यादृच्छिक क्षेत्र

भौतिकी और गणित में, एक यादृच्छिक क्षेत्र एक मनमाना डोमेन (आमतौर पर एक बहु-आयामी स्थान जैसे $\mathbb {R} ^{n}$). यानी यह एक फंक्शन है $f(x)$ यह प्रत्येक बिंदु पर एक यादृच्छिक मान लेता है $x\in \mathbb {R} ^{n}$(या कोई अन्य डोमेन)। इसे कभी-कभी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के पर्याय के रूप में भी माना जाता है, जिसमें इसके सूचकांक सेट पर कुछ प्रतिबंध होते हैं। यही है, आधुनिक परिभाषाओं के अनुसार, एक यादृच्छिक क्षेत्र एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है जहां अंतर्निहित पैरामीटर को अब वास्तविक समन्वय स्थान या पूर्णांक मूल्यवान समय नहीं होना चाहिए बल्कि इसके बजाय ऐसे मान ले सकते हैं जो बहुआयामी सदिश स्थल या कुछ कई गुना पर बिंदु हैं।

औपचारिक परिभाषा

एक संभाव्यता स्थान दिया गया $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, एक एक्स-वैल्यू रैंडम फील्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस टी में तत्वों द्वारा अनुक्रमित एक्स-वैल्यू अनियमित परिवर्तनशील वस्तु ्स का एक संग्रह है। यानी एक रैंडम फील्ड एफ एक संग्रह है

$\{F_{t}:t\in T\}$

जहां प्रत्येक $F_{t}$ एक एक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर है।

उदाहरण

इसके असतत संस्करण में, एक यादृच्छिक क्षेत्र यादृच्छिक संख्याओं की एक सूची है, जिनके सूचकांकों को अंतरिक्ष में बिंदुओं के असतत सेट के साथ पहचाना जाता है (उदाहरण के लिए, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष)। मान लीजिए कि चार यादृच्छिक चर हैं, $X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, और $X_{4}$, क्रमशः (0,0), (0,2), (2,2), और (2,0) पर 2D ग्रिड में स्थित है। मान लीजिए कि प्रत्येक यादृच्छिक चर -1 या 1 के मान पर ले सकता है, और प्रत्येक यादृच्छिक चर के मान की संभावना उसके तत्काल आसन्न पड़ोसियों पर निर्भर करती है। यह असतत यादृच्छिक क्षेत्र का एक सरल उदाहरण है।

अधिक सामान्यतः, मान प्रत्येक $X_{i}$ एक सतत डोमेन पर परिभाषित किया जा सकता है। बड़े ग्रिड में, यह यादृच्छिक क्षेत्र के बारे में सोचने के लिए भी उपयोगी हो सकता है जैसा कि ऊपर वर्णित यादृच्छिक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में होता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में धारणा को एक यादृच्छिक कार्यात्मक (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जो एक फंक्शन स्पेस पर यादृच्छिक मान लेता है (फेनमैन अभिन्न देखें)।

कई प्रकार के यादृच्छिक क्षेत्र मौजूद हैं, उनमें मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र (एमआरएफ), गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र, सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र (सीआरएफ) और गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र शामिल हैं। 1974 में, जूलियन बेसाग ने MRFs और गिब्स RFs के बीच के संबंध पर निर्भर एक सन्निकटन पद्धति का प्रस्ताव रखा।

उदाहरण गुण

एक एमआरएफ मार्कोव संपत्ति प्रदर्शित करता है

$P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,$

मूल्यों के प्रत्येक विकल्प के लिए $(x_{j})_{j}$. और प्रत्येक $\partial _{i}$ के पड़ोसियों का समुच्चय है $i$. दूसरे शब्दों में, संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक मान ग्रहण करता है, इसके तत्काल पड़ोसी यादृच्छिक चर पर निर्भर करता है। एक MRF में एक यादृच्छिक चर की प्रायिकता किसके द्वारा दी जाती है

$P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},$

जहां योग (एक अभिन्न हो सकता है) k के संभावित मूल्यों से अधिक है। इस मात्रा की सटीक गणना करना कभी-कभी कठिन होता है।

अनुप्रयोग

जब प्राकृतिक विज्ञान में उपयोग किया जाता है, यादृच्छिक क्षेत्र में मूल्य अक्सर स्थानिक रूप से सहसंबद्ध होते हैं। उदाहरण के लिए, सन्निकट मान (अर्थात् सन्निकट सूचकांकों वाले मान) उतने भिन्न नहीं होते हैं जितने कि वे मान होते हैं जो आगे दूर होते हैं। यह एक सहप्रसरण संरचना का एक उदाहरण है, जिसके कई अलग-अलग प्रकार एक यादृच्छिक क्षेत्र में प्रतिरूपित किए जा सकते हैं। एक उदाहरण ईज़िंग मॉडल है जहां कभी-कभी निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन को केवल मॉडल को बेहतर ढंग से समझने के लिए सरलीकरण के रूप में शामिल किया जाता है।

यादृच्छिक क्षेत्रों का एक सामान्य उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स की पीढ़ी में है, विशेष रूप से वे जो प्राकृतिक सतहों जैसे द्रव सिमुलेशन और डिजिटल इलाके मॉडल की नकल करते हैं। उपसतह ग्राउंड मॉडल में यादृच्छिक क्षेत्रों का भी उपयोग किया गया है तंत्रिका विज्ञान में, विशेष रूप से कार्यात्मक न्यूरोइमेजिंग | पोजीट्रान एमिशन टोमोग्राफी या फंक्शनल मैग्नेटिक रेजोनेंस इमेजिंग का उपयोग करके कार्य संबंधी कार्यात्मक मस्तिष्क इमेजिंग अध्ययन में, यादृच्छिक क्षेत्रों का सांख्यिकीय विश्लेषण वास्तव में महत्वपूर्ण सक्रियता वाले क्षेत्रों को खोजने के लिए कई तुलनाओं की समस्या का एक सामान्य विकल्प है। उनका उपयोग यंत्र अधिगम अनुप्रयोगों में भी किया जाता है (ग्राफिकल मॉडल देखें)।

टेंसर-मूल्यवान यादृच्छिक क्षेत्र

यादृच्छिक क्षेत्र मोंटे कार्लो विधि द्वारा प्राकृतिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने में बहुत उपयोगी होते हैं जिसमें यादृच्छिक क्षेत्र स्वाभाविक रूप से स्थानिक रूप से भिन्न गुणों के अनुरूप होते हैं। यह टेन्सर-मूल्यवान यादृच्छिक क्षेत्रों की ओर जाता है जिसमें एक सांख्यिकीय आयतन तत्व (एसवीई) द्वारा महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है; जब SVE पर्याप्त रूप से बड़ा हो जाता है, तो इसके गुण नियतात्मक हो जाते हैं और नियतात्मक सातत्य भौतिकी के प्रतिनिधि आयतन तत्व (RVE) को पुनः प्राप्त कर लेते हैं। दूसरे प्रकार के यादृच्छिक क्षेत्र जो निरंतर सिद्धांतों में दिखाई देते हैं, वे निर्भर मात्रा (तापमान, विस्थापन, वेग, विरूपण, रोटेशन, शरीर और सतह बल, तनाव, आदि) के होते हैं।

यह भी देखें

• सहप्रसरण
• युद्ध
• वैरोग्राम
• फिर से बेचना
• अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
• परस्पर क्रिया कण प्रणाली
• स्टोकेस्टिक सेलुलर ऑटोमेटा

अग्रिम पठन

• Adler, R. J. & Taylor, Jonathan (2007). Random Fields and Geometry. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, J. E. (1974). "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems". Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 36 (2): 192–236. doi:10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Griffeath, David (1976). "Random Fields". In Kemeny, John G.; Snell, Laurie; Knapp, Anthony W. (eds.). Denumerable Markov Chains (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
• Davar Khoshnevisan (2002). Multiparameter Processes : An Introduction to Random Fields. Springer. ISBN 0-387-95459-7.