क्रिस्टल गति

साइनसोइडल दोलनों की एक अनंत संख्या है जो असतत दोलित्रों के एक सेट को पूरी तरह से फिट करते हैं, जिससे स्पष्ट रूप से k-वेक्टर को परिभाषित करना असंभव हो जाता है। यह जाली में तरंगों की स्थानिक Nyquist आवृत्ति के लिए इंटर-ऑसिलेटर दूरी का संबंध है। यह सभी देखें Aliasing § Sampling sinusoidal functions k-वैक्टर की समानता के बारे में अधिक जानकारी के लिए।

ठोस-अवस्था भौतिकी में क्रिस्टल संवेग या क्वासिमोमेंटम, क्वांटम यांत्रिकी में एक संवेग#संवेग है- जैसे क्रिस्टल संरचना में इलेक्ट्रॉनों से जुड़ा वेक्टर (ज्यामितीय)। इसे संबंधित पारस्परिक जाली द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {k}$ इस जाली के अनुसार

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }$

(कहाँ $\hbar$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है)। बार-बार, क्रिस्टल संवेग संवेग#संरक्षण यांत्रिक संवेग की तरह है, जो इसे भौतिकविदों और सामग्री वैज्ञानिकों के लिए एक विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में उपयोगी बनाता है।

जाली समरूपता उत्पत्ति

क्रिस्टल संरचना और व्यवहार के मॉडलिंग का एक सामान्य तरीका इलेक्ट्रॉनों को एक निश्चित अनंत आवधिक क्षमता के माध्यम से यात्रा करने वाले क्वांटम यांत्रिकी कणों के रूप में देखना है $V(x)$ ऐसा है कि

$V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),$

कहाँ $\mathbf {a}$ एक मनमाना ब्राविस जाली है। ऐसा मॉडल समझदार है क्योंकि क्रिस्टल आयन जो जाली संरचना का निर्माण करते हैं, आमतौर पर इलेक्ट्रॉनों की तुलना में दसियों हज़ार गुना अधिक बड़े पैमाने पर होते हैं, एक निश्चित संभावित संरचना के साथ उन्हें बदलने के लिए इसे सुरक्षित बनाना, और एक क्रिस्टल के मैक्रोस्कोपिक आयाम आमतौर पर एकल जाली रिक्ति से कहीं अधिक होते हैं, जिससे किनारे के प्रभाव नगण्य हो जाते हैं। इस संभावित ऊर्जा समारोह का एक परिणाम यह है कि किसी भी जाली वेक्टर द्वारा इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक स्थिति को स्थानांतरित करना संभव है $\mathbf {a}$ समस्या के किसी भी पहलू को बदले बिना, इस प्रकार भौतिकी में एक समरूपता को परिभाषित करना # असतत समरूपता। तकनीकी रूप से, एक अनंत आवधिक क्षमता का अर्थ है कि जाली अनुवाद संचालिका $T(a)$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ कम्यूटेटर, एक सरल गतिज-प्लस-संभावित रूप ग्रहण करते हुए।

ये स्थितियाँ बलोच के प्रमेय को दर्शाती हैं, जो बताता है

$\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$,

या कि एक जाली में एक इलेक्ट्रॉन, जिसे एकल कण तरंग समारोह के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है $\psi (\mathbf {x} )$, एक आवधिक समारोह से गुणा विमान तरंग के रूप में अपने स्थिर राज्य समाधान पाता है $u(\mathbf {x} )$. प्रमेय उपरोक्त तथ्य के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में उत्पन्न होता है कि जाली समरूपता अनुवाद ऑपरेटर सिस्टम के हैमिल्टनियन के साथ काम करता है। बलोच के प्रमेय के उल्लेखनीय पहलुओं में से एक यह है कि यह सीधे दिखाता है कि स्थिर अवस्था समाधानों को तरंग सदिश के साथ पहचाना जा सकता है $\mathbf {k}$, जिसका अर्थ है कि यह क्वांटम संख्या गति की एक स्थिर बनी हुई है। क्रिस्टल गति को तब पारंपरिक रूप से इस तरंग वेक्टर को प्लैंक के स्थिरांक से गुणा करके परिभाषित किया जाता है:

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }.$

हालांकि यह वास्तव में परिभाषा के समान है जो नियमित गति के लिए दे सकता है (उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में एक कण के प्रभाव से अनुवाद ऑपरेटर के प्रभावों का इलाज करके)), महत्वपूर्ण सैद्धांतिक अंतर हैं। उदाहरण के लिए, जबकि नियमित संवेग पूरी तरह से संरक्षित है, क्रिस्टल संवेग केवल संरक्षित मॉडुलो (शब्दजाल) एक जाली सदिश है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन को न केवल तरंग सदिश द्वारा वर्णित किया जा सकता है $\mathbf {k}$, लेकिन किसी अन्य तरंग वेक्टर के साथ भी $\mathbf {k'}$ऐसा है कि

$\mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,$

कहाँ $\mathbf {K}$ एक मनमाना पारस्परिक जाली वेक्टर है। यह इस तथ्य का परिणाम है कि जाली समरूपता निरंतर के विपरीत असतत है, और इस प्रकार इसके संबंधित संरक्षण कानून को नोएदर के प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

भौतिक महत्व

बलोच राज्य का चरण मॉडुलन $\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$ गति के साथ एक मुक्त कण के समान है $\hbar k$, अर्थात। $k$ राज्य की आवधिकता देता है, जो जाली के समान नहीं है। यह मॉडुलन कण की गतिज ऊर्जा में योगदान देता है (जबकि मॉड्यूलेशन मुक्त कण की गतिज ऊर्जा के लिए पूरी तरह से जिम्मेदार होता है)।

उन क्षेत्रों में जहां बैंड लगभग परवलयिक है, क्रिस्टल संवेग संवेग के साथ मुक्त कण के संवेग के बराबर होता है $\hbar k$ यदि हम कण को ​​एक प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) प्रदान करते हैं जो कि परवलय की वक्रता से संबंधित है।

वेग से संबंध

फैलाव संबंध वाला एक तरंग पैकेट, जिसके कारण समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते हैं। यह छवि एक 1-आयामी वास्तविक संख्या तरंग है, लेकिन इलेक्ट्रॉन तरंग पैकेट 3-आयामी जटिल संख्या तरंगें हैं।

क्रिस्टल गति के अनुसार वेग की शारीरिक रूप से मापने योग्य अवधारणा से मेल खाती है

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }).$

यह समूह वेग के समान सूत्र है। अधिक विशेष रूप से, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के कारण, एक क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन में क्रिस्टल में बिल्कुल परिभाषित k और सटीक स्थिति फोनन नहीं हो सकते हैं। हालाँकि, यह संवेग k (थोड़ी अनिश्चितता के साथ) पर केंद्रित एक तरंग पैकेट बना सकता है, और एक निश्चित स्थिति (थोड़ी अनिश्चितता के साथ) पर केंद्रित होता है। इस तरंग पैकेट की केंद्र स्थिति बदल जाती है क्योंकि लहर फैलती है, ऊपर दिए गए सूत्र द्वारा दिए गए वेग v पर क्रिस्टल के माध्यम से चलती है। एक वास्तविक क्रिस्टल में, एक इलेक्ट्रॉन इस तरह से चलता है - एक निश्चित गति से एक निश्चित दिशा में यात्रा करता है - केवल थोड़े समय के लिए, क्रिस्टल में एक अपूर्णता से टकराने से पहले जो इसे एक अलग, यादृच्छिक दिशा में स्थानांतरित करने का कारण बनता है। ये टकराव, जिन्हें इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन कहा जाता है, आमतौर पर क्रिस्टलोग्राफिक दोषों, क्रिस्टल की सतह और क्रिस्टल (फोनोन्स) में परमाणुओं के यादृच्छिक थर्मल कंपन के कारण होते हैं।

बिजली और चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया

क्रिस्टल गति भी इलेक्ट्रॉन गतिकी के अर्ध-शास्त्रीय मॉडल में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जहां यह त्वरण प्रमेय से अनुसरण करती है कि यह गति के समीकरणों का पालन करता है (सीजीएस इकाइयों में):

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }),$

${\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)$

यहाँ शायद क्रिस्टल संवेग और वास्तविक संवेग के बीच सादृश्य अपने सबसे शक्तिशाली पर है, क्योंकि ये ठीक ऐसे समीकरण हैं जो किसी क्रिस्टल संरचना की अनुपस्थिति में एक मुक्त अंतरिक्ष इलेक्ट्रॉन का पालन करते हैं। क्रिस्टल संवेग भी इस प्रकार की गणनाओं में चमकने का अवसर अर्जित करता है, क्योंकि उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करके एक इलेक्ट्रॉन की गति के प्रक्षेपवक्र की गणना करने के लिए, किसी को केवल बाहरी क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता होती है, जबकि गति के समीकरणों के एक सेट से गणना का प्रयास करते समय वास्तविक संवेग के लिए बाहरी क्षेत्र के अलावा हर एक जाली आयन के अलग-अलग कूलम्ब और लोरेंत्ज़ बलों को ध्यान में रखना होगा।

अनुप्रयोग

कोण-समाधान फोटो-उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी (ARPES)

कोण-समाधान फोटो-उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी|कोण-समाधान फोटो-उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी (एआरपीईएस) में, क्रिस्टल नमूने पर प्रकाश को विकिरणित करने से क्रिस्टल से दूर एक इलेक्ट्रॉन की अस्वीकृति होती है। बातचीत के दौरान, किसी को क्रिस्टल और वास्तविक गति की दो अवधारणाओं को मिलाने की अनुमति दी जाती है और इस तरह क्रिस्टल की बैंड संरचना का प्रत्यक्ष ज्ञान प्राप्त होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, क्रिस्टल के अंदर एक इलेक्ट्रॉन का क्रिस्टल संवेग उसके जाने के बाद उसका वास्तविक संवेग बन जाता है, और वास्तविक संवेग बाद में समीकरण से अनुमानित किया जा सकता है।

${\mathbf {p_{\parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta$

कोण और गतिज ऊर्जा को मापने के द्वारा जिस पर इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल से बाहर निकलता है, जहां $m$ एक एकल इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। क्योंकि क्रिस्टल सतह के सामान्य दिशा में क्रिस्टल समरूपता क्रिस्टल सीमा पर खो जाती है, इस दिशा में क्रिस्टल गति संरक्षित नहीं होती है। नतीजतन, एकमात्र दिशा जिसमें उपयोगी ARPES डेटा को चमकाया जा सकता है, वे क्रिस्टल सतह के समानांतर दिशाएं हैं।