द्विसम्मिश्र संख्या

"Tessarine" redirects here. For real tessarines, see Split-complex number.

सार बीजगणित में, एक द्विजटिल संख्या एक जोड़ी है (w, z) केली-डिक्सन प्रक्रिया द्वारा निर्मित जटिल संख्या एँ जो द्विजटिल संयुग्म को परिभाषित करती हैं $(w,z)^{*}=(w,-z)$, और दो द्विजटिल संख्याओं का गुणनफल इस प्रकार है

$(u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).$

फिर बाइकॉम्प्लेक्स मानदंड द्वारा दिया गया है

$(w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),$ पहले घटक में एक द्विघात रूप ।

द्विजटिल संख्याएँ आयाम दो के एक क्षेत्र पर एक क्रमविनिमेय बीजगणित बनाती हैं, जो बीजगणित के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है C ⊕ C.

दो द्विजटिल संख्याओं का गुणनफल एक द्विघात रूप मान उत्पन्न करता है जो संख्याओं के अलग-अलग द्विघात रूपों का गुणनफल होता है: किसी उत्पाद के द्विघात रूप की इस संपत्ति का सत्यापन ब्रह्मगुप्त-फाइबोनैचि पहचान को संदर्भित करता है। एक द्विजटिल संख्या के द्विघात रूप की यह संपत्ति इंगित करती है कि ये संख्याएं एक रचना बीजगणित बनाती हैं। वास्तव में, केली-डिक्सन निर्माण के द्विपद स्तर पर द्विजटिल संख्याएं उत्पन्न होती हैं $\mathbb {C}$ मानक जेड के साथ^{2</उप>।}

सामान्य द्विजटिल संख्या को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है ${\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}$, जिसमें निर्धारक है $w^{2}+z^{2}$. इस प्रकार, द्विघात रूप की रचना संपत्ति निर्धारक की रचना संपत्ति के साथ मिलती है।

== वास्तविक बीजगणित == के रूप में

Tessarine multiplication

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	1	i
k	k	−j	i	−1

Bicomplex संख्याएँ आयाम दो के C पर एक बीजगणित बनाती हैं, और चूंकि C, R के ऊपर आयाम दो का है, द्विजटिल संख्याएँ आयाम चार के R पर एक बीजगणित हैं। वास्तव में वास्तविक बीजगणित जटिल बीजगणित से पुराना है; इसे 1848 में 'टेसरीन' का नाम दिया गया था, जबकि जटिल बीजगणित को 1892 तक पेश नहीं किया गया था।

tessarine 4-बीजगणित के R के ऊपर एक आधार (रैखिक बीजगणित) z = 1 और z = -i को निर्दिष्ट करता है, जो मैट्रिसेस देता है

$k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$, जो दी गई तालिका के अनुसार गुणा करते हैं। जब पहचान मैट्रिक्स की पहचान 1 से की जाती है, तो एक टेसारीन टी = डब्ल्यू + जेड जे।

इतिहास

1840 के दशक में कई काल्पनिक इकाइयों के विषय की जांच की गई। चतुष्कोणों पर एक लंबी श्रृंखला में, या दार्शनिक पत्रिका में 1844 में शुरू हुई बीजगणित में कल्पनाओं की एक नई प्रणाली पर, विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुष्कोणीय समूह के अनुसार गुणा करने वाली प्रणाली का संचार किया। 1848 में थॉमस किर्कमैन ने हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं की एक प्रणाली का निर्धारण करने वाली इकाइयों पर समीकरणों के बारे में आर्थर केली के साथ अपने पत्राचार की सूचना दी।

टेसारीन

1848 में जेम्स कॉकल (वकील) ने दार्शनिक पत्रिका में लेखों की एक श्रृंखला में टेसरीन पेश की। एक tessarine फॉर्म की एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है

$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R}$

कहां $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$ घातीय श्रृंखला में हाइपरबोलिक कोसाइन श्रृंखला और हाइपरबोलिक साइन श्रृंखला को अलग करने के लिए कॉकल ने टेसरीन का उपयोग किया। उन्होंने यह भी दिखाया कि टेसरीन में शून्य विभाजक कैसे उत्पन्न होते हैं, जिससे उन्हें असंभव शब्द का उपयोग करने की प्रेरणा मिली। टेसरीन अब असली टेसरीन के अपने सबलजेब्रा के लिए जानी जाती हैं $t=w+yj\$, विभाजित-जटिल संख्या भी कहा जाता है, जो इकाई अतिपरवलय के पैरामीट्रिजेशन को व्यक्त करता है।

द्विजटिल संख्या

1892 के मैथमेटिसे एनालेन पेपर में, कॉनराड सेग्रे ने 'बायकॉम्प्लेक्स संख्या' की शुरुआत की, जो tessarines के लिए एक बीजगणित समरूपी बनाते हैं। सेग्रे ने क्वाटरनियंस पर डब्ल्यूआर हैमिल्टन के व्याख्यान (1853) और डब्ल्यू के क्लिफर्ड के कार्यों को पढ़ा। सेग्रे ने 'द्विजटिल संख्या' की अपनी प्रणाली विकसित करने के लिए हैमिल्टन के कुछ संकेतन का उपयोग किया: मान लीजिए कि h और i ऐसे तत्व हैं जो वर्ग -1 और वह आवागमन करते हैं। फिर, गुणन की साहचर्यता को मानते हुए, गुणनफल hi का वर्ग +1 होना चाहिए। आधार पर बीजगणित की रचना की { 1, h, i, hi } फिर जेम्स कॉकल की टेसरीन के समान है, जिसे एक अलग आधार का उपयोग करके दर्शाया गया है। सेग्रे ने नोट किया कि तत्व

$g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2$ निर्बल हैं।

जब द्विजटिल संख्या को आधार के रूप में व्यक्त किया जाता है { 1, h, i, −hi }, tessarines के साथ उनकी समानता स्पष्ट है। इन वलय समरूपता बीजगणितों के रेखीय निरूपण को देखते हुए ऋणात्मक चिह्न का उपयोग किए जाने पर चौथे आयाम में सहमति दिखाई देती है; रैखिक प्रतिनिधित्व के तहत ऊपर दिए गए नमूना उत्पाद पर विचार करें।

बिबिनारियंस

रचना बीजगणित का आधुनिक सिद्धांत बीजगणित को एक अन्य द्विभाजक निर्माण के आधार पर एक द्वैमासिक निर्माण के रूप में रखता है, इसलिए बिबिनारियंस। केली-डिक्सन प्रक्रिया में अनारियन स्तर एक क्षेत्र होना चाहिए, और वास्तविक क्षेत्र से शुरू होकर, सामान्य जटिल संख्याएं विभाजन बायनेरियंस के रूप में उत्पन्न होती हैं, एक अन्य क्षेत्र। इस प्रकार यह प्रक्रिया फिर से शुरू हो सकती है जिससे द्विबीजकों का निर्माण हो सके। केविन मैकक्रिमोन ने अपने टेक्स्ट ए टेस्ट ऑफ़ जॉर्डन अलजेब्रस (2004) में बाइनारियन शब्द द्वारा प्रदान किए गए नामकरण के सरलीकरण पर ध्यान दिया।

बहुपद जड़ें

लिखना ²C = C ⊕ C और सम्मिश्र संख्याओं के क्रमित युग्मों (u,v) द्वारा इसके अवयवों को निरूपित करते हैं। चूँकि टेसारीन 'T' का बीजगणित तुल्याकारी है ²C, बहुपदों का वलय T[X] और ²C[X] भी समरूपी हैं, हालांकि बाद वाले बीजगणित विभाजन में बहुपद हैं:

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).$

परिणामस्वरूप, जब एक बहुपद समीकरण $f(u,v)=(0,0)$ इस बीजगणित में सेट किया गया है, यह सी पर दो बहुपद समीकरणों को कम कर देता है। यदि डिग्री 'एन' है, तो प्रत्येक समीकरण के लिए एक फ़ंक्शन की एन जड़ होती है: $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.$ कोई भी आदेशित जोड़ी $(u_{i},v_{j})\!$ जड़ों के इस सेट से मूल समीकरण को संतुष्ट करेगा ²C[X], तो इसमें n है² जड़ें। T[X] के साथ समरूपता के कारण, बहुपदों का एक पत्राचार और उनकी जड़ों का एक पत्राचार होता है। इसलिए डिग्री n के tessarine बहुपदों में भी n होता है² जड़ें, गिनती बहुलता (गणित) ।

अनुप्रयोग

Bicomplex संख्या CAPS (भौतिक स्थान का जटिल बीजगणित) के केंद्र के रूप में प्रकट होती है, जो क्लिफर्ड बीजगणित है $Cl(3,\mathbb {C} )$. चूँकि CAPS के रैखिक स्थान को चार आयामी अंतरिक्ष विस्तार के रूप में देखा जा सकता है {$1,e_{1},e_{2},e_{3}$} ऊपर {$1,i,k,j$}.

टेसरीन को अंकीय संकेत प्रक्रिया में लागू किया गया है। द्रव यांत्रिकी में बीकॉम्प्लेक्स नंबर कार्यरत हैं। बाइकॉम्प्लेक्स बीजगणित का उपयोग जटिल संख्याओं के दो अलग-अलग अनुप्रयोगों को समेटता है: दो आयामों में संभावित प्रवाह का प्रतिनिधित्व | जटिल विमान में द्वि-आयामी संभावित प्रवाह और यूलर का सूत्र।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• बीजगणित का प्रत्यक्ष योग
• सिद्ध
• चतुर्धातुक समूह
• काल्पनिक इकाई
• शून्य भाजक
• गणितीय इतिहास
• संबद्धता
• बेकार
• रिंग आइसोमोर्फिज्म
• बहुपदों की अंगूठी
• एक समारोह की जड़
• भौतिक स्थान का बीजगणित

आगे की पढाई

• G. Baley Price (1991) An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X
• F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) The Mathematics of Minkowski Space-Time with an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers, Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 978-3-7643-8613-9
• Alpay D, Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC. (2014) Basics of functional analysis with bicomplex scalars, and bicomplex Schur analysis, Cham, Switzerland: Springer Science & BusinessMedia
• Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC, Vajiac A. (2015) Bicomplex holomorphic functions:the algebra, geometry and analysis of bicomplex numbers, Cham, Switzerland: Birkhäuser