वॉन मिसेस उपज मानदंड

अधिकतम विरूपण मानदंड (वॉन मिज़ उपज मानदंड भी) बताता है कि तन्य सामग्री की उपज (इंजीनियरिंग) तब शुरू होती है जब कॉची तनाव टेन्सर तनाव विचलन टेंसर $J_{2}$ एक महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुँचता है। यह प्लास्टिसिटी सिद्धांत का एक हिस्सा है जो ज्यादातर तन्य सामग्रियों पर लागू होता है, जैसे कि कुछ धातुएँ। उपज से पहले, भौतिक प्रतिक्रिया को गैर-रैखिक लोचदार, विस्कोलेस्टिक, या रैखिक लोचदार व्यवहार माना जा सकता है।

सामग्री विज्ञान और अभियांत्रिकी वॉन मिज़ उपज मानदंड भी वॉन मिज़ तनाव या समकक्ष तन्यता तनाव के संदर्भ में तैयार किया गया है, $\sigma _{\text{v}}$. यह प्रतिबल का एक अदिश मान है जिसकी गणना कौची प्रतिबल टेन्सर से की जा सकती है। इस मामले में, कहा जाता है कि जब वॉन मिसेज स्ट्रेस नम्य होने की क्षमता के रूप में जाने जाने वाले मूल्य तक पहुंच जाता है, तो एक सामग्री उपज देना शुरू कर देती है। $\sigma _{\text{y}}$. वॉन मिज़ तनाव का उपयोग यूनिएक्सियल तन्यता परीक्षणों के परिणामों से जटिल लोडिंग के तहत सामग्रियों की उपज की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। वॉन मिज़ तनाव उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जहां समान विरूपण ऊर्जा वाले दो तनाव राज्यों में एक समान वॉन मिज़ तनाव होता है।

क्योंकि वॉन मिसेस यील्ड (इंजीनियरिंग) कॉची स्ट्रेस टेंसर प्रिंसिपल स्ट्रेस और स्ट्रेस इनवेरिएंट से स्वतंत्र है, $I_{1}$, यह तन्य सामग्रियों जैसे धातुओं के लिए प्लास्टिक विरूपण के विश्लेषण के लिए लागू है, क्योंकि इन सामग्रियों के लिए उपज की शुरुआत कॉची तनाव टेंसर तनाव विचलनकर्ता टेंसर पर निर्भर नहीं करती है।

हालांकि यह माना जाता है कि इसे 1865 में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा तैयार किया गया था, मैक्सवेल ने केवल विलियम थॉमसन (लॉर्ड केल्विन) को लिखे एक पत्र में सामान्य स्थितियों का वर्णन किया था। रिचर्ड वॉन मिसेस ने 1913 में इसे सख्ती से तैयार किया। टाइटस मैक्सिमिलियन ह्यूबर (1904), पोलिश में लिखे गए एक पेपर में, ह्यूबर के समीकरण को कुछ हद तक विरूपण तनाव ऊर्जा पर ठीक से निर्भर करते हुए, अपने पूर्ववर्तियों के रूप में कुल तनाव ऊर्जा पर नहीं। हेनरिक हेंकी ने 1924 में स्वतंत्र रूप से वॉन मिज़ के रूप में एक ही मानदंड तैयार किया। उपरोक्त कारणों से इस कसौटी को मैक्सवेल-ह्यूबर-हेनकी-वॉन मिसेस सिद्धांत भी कहा जाता है।

गणितीय सूत्रीकरण

वॉन मिसेज यील्ड सरफेस प्रिंसिपल स्ट्रेस कोऑर्डिनेट में त्रिज्या के साथ एक सिलेंडर को परिचालित करता है ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$ हाइड्रोस्टेटिक अक्ष के आसपास। यह भी दिखाया गया है हेनरी ट्रेस्का की हेक्सागोनल उपज सतह।

गणितीय रूप से वॉन मिसेस यील्ड (इंजीनियरिंग) कसौटी को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$J_{2}=k^{2}\,\!$

यहाँ $k$ शुद्ध कतरनी में सामग्री का उपज (इंजीनियरिंग) तनाव है। जैसा कि इस लेख में बाद में दिखाया गया है, उपज की शुरुआत में, शुद्ध कतरनी में कतरनी उपज तनाव का परिमाण साधारण तनाव के मामले में तन्य उपज तनाव से √3 गुना कम होता है। इस प्रकार, हमारे पास है:

$k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}$

कहाँ $\sigma _{y}$ सामग्री की तन्यता उपज शक्ति है। यदि हम वॉन मिज़ तनाव को उपज शक्ति के बराबर सेट करते हैं और उपरोक्त समीकरणों को जोड़ते हैं, तो वॉन मिज़ यील्ड कसौटी को इस प्रकार लिखा जाता है:

$\sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}$

या

$\sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}$

स्थानापन्न $J_{2}$ कॉची स्ट्रेस टेन्सर घटकों के साथ, हम प्राप्त करते हैं

$\sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}$,

कहाँ $s$ विचलित तनाव कहा जाता है। यह समीकरण उपज सतह को एक गोलाकार सिलेंडर (चित्र देखें) के रूप में परिभाषित करता है जिसका उपज वक्र, या विचलित विमान के साथ चौराहे, त्रिज्या वाला एक चक्र है ${\sqrt {2}}k$, या ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$. इसका तात्पर्य है कि उपज की स्थिति हाइड्रोस्टेटिक तनावों से स्वतंत्र है।

विभिन्न तनाव स्थितियों के लिए घटा हुआ वॉन मिसेस समीकरण

2डी (प्लानर) लोडिंग स्थितियों में वॉन मिज़ उपज मानदंड: यदि तीसरे आयाम में तनाव शून्य है ($\sigma _{3}=0$), तनाव निर्देशांक के लिए कोई उपज होने की भविष्यवाणी नहीं की जाती है $\sigma _{1},\sigma _{2}$ लाल क्षेत्र के भीतर। चूंकि ट्रेस्का की उपज के लिए मानदंड लाल क्षेत्र के भीतर है, वॉन मिसेस की कसौटी अधिक ढीली है।

एक अक्षीय (1डी) तनाव

एक अक्षीय तनाव या साधारण तनाव के मामले में, $\sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0$, वॉन मिज़ कसौटी बस कम हो जाती है

$\sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!$,

जिसका अर्थ है कि सामग्री कब उपजने लगती है $\sigma _{1}$ सामग्री की उपज शक्ति तक पहुँचता है $\sigma _{\text{y}}$, तन्यता (या कंप्रेसिव) उपज शक्ति की परिभाषा के अनुरूप।

बहु-अक्षीय (2डी या 3डी) तनाव

समतुल्य तनन तनाव या समतुल्य वॉन-मिस तनाव, $\sigma _{\text{v}}$ बहुअक्षीय लदान की स्थिति में सामग्री के उत्पादन की भविष्यवाणी करने के लिए सरल एकअक्षीय तनन परीक्षणों के परिणामों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, हम परिभाषित करते हैं

${\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!$

कहाँ $s_{ij}$ कॉची स्ट्रेस टेन्सर स्ट्रेस डेविएटर टेंसर के घटक हैं ${\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}$:

${\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!$.

इस मामले में, उपज तब होती है जब समतुल्य तनाव, $\sigma _{\text{v}}$, साधारण तनाव में सामग्री की उपज शक्ति तक पहुँचता है, $\sigma _{\text{y}}$. एक उदाहरण के रूप में, संपीड़न में स्टील बीम की तनाव स्थिति मरोड़ के तहत स्टील एक्सल की तनाव स्थिति से भिन्न होती है, भले ही दोनों नमूने एक ही सामग्री के हों। स्ट्रेस टेंसर को ध्यान में रखते हुए, जो स्ट्रेस स्टेट का पूरी तरह से वर्णन करता है, यह अंतर स्वतंत्रता की छह डिग्री (यांत्रिकी) में प्रकट होता है, क्योंकि स्ट्रेस टेन्सर में छह स्वतंत्र घटक होते हैं। इसलिए, यह बताना मुश्किल है कि दोनों में से कौन सा नमूना उपज बिंदु के करीब है या यहां तक ​​पहुंच गया है। हालांकि, वॉन मिज़ उपज मानदंड के माध्यम से, जो पूरी तरह से स्केलर वॉन मिज़ तनाव के मूल्य पर निर्भर करता है, यानी, स्वतंत्रता की एक डिग्री, यह तुलना सीधी है: एक बड़ा वॉन मिसेज मूल्य का अर्थ है कि सामग्री उपज के करीब है बिंदु।

शुद्ध कतरनी तनाव के मामले में, $\sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0$, जबकि अन्य सभी $\sigma _{ij}=0$, वॉन मिसेस कसौटी बन जाती है:

$\sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!$.

इसका मतलब है कि, उपज की शुरुआत में, शुद्ध कतरनी में कतरनी तनाव का परिमाण है ${\sqrt {3}}$ साधारण तनाव के मामले में उपज तनाव से कई गुना कम। मुख्य प्रतिबलों में अभिव्यक्त शुद्ध अपरूपण प्रतिबल के लिए वॉन मिज़ उपज कसौटी है

$(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!$

प्रिंसिपल प्लेन स्ट्रेस के मामले में, $\sigma _{3}=0$ और $\sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0$, वॉन मिसेस कसौटी बन जाती है:

$\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!$

यह समीकरण विमान में दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है $\sigma _{1}-\sigma _{2}$.

सारांश

तनाव की स्थिति	सीमा की स्थिति	वॉन माइस समीकरण
आम	कोई प्रतिबंध नहीं	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+3\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}}$
प्राचार्य ने जोर दिया	$\sigma _{12}=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}$
सामान्य विमान तनाव	${\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{11}^{2}-\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}^{2}+3\sigma _{12}^{2}}}\!$
प्रधान विमान तनाव	${\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}}}\!$
शुद्ध कतरनी	${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{2}=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {3}}|\sigma _{12}|\!$
अक्षीय	${\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}=\sigma _{1}\!$

वॉन मिसेस यील्ड कसौटी की भौतिक व्याख्या

हेनरिक हेनकी (1924) ने वॉन मिज़ कसौटी की एक भौतिक व्याख्या की पेशकश की जिसमें सुझाव दिया गया कि उपज तब शुरू होती है जब विरूपण की लोचदार ऊर्जा एक महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुंच जाती है। इस कारण से, वॉन मिज़ कसौटी को अधिकतम विरूपण तनाव ऊर्जा मानदंड के रूप में भी जाना जाता है। यह बीच के संबंध से आता है $J_{2}$ और विरूपण की लोचदार तनाव ऊर्जा $W_{\text{D}}$:

$W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!$ लोचदार कतरनी मापांक के साथ $G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!$.

1937 में अर्पाद एल. नादई ने सुझाव दिया कि उपज तब शुरू होती है जब कॉची तनाव टेन्सर ऑक्टाहेड्रल तनाव एक महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुंच जाता है, यानी साधारण तनाव में उपज पर सामग्री का ऑक्टाहेड्रल कतरनी तनाव। इस मामले में, वॉन मिज़ उपज मानदंड को प्रत्यक्ष आनुपातिकता के मद्देनजर अधिकतम ऑक्टाहेड्रल कतरनी तनाव मानदंड के रूप में भी जाना जाता है जो बीच में मौजूद है $J_{2}$ और अष्टफलकीय कतरनी तनाव, $\tau _{\text{oct}}$, जो परिभाषा के अनुसार है

$\tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!$

इस प्रकार हमारे पास है

$\tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!$

तनाव ऊर्जा घनत्व में दो घटक होते हैं - वॉल्यूमेट्रिक या डायलेशनल और डिस्टॉर्शल। आयतन घटक आकार में बिना किसी परिवर्तन के आयतन में परिवर्तन के लिए उत्तरदायी होता है। विरूपण घटक कतरनी विरूपण या आकार में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है।

==वॉन मिसेज यील्ड कसौटी == का व्यावहारिक इंजीनियरिंग उपयोग

जैसा कि ऊपर दिए गए समीकरणों में दिखाया गया है (कौन से समीकरण?), उपज मानदंड के रूप में वॉन मिज़ मानदंड का उपयोग केवल तभी लागू होता है जब निम्नलिखित भौतिक गुण सजातीय हों और इनका अनुपात हो:

${\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {\sigma _{\text{shear.yielding}}}{\sigma _{\text{tensile.yielding}}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!$

चूंकि किसी भी सामग्री में यह अनुपात ठीक नहीं होगा, व्यवहार में यह तय करने के लिए इंजीनियरिंग निर्णय का उपयोग करना आवश्यक है कि किसी दिए गए सामग्री के लिए विफलता सिद्धांत क्या उपयुक्त है। वैकल्पिक रूप से, ट्रेस्का सिद्धांत के उपयोग के लिए, उसी अनुपात को 1/2 के रूप में परिभाषित किया गया है।

सुरक्षा की उपज मार्जिन के रूप में लिखा गया है

$MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1$

यद्यपि दिया गया मानदंड एक उपज घटना पर आधारित है, व्यापक परीक्षण से पता चला है कि वॉन मिज़ तनाव का उपयोग अंतिम लोडिंग पर लागू होता है

$MS_{\text{ult}}={\frac {F_{u}}{\sigma _{\text{v}}}}-1$

यह भी देखें

• उपज सतह
• ह्यूबर का समीकरण
• हेनरी ट्रेस्का
• स्टीफन टिमोचेंको
• मोहर-कूलम्ब सिद्धांत
• होक-ब्राउन विफलता मानदंड
• उपज (इंजीनियरिंग)
• तनाव (भौतिकी)
• तनाव (सामग्री विज्ञान)
• 3-डी लोच