; Drǎgoi, C.; Enea, C.; Rezine, A.; Sighireanu, M. (2010). "असीमित डेटा के साथ सूची में हेरफेर करने वाले प्रोग्राम के लिए अपरिवर्तनीय संश्लेषण" (PDF). Proc. CAV. doi:10.1007/978-3-642-14295-6_8.
- ↑ Hoare, C. A. R. (October 1969). "कंप्यूटर प्रोग्रामिंग के लिए एक स्वयंसिद्ध आधार" (PDF). Communications of the ACM. 12 (10): 576–580. doi:10.1145/363235.363259. S2CID 207726175. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04.
संदर्भ
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- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075
- McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68-15225
- J.D. Fokker, H. Zantema, S.D. Swierstra (1991). "Iteratie en invariatie", Programmeren en Correctheid. Academic Service. ISBN 90-6233-681-7.
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बाहरी कड़ियाँ
- "Applet: Visual Invariants in Sorting Algorithms" by William Braynen in 1997
