क्रिस्टल गति

साइनसोइडल दोलनों की एक अनंत संख्या है जो असतत दोलित्रों के समूह को पूर्ण रूप से फिट करते हैं, जिससे स्पष्ट रूप से k-सदिश को परिभाषित करना असंभव हो जाता है। यह जाली में तरंगों की स्थानिक नाइक्विस्ट आवृत्ति के लिए अंतर-दोलक दूरी का संबंध है। k-वैक्टर की समानता के बारे में अधिक जानने के लिए एलियासिंग § ज्यावक्रीय फलनों का प्रतिदर्श भी देखें।

ठोस-अवस्था भौतिकी में क्रिस्टल गति या क्वासिमोमेंटम एक गति जैसा सदिश(ज्यामितीय) है जो क्रिस्टल जाली में इलेक्ट्रॉनों से जुड़ा होता है। यह संबंधित पारस्परिक जाली $\mathbf {k}$ द्वारा परिभाषित किया गया है इस जाली के अनुसार

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }$

संबंधित पारस्परिक जाली $\mathbf {k}$ द्वारा परिभाषित किया गया है(जहाँ $\hbar$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है)। प्रायः,, क्रिस्टल गति को यांत्रिक गति के जैसे संरक्षित किया जाता है, जिससे यह भौतिकविदों और सामग्री वैज्ञानिकों के लिए विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में उपयोगी हो जाता है।

जाली समरूपता उत्पत्ति

क्रिस्टल संरचना और व्यवहार को मॉडलिंग करने की सामान्य विधि इलेक्ट्रॉनों को एक निश्चित अनंत आवधिक क्षमता $V(x)$ के माध्यम से भ्रमण करने वाले क्वांटम यांत्रिकी कणों के रूप में देखना है, जैसे कि

$V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),$

जहां $\mathbf {a}$ एक यादृच्छिक जाली सदिश है। ऐसा मॉडल प्रत्यक्ष है क्योंकि क्रिस्टल आयन जो जाली संरचना का निर्माण करते हैं, सामान्यतः इलेक्ट्रॉनों की तुलना में दसियों हज़ार गुना अधिक बड़े पैमाने पर होते हैं, एक निश्चित संभावित संरचना के साथ उन्हें बदलने के लिए इसे सुरक्षित बनाना, और क्रिस्टल के स्थूलदर्शित आयाम सामान्यतः एकल जाली रिक्ति से कहीं अधिक होते हैं, जिससे किनारे के प्रभाव नगण्य हो जाते हैं। इस संभावित ऊर्जा फलन का परिणाम यह है कि समस्या के किसी भी स्वरूप को बदले बिना किसी भी जाली सदिश $\mathbf {a}$ द्वारा इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक स्थिति को स्थानांतरित करना संभव है, जिससे असतत समरूपता परिभाषित होती है। तकनीकी रूप से, अनंत आवधिक क्षमता का अर्थ है कि जाली अनुवाद संचालिका $T(a)$ हैमिल्टनियन(क्वांटम यांत्रिकी) के साथ कम्यूटेटर, एक सरल गतिज-धनात्मक-संभावित रूप ग्रहण करता है।

ये स्थितियाँ बलोच का अर्थ है, जो

$\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$,

बताता है, या एक जाली में एक इलेक्ट्रॉन, जिसे एक कण तरंग फलन $\psi (\mathbf {x} )$, के रूप में तैयार किया जा सकता है, एक आवधिक फलन $u(\mathbf {x} )$ द्वारा गुणा समतल तरंग के रूप में अपने स्थिर स्थिति हल पाता है। प्रमेय उपरोक्त तथ्य के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में उत्पन्न होता है कि जाली समरूपता अनुवाद संचालक प्रणाली के हैमिल्टनियन के साथ काम करता है।

बलोच के प्रमेय के उल्लेखनीय स्वरूप में से एक यह है कि यह सीधे दिखाता है कि स्थिर अवस्था हलों को तरंग सदिश $\mathbf {k}$ के साथ पहचाना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह क्वांटम संख्या गति का एक स्थिर रहता है। क्रिस्टल गति को पारंपरिक रूप से इस तरंग सदिश को प्लैंक के स्थिरांक:

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }$

से गुणा करके परिभाषित किया जाता है।

यद्यपि यह वस्तुतः परिभाषा के समान है जो नियमित गति के लिए दे सकता है(उदाहरण के लिए, मुक्त समष्टि में एक कण के प्रभाव से अनुवाद संचालक के प्रभावों का उपचारण करके), महत्वपूर्ण सैद्धांतिक अंतर हैं। उदाहरण के लिए, जबकि नियमित गति पूर्ण रूप से संरक्षित है, क्रिस्टल गति मात्र संरक्षित मॉडुलो(शब्दजाल) एक जाली सदिश है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन को न मात्र तरंग सदिश $\mathbf {k}$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, परन्तु किसी अन्य तरंग सदिश $\mathbf {k'}$ के साथ भी वर्णित किया जा सकता है, जैसे कि

$\mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,$

जहां $\mathbf {K}$ एक यादृच्छिक पारस्परिक जाली सदिश है। यह इस तथ्य का परिणाम है कि जाली समरूपता निरंतर के विपरीत असतत है, और इस प्रकार इसके संबंधित संरक्षण नियम को नोएदर के प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

भौतिक महत्व

बलोच स्थिति $\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$ का चरण मॉडुलन गति $\hbar k$ के साथ एक मुक्त कण के समान है, अर्थात $k$ स्थिति की आवधिकता देता है, जो जाली के समान नहीं है। यह मॉडुलन कण की गतिज ऊर्जा में योगदान देता है(जबकि मॉड्यूलेशन मुक्त कण की गतिज ऊर्जा के लिए पूर्ण रूप से उत्तरदायी होता है)।

उन क्षेत्रों में जहां बैंड लगभग परवलयिक है, क्रिस्टल गति गति $\hbar k$ वाले मुक्त कण के गति के बराबर होता है यदि हम कण को परवलय की वक्रता से संबंधित ​​एक प्रभावी द्रव्यमान(ठोस-अवस्था भौतिकी) प्रदान करते हैं।

वेग से संबंध

विक्षेपण संबंध वाला एक तरंग पैकेट, जिसके कारण समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते हैं। यह प्रतिरूप एक 1-आयामी वास्तविक संख्या तरंग है, परन्तु इलेक्ट्रॉन तरंग पैकेट 3-आयामी जटिल संख्या तरंगें हैं।

क्रिस्टल गति भौतिक रूप से मापने योग्य वेग की अवधारणा से मेल खाता है

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} })$

के अनुसार।

यह समूह वेग के समान सूत्र है। अधिक विशेष रूप से, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के कारण, क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन में क्रिस्टल में पूर्णतः परिभाषित k और उपयुक्त स्थिति फोनन नहीं हो सकते हैं। यद्यपि, यह गति k(थोड़ी अनिश्चितता के साथ) पर केंद्रित एक तरंग पैकेट बना सकता है, और एक निश्चित स्थिति(थोड़ी अनिश्चितता के साथ) पर केंद्रित होता है। इस तरंग पैकेट की केंद्र स्थिति बदल जाती है क्योंकि तरंग फैलती है, ऊपर दिए गए सूत्र द्वारा दिए गए वेग v पर क्रिस्टल के माध्यम से चलती है। एक वास्तविक क्रिस्टल में, एक इलेक्ट्रॉन इस प्रकार से चलता है - एक निश्चित गति से एक निश्चित दिशा में भ्रमण करता है - मात्र थोड़े समय के लिए, क्रिस्टल में एक अपूर्णता से टकराने से पूर्व जो इसे एक अलग, यादृच्छिक दिशा में स्थानांतरित करने का कारण बनता है। ये टकराव, जिन्हें इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन कहा जाता है, सामान्यतः क्रिस्टलोग्राफिक दोषों, क्रिस्टल की सतह और क्रिस्टल(फोनोन्स) में परमाणुओं के यादृच्छिक थर्मल कंपन के कारण होते हैं।

विद्युत् और चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया

क्रिस्टल गति भी इलेक्ट्रॉन गतिकी के अर्ध-शास्त्रीय मॉडल में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जहां यह त्वरण प्रमेय से अनुसरण करती है कि यह गति के समीकरणों का पालन करता है(सीजीएस इकाइयों में):

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }),$

${\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)$

यहाँ संभवतः क्रिस्टल गति और वास्तविक गति के बीच सादृश्य अपने सबसे शक्तिशाली पर है, क्योंकि ये ठीक ऐसे समीकरण हैं जो किसी क्रिस्टल संरचना की अनुपस्थिति में एक मुक्त समष्टि इलेक्ट्रॉन का पालन करते हैं। क्रिस्टल गति भी इस प्रकार की गणनाओं में चमकने का अवसर अर्जित करता है, क्योंकि उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करके एक इलेक्ट्रॉन की गति के प्रक्षेपवक्र की गणना करने के लिए, किसी को मात्र बाह्य क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता होती है, जबकि गति के समीकरणों के समूह से गणना का प्रयास करते समय वास्तविक गति के लिए बाह्य क्षेत्र के अतिरिक्त प्रत्येक एक जाली आयन के अलग-अलग कूलम्ब और लोरेंत्ज़ बलों को ध्यान में रखना होगा।

अनुप्रयोग

कोण-हल फोटो-उत्सर्जन स्पेक्ट्रमदर्शी(आरपीईएस)

कोण-हल फोटो-उत्सर्जन स्पेक्ट्रमदर्शी(एआरपीईएस) में, क्रिस्टल प्रतिदर्श पर प्रकाश को विकिरणित करने से क्रिस्टल से दूर एक इलेक्ट्रॉन की अस्वीकृति होती है। परस्पर क्रिया के समय, किसी को क्रिस्टल और वास्तविक गति की दो अवधारणाओं को मिलाने की अनुमति दी जाती है और इस प्रकार क्रिस्टल की बैंड संरचना का प्रत्यक्ष ज्ञान प्राप्त होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, क्रिस्टल के भीतर एक इलेक्ट्रॉन के क्रिस्टल गति उसके जाने के बाद उसकी वास्तविक गति बन जाती है, और वास्तविक गति बाद में समीकरण

${\mathbf {p_{\parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta$

से उस कोण और गतिज ऊर्जा को मापकर अनुमानित किया जा सकता है जिस पर इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल से बाहर निकलता है, जहां $m$ एक एकल इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। क्योंकि क्रिस्टल सतह के सामान्य दिशा में क्रिस्टल समरूपता क्रिस्टल सीमा पर खो जाती है, इस दिशा में क्रिस्टल गति संरक्षित नहीं होती है। फलस्वरूप, एकमात्र दिशा जिसमें उपयोगी आरपीईएस डेटा को चमकाया जा सकता है, वे क्रिस्टल सतह के समानांतर दिशाएं हैं।