एहरहार्ट बहुपद

गणित में, एक अभिन्न पॉलीटॉप से संबंधित एहरहार्ट बहुपद होता है जो एक पॉलीटोप की मात्रा और पॉलीटोप में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या के बीच संबंध को कूटबद्ध करता है। एहरहार्ट बहुपदों के सिद्धांत को यूक्लिडियन प्लेन में पिक के प्रमेय के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

इन बहुपदों का नाम यूजीन एहरहार्ट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1960 के दशक में उनका अध्ययन किया था।

परिभाषा

अनौपचारिक रूप से, यदि P एक पॉलीटोप है, और tP प्रत्येक आयाम में t के एक गुणनखंड द्वारा P का विस्तार करके गठित पॉलीटोप है फिर L(P, t) tP में पूर्णांक जाली बिंदुओं की संख्या है।

अधिक औपचारिक रूप से, यूक्लिडियन इस्पेस $\mathbb {R} ^{n}$ और जली ${\mathcal {L}}$ और एक d-आयामी पॉलीटॉप $P$ में $\mathbb {R} ^{n}$ पर विचार करें, इस विशेषता के साथ कि पॉलीटॉप के सभी शीर्ष जाली के बिंदु हैं। (एक सामान्य उदाहरण ${\mathcal {L}}=\mathbb {Z} ^{n}$ हैं और एक पॉलीटॉप जिसके लिए सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक होते हैं।) मान लेते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक t के लिए tP, P का t-गुना फैलाव हैं (जाली के आधार पर, प्रत्येक शीर्ष समन्वय को गुणा करके गठित पॉलीटॉप, t के गुणनखंड द्वारा), और

$L(P,t)=\#\left(tP\cap {\mathcal {L}}\right)$

पॉलीटॉप tP में निहित जाली बिंदुओं की संख्या को मान ले। एहरहार्ट ने 1962 में दिखाया कि L, t में डिग्री d का एक परिमेय बहुपद है, यानी वहाँ परिमेय संख्याएँ उपस्थित हैं $L_{0}(P),\dots ,L_{d}(P)$ ऐसा है कि:

$L(P,t)=L_{d}(P)t^{d}+L_{d-1}(P)t^{d-1}+\cdots +L_{0}(P)$

सभी सकारात्मक पूर्णांक t के लिए

एक बंद उत्तल पॉलीटोप P के इंटीरियर के एहरहार्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{d}L(P,-t),$

जहाँ d, P का आयाम है इस परिणाम को एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

यह दूसरा फैलाव है, $t=2$, एक इकाई वर्ग का। इसके नौ पूर्णांक बिंदु हैं।

मान लेते है कि P एक d-आयामी इकाई घन अतिविम हैं, जिसके शीर्ष पूर्णांक जाली बिंदु हैं और जिनके सभी निर्देशांक 0 या 1 हैं। असमानताओं के संदर्भ में,

$P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:0\leq x_{i}\leq 1;1\leq i\leq d\right\}.$

फिर $P$ का t-गुना फैलाव एक घन है जिसकी भुजा की लंबाई t है, जिसमें (t + 1)^d पूर्णांक बिंदु हैं। अर्थात्, अतिविम का एहरहार्ट बहुपद L(P,t) = (t + 1)^d हैं।. इसके अतिरिक्त, यदि हम ऋणात्मक पूर्णांकों पर L(P, t) का मूल्यांकन करते हैं तब

$L(P,-t)=(-1)^{d}(t-1)^{d}=(-1)^{d}L(\operatorname {int} (P),t),$

जैसा कि हमें एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता से अपेक्षा करते हैं।

कई अन्य आलंकारिक संख्याओं को एहरहार्ट बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्ग पिरामिड संख्याएँ वर्ग पिरामिड के एहरहार्ट बहुपदों द्वारा दी जाती हैं, जिसका आधार एक पूर्णांक इकाई वर्ग होता है और जिसकी ऊँचाई एक होती है; इस स्थिति में एहरहार्ट बहुपद 1/6(t + 1)(t + 2)(2t + 3) है।

एहरहार्ट अर्ध-बहुपद

मान लीजिए कि P एक परिमेय पॉलीटॉप है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए

$P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:Ax\leq b\right\},$

जहाँ $A\in \mathbb {Q} ^{k\times d}$ और $b\in \mathbb {Q} ^{k}.$ (समान रूप से P, $\mathbb {Q} ^{d}$ में बहुत से बिंदुओं का अवमुख समावरक है) फिर परिभाषित करें

$L(P,t)=\#\left(\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:Ax\leq tb\right\}\right).$

इस स्थिति में, L(P, t) t में एक अर्ध-बहुपद है। जिस तरह अभिन्न पॉलीटोप्स के साथ, एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता होती है, उसी तरह,

$L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{n}L(P,-t).$

एहरहार्ट अर्ध-बहुपदों के उदाहरण

मान लीजिए P एक बहुभुज है जिसके शीर्ष (0,0), (0,2), (1,1) और (3/2, 0) हैं। tP में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या को अर्ध-बहुपद द्वारा गिना जाएगा

$L(P,t)={\frac {7t^{2}}{4}}+{\frac {5t}{2}}+{\frac {7+(-1)^{t}}{8}}.$

गुणांकों की व्याख्या

अगर P बंद सेट है (अर्थात सीमा के छोर P से संबंधित है), L(P, t) के कुछ गुणांको की एक आसान व्याख्या है:

• अग्रणी गुणांक, $L_{d}(P)$, P के d-आयामी आयतन के बराबर है, उसे d(L) से भाग करे।

• दूसरा गुणांक, $L_{d-1}(P)$, की गणना इस प्रकार की जा सकती है: जाली L, $P$ के किसी भी छोर $F$ पर एक जाली को प्रेरित करता है, $F$ का {{{1}}}(d − 1) विमीय आयतन ले, 2d(L_F) से भाग करें और उन संख्याओं को $P$ के सभी छोरों के लिए जोड़ें;

• स्थिर गुणांक a₀ की यूलर विशेषता P है। जब P एक बंद उत्तल पॉलीटॉप है, तब $L_{0}(P)=1$.

बेटके-नेसर प्रमेय

उलरिच बेटके और मार्टिन केनेसर ने एहरहार्ट गुणांकों के निम्नलिखित विशेषताओं की स्थापना की। एक अभिन्न पॉलीटोप्स पर परिभाषित कार्यात्मक $Z$ एक $\operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )$ है और अनुवाद अपरिवर्तनीय मूल्यांकन (माप सिद्धांत) यदि और केवल वास्तविक संख्याएं $c_{0},\ldots ,c_{n}$ है, जैसे कि

$Z=c_{0}L_{0}+\cdots +c_{n}L_{n}.$

एहरहार्ट श्रृंखला

हम एक अभिन्न d-आयामी पॉलीटॉप P के एहरहार्ट बहुपद के लिए एक जनक फलन को परिभाषित कर सकते हैं

$\operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}.$

इस श्रृंखला को एक परिमेय फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, एहरहार्ट ने सिद्ध किया (1962) कि जटिल संख्याएँ उपस्थित हैं $h_{j}^{*}$, $0\leq j\leq d$, जैसे कि P की एहरहार्ट श्रृंखला है

$\operatorname {Ehr} _{P}(z)={\frac {\sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{(1-z)^{d+1}}},\qquad \sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)\neq 0.$

इसके अतिरिक्त, रिचर्ड पी. स्टेनली का गैर-नकारात्मकता प्रमेय बताता है कि दी गई परिकल्पनाओं के निम्न, $h_{j}^{*}$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णां$0\leq j\leq d$ होंगे

स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर P, Q में निहित एक जाली पॉलीटॉप है तब $h_{j}^{*}(P)\leq h_{j}^{*}(Q)$ सभी j के लिए $h^{*}$ सदिश सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और पॉलीटोप में एक नियमित एकमापांकि त्रिभुज होता है।

परिमेय पॉलीटोप्स के लिए एहरहार्ट श्रृंखला

जैसा कि पूर्णांक शीर्षो वाले पॉलीटोप्स के स्थिति में, एक परिमेय पॉलीटॉप के लिए एहरहार्ट श्रृंखला को परिभाषित करता है। एक d-आयामी परिमेय पॉलीटॉप P के लिए, जहाँ D सबसे छोटा पूर्णांक है, जैसे कि DP एक पूर्णांक पॉलीटॉप है (D को P का हर कहा जाता है), तो किसी के पास है

$\operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}={\frac {\sum _{j=0}^{D(d+1)}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{\left(1-z^{D}\right)^{d+1}}},$

जहां $h_{j}^{*}$ अभी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

गैर-अग्रणी गुणांक सीमा

बहुपद के गैर-अग्रणी गुणांक $c_{0},\dots ,c_{d-1}$ प्रतिनिधित्व में

$L(P,t)=\sum _{r=0}^{d}c_{r}t^{r}$ ऊपरी सीमा हो सकती है:

$c_{r}\leq (-1)^{d-r}{\begin{bmatrix}d\\r\end{bmatrix}}c_{d}+{\frac {(-1)^{d-r-1}}{(d-1)!}}{\begin{bmatrix}d\\r+1\end{bmatrix}}$

कहाँ $\left[{\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right]$ पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या है। निचली सीमाएं भी उपस्थित हैं।

टोरिक किस्म

मामला $n=d=2$ और $t=1$ इन कथनों से पिक की प्रमेय प्राप्त होती है। अन्य गुणांकों के लिए सूत्र प्राप्त करना बहुत कठिन है; इस उद्देश्य के लिए टॉरिक किस्म के टोड वर्ग, रीमैन-रोच प्रमेय और साथ ही फूरियर विश्लेषण का उपयोग किया गया है।

अगर X के सामान्य पंखे के अनुरूप टोरिक किस्म है P, तब P एक पर्याप्त लाइन बंडल को परिभाषित करता है X, और का एहरहार्ट बहुपद P इस लाइन बंडल के हिल्बर्ट बहुपद के साथ मेल खाता है।

एहरहार्ट बहुपदों का उनके स्वयं के लिए अध्ययन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई एहरहार्ट बहुपद की जड़ों से संबंधित प्रश्न पूछ सकता है। इसके अलावा, कुछ लेखकों ने इस सवाल का पीछा किया है कि इन बहुपदों को कैसे वर्गीकृत किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

एक पॉलीटोप में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या का अध्ययन करना संभव है P अगर हम इसके कुछ पहलुओं को फैलाते हैं P लेकिन अन्य नहीं। दूसरे शब्दों में, कोई अर्ध-पतला पॉलीटोप्स में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जानना चाहेगा। यह पता चला है कि इस तरह की गिनती का कार्य एक बहुभिन्नरूपी अर्ध-बहुपद कहलाता है। एहरहार्ट-प्रकार की पारस्परिकता प्रमेय भी इस तरह के एक गिनती समारोह के लिए मान्य होगी। पॉलीटोप्स के अर्ध-विस्तारण में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या की गणना के अनुप्रयोग हैं नियमित बहुभुजों के विभिन्न विच्छेदन की संख्या और गैर-आइसोमॉर्फिक अप्रतिबंधित कोड की संख्या की गणना करने में, कोडिंग सिद्धांत के क्षेत्र में एक विशेष प्रकार का कोड।

यह भी देखें

• अर्ध-बहुपद
• स्टेनली की पारस्परिकता प्रमेय

संदर्भ

• Beck, Matthias; De Loera, Jesús A.; Develin, Mike; Pfeifle, Julian; Stanley, Richard P. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", Integer Points in Polyhedra—Geometry, Number Theory, Algebra, Optimization, Contemporary Mathematics, vol. 374, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 15–36, MR 2134759.
• Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992.
• De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010), "Ehrhart polynomials and unimodular triangulations", Triangulations: Structures for Algorithms and Applications, Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 25, Springer, p. 475, ISBN 978-3-642-12970-4.
• Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1996), "The Ehrhart polynomial of a lattice n-simplex", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 2: 1–6, doi:10.1090/S1079-6762-96-00001-7, MR 1405963. Introduces the Fourier analysis approach and gives references to other related articles.
• Ehrhart, Eugène (1962), "Sur les polyèdres rationnels homothétiques à n dimensions", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 254: 616–618, MR 0130860. Definition and first properties.
• Mathar, Richard J. (2010), Point counts of $D_{k}$ and some $A_{k}$ and $E_{k}$ integer lattices inside hypercubes, arXiv:1002.3844, Bibcode:2010arXiv1002.3844M
• Mustață, Mircea (February 2005), "Ehrhart polynomials", Lecture notes on toric varieties.