बेयर समष्‍टि

For the concept in set theory, see Baire space (set theory).

गणित में, एक सामयिक स्थान $X$ खाली इंटीरियर (टोपोलॉजी) के साथ बंद सेटों के गणनीय संघों में भी खाली इंटीरियर होने पर बायर स्पेस कहा जाता है। बायर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस स्थान और पूर्ण मीट्रिक स्थान बेयर स्थान के उदाहरण हैं। बेयर रिक्त स्थान के गुणों के साथ संयुक्त बायर श्रेणी प्रमेय में विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में टोपोलॉजी, ज्यामिति, विश्लेषण (गणित) में कई अनुप्रयोग हैं। अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, बेयर श्रेणी प्रमेय लेख देखें। वर्तमान लेख बायर रिक्त स्थान के चरित्र-चित्रण और बुनियादी गुणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है।

निकोलस बोरबाकी ने बेयर स्पेस शब्द पेश किया रेने बेयर के सम्मान में, जिन्होंने यूक्लिडियन अंतरिक्ष के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की $\mathbb {R} ^{n}$ अपने 1899 थीसिस में।

परिभाषा

इसके बाद की परिभाषा अल्प सेट (या पहली श्रेणी) सेट (अर्थात्, एक सेट जो कि सेट का एक गणनीय संघ है, जिसका क्लोजर खाली इंटीरियर है) और nonmeagre (या दूसरी श्रेणी) सेट (अर्थात्, एक सेट जो सेट है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ बायर स्पेस कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:

1. घने (टोपोलॉजी) खुले सेट का प्रत्येक गणनीय चौराहा घना है।
2. खाली इंटीरियर वाले बंद सेट के हर गणनीय संघ में खाली इंटीरियर होता है।
3. हर छोटे सेट में खाली इंटीरियर होता है।
4. हर गैर-खाली खुला सेट गैर-मामूली है।
5. हर comagre सेट घना है।
6. जब भी बंद सेटों के एक गणनीय संघ में एक आंतरिक बिंदु होता है, कम से कम एक बंद सेट में एक आंतरिक बिंदु होता है।

इन परिभाषाओं के बीच समानता के पूरक उपसमुच्चय के संबद्ध गुणों पर आधारित है $X$ (यानी, एक सेट का $A\subset X$ और इसके पूरक (सेट सिद्धांत) $X\setminus A$) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।

Property of a set	Property of complement
open	closed
comeagre	meagre
dense	has empty interior
has dense interior	nowhere dense

बाहरी श्रेणी प्रमेय

Main article: Baire category theorem

बायर श्रेणी प्रमेय एक स्थलीय स्थान के लिए बेयर स्थान होने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।

• (BCT1) हर पूर्ण मीट्रिक स्पेस स्यूडोमेट्रिक स्पेस एक बेयर स्पेस है। विशेष रूप से, हर पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल स्पेस एक बायर स्पेस है।
• (BCT2) प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान एक बायर स्थान है। विशेष रूप से, प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान एक बायर स्थान है।

BCT1 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर स्थान हैं:

• अंतरिक्ष $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का।
• अपरिमेय संख्याओं का स्थान, जो बेयर स्पेस (सेट थ्योरी) के लिए होमियोमॉर्फिक है | बायर स्पेस $\omega ^{\omega }$ सेट सिद्धांत का।
• हर पोलिश स्थान।

BCT2 दर्शाता है कि निम्नलिखित बायर स्थान हैं:

• हर कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस; उदाहरण के लिए, कैंटर सेट (या कैंटर स्पेस)।
• हर कई गुना, भले ही वह परा-सुसंहत न हो (इसलिए metrizable नहीं), लंबी लाइन (टोपोलॉजी) की तरह।

हालांकि यह ध्यान रखना चाहिए कि बहुत सारे रिक्त स्थान हैं जो बायर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट किए बिना बायर रिक्त स्थान हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।

गुण

• प्रत्येक गैर-खाली बायर स्थान गैर-अंश है। घने खुले सेटों के गणनीय चौराहों के संदर्भ में, बेयर स्पेस होना ऐसे चौराहों के घने होने के बराबर है, जबकि एक गैर-महत्वपूर्ण स्थान कमजोर स्थिति के बराबर है कि ऐसे चौराहे गैर-खाली हैं।
• एक बायर स्थान का प्रत्येक खुला उपस्थान एक बेयर स्थान है।
• प्रत्येक सघन जी-डेल्टा सेट | जी_δ बेयर स्पेस में सेट एक बेयर स्पेस है। परिणाम को धारण करने की आवश्यकता नहीं है यदि G_δ सेट घना नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें।
• बेयर स्पेस में सेट किया गया हर कॉमग्रे एक बेयर स्पेस है।
• बेयर स्पेस का एक उपसमुच्चय कमग्रे होता है यदि और केवल यदि इसमें सघन G होता है_δ तय करना।
• बेयर स्पेस की एक बंद उप-स्पेस को बेयर नहीं होना चाहिए। उदाहरण अनुभाग देखें।
• यदि किसी स्थान में एक सघन उपस्थान है जो बायर है, तो यह भी एक बेयर स्थान है।
• एक स्थान जो स्थानीय रूप से बायर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जो एक बायर स्थान है, एक बायर स्थान है।
• बायर रिक्त स्थान का प्रत्येक सांस्थितिक योग बायर है।
• दो बायर रिक्त स्थान का उत्पाद अनिवार्य रूप से बेयर नहीं है।
• पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान का एक मनमाना उत्पाद बायर है।
• प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट शांत स्थान एक बायर स्पेस है।
• प्रत्येक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस एक बायर स्पेस है (क्योंकि एक परिमित स्थान में केवल बहुत से खुले सेट होते हैं और दो खुले घने सेटों का प्रतिच्छेदन एक खुला घना सेट होता है).
• एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस एक बायर स्पेस है अगर और केवल अगर यह नॉनमेग्रे है, जो तब होता है जब और केवल अगर प्रत्येक बंद संतुलित अवशोषक उपसमुच्चय में गैर-खाली इंटीरियर होता है।

सतत मानचित्र (टोपोलॉजी) कार्यों के अनुक्रम को देखते हुए $f_{n}:X\to Y$ बिंदुवार सीमा के साथ $f:X\to Y.$ अगर $X$ एक बायर स्थान है तो बिंदु कहाँ हैं $f$ निरंतर नहीं है a meagre set में $X$ और बिंदुओं का सेट जहां $f$ निरंतर है में घना है $X.$ इसका एक विशेष मामला एकरूपता का सिद्धांत है।

उदाहरण

• खाली जगह एक बायर जगह है। यह एकमात्र स्थान है जो बायर और अल्प दोनों है।
• अंतरिक्ष $\mathbb {R}$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का एक बायर स्थान है।
• अंतरिक्ष $\mathbb {Q}$ तर्कसंगत संख्याओं की (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$) बायर स्थान नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
• अपरिमेय संख्याओं का स्थान (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$) एक बायर स्पेस है, क्योंकि यह अंदर आता है $\mathbb {R} .$
• अंतरिक्ष $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$) नॉनमेग्रे है, लेकिन बायर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बायर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि सबसेट $[0,1]$ कमग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-खाली सबसेट $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ खुला और अल्प है।
• इसी तरह, अंतरिक्ष $X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ बायर नहीं है। यह तब से अल्प है $1$ एक पृथक बिंदु है।

निम्नलिखित बायर रिक्त स्थान के उदाहरण हैं जिनके लिए बायर श्रेणी प्रमेय लागू नहीं होता है, क्योंकि ये स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं हैं:

• सोरगेनफ्रे लाइन।
• सोरगेनफ्रे विमान।
• नीमित्ज़की विमान।* का उपक्षेत्र $\mathbb {R} ^{2}$ पर परिमेय के साथ खुले ऊपरी आधे विमान से मिलकर x-अक्ष, अर्थात्, $X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),$ बेयर स्पेस है, क्योंकि खुला ऊपरी आधा तल अंदर घना है $X$ और पूरी तरह से मेट्रिजेबल, इसलिए बेयर। अंतरिक्ष $X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं है। सेट $\mathbb {Q} \times \{0\}$ में बंद है $X$, लेकिन बेयर स्पेस नहीं है। चूंकि एक मीट्रिक स्थान में बंद सेट जी-डेल्टा सेट हैं। जी_δ सेट, इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य तौर पर जी_δ बेयर स्पेस में सेट को बेयर नहीं होना चाहिए।

जरिस्की टोपोलॉजी के साथ बीजीय किस्में बायर स्पेस हैं। एक उदाहरण एफ़िन स्पेस है $\mathbb {A} ^{n}$ सेट से मिलकर $\mathbb {C} ^{n}$ का n-संरचना के साथ-साथ जटिल संख्याओं के समूह जिनके बंद सेट बहुपदों के गायब होने वाले सेट हैं $f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].$

यह भी देखें

• Banach–Mazur game
• Barrelled space
• Blumberg theorem – Any real function on R admits a continuous restriction on a dense subset of R
• Property of Baire
• Webbed space

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0521803380.
• Haworth, R. C.; McCoy, R. A. (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
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• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

बाहरी संबंध

• Encyclopaedia of Mathematics article on Baire space
• Encyclopaedia of Mathematics article on Baire theorem