समाकलन का क्रम (गणना)

गणना में, एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान एक ऐसी पद्धति है जो फलनों के पुनरावृत्त अभिन्न या फ़ुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई अभिन्नों को दूसरे में परिवर्तित कर देती है। कुछ स्तिथियों में, एकीकरण के क्रम को वैध रूप से परिवर्तित किया जा सकता है; तथा कुछ स्तिथियों मे इसे परिवर्तित नहीं किया जा सकता।

समस्या कथन

परीक्षा के लिए समस्या रूप के अभिन्न अंगो का मूल्यांकन

$\iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,$ है।

जहाँ D, xy-तल में कोई द्विविमीय क्षेत्र है। कुछ फलनों के लिए सीधा एकीकरण संभव है, परंतु जहां यह संभव नहीं है, एकीकरण के क्रम को परिवर्तित कर अभिन्न को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस अंतर्विनिमय के साथ कठिनाई क्षेत्र डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण कर रही है।

यह विधि अन्य एकाधिक समाकलों पर भी लागू होती है।

कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या संभवतः एक संख्यात्मक एकीकरण की आवश्यकता हो, किसी द्वि-अभिन्न को एक एकीकरण में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल एकीकरण में कमी एक संख्यात्मक एकीकरण को अत्यधिक सरल और अधिक कुशल बनाती है।

भागों द्वारा एकीकरण से संबंध

चित्र 1: पहले चरण के रूप में ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके त्रिकोणीय क्षेत्र पर एकीकरण किया जा सकता है। यह एक ऊपरी दृश्य है, जो xy-प्लेन पर z-अक्ष को नीचे की ओर प्रदर्शित कर रहा है। ढलान वाली रेखा वक्र y = x है।

पुनरावृत्त अभिन्न पर विचार करें

$\int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,$

जिसे हम सामान्यतः भौतिकी में देखे जाने वाले उपसर्ग संकेतन का उपयोग करके लिखेंगे:

$\int _{a}^{z}dx\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy.$

इस अभिव्यक्ति में, दूसरे अभिन्न की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है—चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है तथा x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y के संबंध में एकीकृत किया जाता है जो y दिशा में परिवर्तनशील है। y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की अनंत मात्रा को युग्मित किया जाता है। यह x-अक्ष के साथ y=a से y=x तक y-अक्ष के साथ और z दिशा z=h(y) में एक त्रि-आयामी भाग dx को चौड़ा बनाता है। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx अपरिमेय है, तो x, भाग पर केवल अपरिमेय रूप से भिन्न होता है तथा हम मान सकते हैं कि x स्थिर है। यह एकीकरण चित्र 1 के बाएं भाग में दिखाया गया है, परंतु विशेष रूप से जब फलन एच (वाई) सरलता से एकीकृत नहीं होता है तों यह प्रक्रिया असुविधाजनक हों जाती है । अभिन्न को एकीकरण के क्रम को विपरीत करके एकल एकीकरण में घटाया जा सकता है जैसा कि चित्र के दायें भाग में दिखाया गया है। चरों के इस आदान-प्रदान को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले x = y से सीमा x = z तक एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम y = a से y = z तक एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप:

$\int _{a}^{z}dx\ \int _{a}^{x}h(y)\ dy=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.$

इस परिणाम को भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है:

$\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx$

विकल्प:

$f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.$

जो परिणाम देता है।

प्रिंसिपल-वैल्यू अभिन्न

कॉची प्रिंसिपल वैल्यू | प्रिंसिपल-वैल्यू अभिन्न्स के लिए आवेदन के लिए, व्हिटेकर और वाटसन देखें, गखोव, लू, या जुड़वाँ। ओबोलाश्विली में पोंकारे-बर्ट्रेंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें। एक उदाहरण जहां एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है कंवल द्वारा दिया गया है:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,$

जबकि:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .$

एकीकरण विस्तार में आंशिक अंशों का उपयोग करके दूसरे रूप का मूल्यांकन किया जाता है और सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है। सोखत्स्की-प्लेमेलज फॉर्मूला:

$\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .$

अंकन $\int _{L}^{*}$ प्रमुख प्रमुख मूल्य को इंगित करता है। सी कंवल।

मूल प्रमेय

एकीकरण के क्रम को उलटने के आधार की चर्चा टी.डब्ल्यू द्वारा फूरियर विश्लेषण पुस्तक में पाई गई है। कोर्नर। वह एक उदाहरण के साथ अपनी चर्चा का परिचय देता है जहां एकीकरण के आदान-प्रदान से दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं। यहाँ उदाहरण है:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .$

इंटरचेंज की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले दो बुनियादी सिद्धांत चौधरी और जुबैर से नीचे उद्धृत किए गए हैं:

Theorem I — Let f(x, y) be a continuous function of constant sign defined for a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, and let the integrals

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           and           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

regarded as functions of the corresponding parameter be, respectively, continuous for c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Then if at least one of the iterated integrals

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy$           and           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx$

converges, the other integral also converges and their values coincide.

Theorem II — Let f(x, y) be continuous for a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, and let the integrals

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           and           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

be respectively, uniformly convergent on every finite interval c ≤ y < C and on every finite interval a ≤ x < A. Then if at least one of the iterated integrals

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy$           and           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx$

converges, the iterated integrals

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy$           and           $\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx$

also converge and their values are equal.

अनुप्रयोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय प्रॉटर और मोरे से उद्धृत किया गया है:

Theorem — Suppose F is a region given by $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$  where p and q are continuous and p(x) ≤ q(x) for a ≤ x ≤ b. Suppose that f(x, y) is continuous on F. Then

$\iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.$

The corresponding result holds if the closed region F has the representation $F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}$  where r(y) ≤ s(y) for c ≤ y ≤ d.  In such a case,

$\iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .$

In other words, both iterated integrals, when computable, are equal to the double integral and therefore equal to each other.

यह भी देखें

• फ़ुबिनी की प्रमेय

बाहरी संबंध

• Paul's Online Math Notes: Calculus III
• Good 3D images showing the computation of "Double Integrals" using iterated integrals, the Department of Mathematics at Oregon State University.
• Ron Miech's UCLA Calculus Problems More complex examples of changing the order of integration (see Problems 33, 35, 37, 39, 41 & 43)
• Duane Nykamp's University of Minnesota website