आवधिक आरेख (ज्यामिति)

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एक ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत (कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड एक ग्राफ) आवधिक है यदि उस यूक्लिडियन स्थान का एक आधार (रैखिक बीजगणित) मौजूद है जिसका संबंधित अनुवाद (ज्यामिति) उस ग्राफ के समरूपता समूहों को प्रेरित करता है (अर्थात, ऐसे किसी भी अनुवाद का अनुप्रयोग) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड ग्राफ ग्राफ को अपरिवर्तित छोड़ देता है)। समतुल्य रूप से, एक आवधिक यूक्लिडियन ग्राफ एक परिमित ग्राफ पर एक एबेलियन कवरिंग ग्राफ का आवधिक अहसास है।[1][2] एक यूक्लिडियन ग्राफ असतत स्थान है यदि किन्हीं दो शीर्षों के बीच न्यूनतम दूरी हो। आवधिक रेखांकन अंतरिक्ष के टेस्सेलेशन (या छत्ते) और उनके समरूपता समूहों की ज्यामिति से निकटता से संबंधित हैं, इसलिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत के साथ-साथ असतत ज्यामिति और polytope ्स के सिद्धांत और इसी तरह के क्षेत्रों से संबंधित हैं।

आवधिक रेखांकन में अधिकांश प्रयास प्राकृतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों से प्रेरित होते हैं, विशेष रूप से क्रिस्टल इंजीनियरिंग के लिए त्रि-आयामी क्रिस्टल जाल, क्रिस्टल संरचना भविष्यवाणी | क्रिस्टल भविष्यवाणी (डिजाइन), और मॉडलिंग क्रिस्टल व्यवहार। वीएलएसआई|वेरी-लार्ज-स्केल इंटीग्रेशन (वीएलएसआई) सर्किट मॉडलिंग में आवधिक ग्राफ का भी अध्ययन किया गया है।[3]


मूल सूत्रीकरण

एक ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत एक जोड़ी (वी, ई) है, जहां वी बिंदुओं का एक सेट है (कभी-कभी शिखर या नोड्स कहा जाता है) और ई किनारों का एक सेट होता है (कभी-कभी बांड कहा जाता है), जहां प्रत्येक किनारा दो शिखरों में शामिल होता है। जबकि दो शीर्षों u और v को जोड़ने वाले किनारे को आमतौर पर सेट (गणित) {u, v} के रूप में समझा जाता है, किनारे को कभी-कभी u और v को जोड़ने वाले रेखा खंड के रूप में व्याख्या किया जाता है ताकि परिणामी संरचना एक CW जटिल हो। ज्यामितीय रेखांकन को 'नेट' (नेट (पॉलीहेड्रॉन) के विपरीत) के रूप में संदर्भित करने के लिए पॉलीहेड्रल और रासायनिक साहित्य में एक प्रवृत्ति है, और रासायनिक साहित्य में नामकरण ग्राफ सिद्धांत से भिन्न है।[4] अधिकांश साहित्य आवधिक रेखांकन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो कि असतत स्थान हैं जिसमें मौजूद e> 0 ऐसा है कि किसी भी दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी अलग है |u – v| > ई।

गणितीय दृष्टिकोण से, एक यूक्लिडियन आवधिक ग्राफ एक परिमित ग्राफ पर ग्राफ को कवर करने वाले अनंत-गुना एबेलियन का अहसास है।

आवधिकता प्राप्त करना

क्रिस्टलोग्राफिक अंतरिक्ष समूहों की पहचान और वर्गीकरण ने उन्नीसवीं सदी में बहुत कुछ लिया, और सूची की पूर्णता की पुष्टि एवग्राफ फेडोरोव और स्कोएनफ्लाइज़ के प्रमेयों द्वारा समाप्त हो गई।[5] समस्या को हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या में सामान्यीकृत किया गया था। डेविड हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या, और फेडोरोव-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय को लुडविग बीबरबैक द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।[6] फेडोरोव-शॉनफ्लाई प्रमेय निम्नलिखित का दावा करता है। मान लीजिए कि किसी को 3-स्पेस में एक यूक्लिडियन ग्राफ दिया गया है जैसे कि निम्नलिखित सत्य हैं:

  1. यह समान रूप से असतत है जिसमें मौजूद है e> 0 ऐसा कि किन्हीं दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी अलग है |u – v| > ई।
  2. यह अंतरिक्ष को इस अर्थ में भरता है कि 3-अंतरिक्ष में किसी भी विमान के लिए, विमान के दोनों किनारों पर ग्राफ के शिखर मौजूद होते हैं।
  3. प्रत्येक शीर्ष परिमित डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) या 'वैलेंसी' का है।
  4. ज्यामितीय ग्राफ के समरूपता समूह के अंतर्गत शीर्षों की बहुत सी कक्षाएँ हैं।

फिर यूक्लिडियन ग्राफ आवधिक है जिसमें इसके समरूपता समूह में अनुवाद के वैक्टर अंतर्निहित यूक्लिडियन स्थान को फैलाते हैं, और इसका समरूपता समूह एक अंतरिक्ष समूह है।

विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्याख्या यह है कि चूंकि एक यूक्लिडियन ग्राफ अंतरिक्ष के माध्यम से फैली हुई सामग्री का प्रतिनिधित्व करता है, उसे शर्तों (1), (2), और (3) को पूरा करना चाहिए, गैर-क्रिस्टलीय पदार्थ क्वासिक क्रिस्टल से ग्लास # एक सुपरकूल्ड तरल से गठन का उल्लंघन करना चाहिए (4)। हालांकि, पिछली तिमाही शताब्दी में, क्वासिक क्रिस्टल को क्रिस्टल के साथ पर्याप्त रूप से कई रासायनिक और भौतिक गुणों को साझा करने के लिए मान्यता दी गई है कि क्रिस्टल के रूप में क्वासिक क्रिस्टल को वर्गीकृत करने और तदनुसार क्रिस्टल की परिभाषा को समायोजित करने की प्रवृत्ति है।[7]


गणित और संगणना

आवधिक रेखांकन की अधिकांश सैद्धांतिक जांच ने उन्हें उत्पन्न करने और वर्गीकृत करने की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया है।

वर्गीकरण की समस्याएं

वर्गीकरण की समस्याओं पर अधिकांश कार्य तीन आयामों पर केंद्रित है, विशेष रूप से आवधिक ग्राफ़ (क्रिस्टलोग्राफी) के वर्गीकरण पर, अर्थात्, आवधिक ग्राफ़ जो परमाणुओं या आणविक वस्तुओं के प्लेसमेंट के लिए विवरण या डिज़ाइन के रूप में काम कर सकते हैं, किनारों से संकेतित बांड के साथ, एक क्रिस्टल में। अधिक लोकप्रिय वर्गीकरण मानदंडों में से एक ग्राफ आइसोमोर्फिज्म है, जिसे समरूपता (क्रिस्टलोग्राफी) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो आवधिक रेखांकन को अक्सर समसामयिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि होमोटोपिक हो। भले ही 'ग्राफ़ आइसोमोर्फिज़्म प्रॉब्लम' क्रिस्टल नेट टोपोलॉजिकल समतुल्यता के लिए बहुपद-समय की कमी है (सांस्थितिक समतुल्यता को बहुपद समय # बहुपद समय नहीं होने के अर्थ में कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव होने के लिए एक उम्मीदवार बनाते हुए), एक क्रिस्टल नेट को आम तौर पर उपन्यास माना जाता है यदि और केवल अगर कोई सांस्थितिक रूप से समतुल्य नेट ज्ञात नहीं है। इसने टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट पर ध्यान केंद्रित किया है।

एक अपरिवर्तनीय न्यूनतम चक्र (ग्राफ सिद्धांत) (अक्सर रसायन विज्ञान साहित्य में छल्ले कहा जाता है) की सरणी है, जो कि सामान्य शीर्षों के बारे में है और श्लाफली प्रतीक में दर्शाया गया है। एक क्रिस्टल नेट के चक्र संबंधित हैं[8] एक अन्य अपरिवर्तनीय के लिए, समन्वय अनुक्रम (या टोपोलॉजी में शेल मैप[9]), जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एक ग्राफ में एक शीर्ष v से एक दूरी अनुक्रम अनुक्रम n है1, एन2, एन3, ..., जहां एनi v से दूरी i के शीर्षों की संख्या है। समन्वय अनुक्रम अनुक्रम s है1, एस2, एस3, ..., जहां एसi (कक्षाओं के) क्रिस्टल जालों के शीर्षों के दूरी अनुक्रमों की i-वें प्रविष्टियों का भारित माध्य है, जहाँ भार प्रत्येक कक्षा के शीर्षों का स्पर्शोन्मुख अनुपात है। समन्वय अनुक्रम के संचयी योग को 'टोपोलॉजिकल डेंसिटी' कहा जाता है, और पहले दस शब्दों का योग (शून्य-वें पद के लिए प्लस 1) - जिसे अक्सर TD10 कहा जाता है - क्रिस्टल नेट डेटाबेस में एक मानक खोज शब्द है। देखना[10] [11] टोपोलॉजिकल घनत्व के गणितीय पहलू के लिए जो सरल यादृच्छिक चलने की बड़ी विचलन संपत्ति से निकटता से संबंधित है।

टेसलेशन और यूक्लिडियन ग्राफ के बीच संबंध से एक और अपरिवर्तनीय उत्पन्न होता है। यदि हम एक टेसलेशन को (संभवतः पॉलीहेड्रल) ठोस क्षेत्रों, (संभवतः बहुभुज) चेहरों, (संभवतः रैखिक) घटता, और वर्टिकल के रूप में मानते हैं - यानी, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के रूप में - तो कर्व और वर्टिकल एक बनाते हैं टेसलेशन का यूक्लिडियन ग्राफ (या एन-कंकाल | 1-कंकाल)। (इसके अलावा, टाइलों का आसन्न ग्राफ एक अन्य यूक्लिडियन ग्राफ को प्रेरित करता है।) यदि टेसलेशन में बारीक रूप से कई प्रोटोटाइप के लिए हैं, और टेसलेशन आवधिक है, तो परिणामी यूक्लिडियन ग्राफ आवधिक होगा। विपरीत दिशा में जाने पर, एक टेसेलेशन का प्रोटोटाइल जिसका 1-कंकाल दिए गए आवधिक ग्राफ (टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य) है, एक के पास एक और इनवेरिएंट है, और यह इनवेरिएंट है जिसकी गणना कंप्यूटर प्रोग्राम TOPOS द्वारा की जाती है।[12]


आवधिक रेखांकन बनाना

कई मौजूदा आवधिक ग्राफ़ एन्यूमरेशन एल्गोरिदम हैं, जिनमें मौजूदा नेट को नए बनाने के लिए संशोधित करना शामिल है,[13] लेकिन प्रगणकों के दो प्रमुख वर्ग प्रतीत होते हैं।

प्रमुख व्यवस्थित क्रिस्टल नेट एन्यूमरेशन एल्गोरिदम में से एक मौजूद है[14] बोरिस डेलौने और एंड्रियास ड्रेस द्वारा श्लाफली प्रतीक के सामान्यीकरण द्वारा टेसेलेशन के प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसके द्वारा किसी भी टेसेलेशन (किसी भी आयाम का) को एक परिमित संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है,[15] जिसे हम ड्रेस-डेलाने का प्रतीक कह सकते हैं। ड्रेस-डेलाने प्रतीकों का कोई भी प्रभावी प्रगणक प्रभावी रूप से उन आवधिक जालों की गणना कर सकता है जो टेसलेशन के अनुरूप हैं। डेलगाडो-फ्रेडरिक्स एट अल के त्रि-आयामी पोशाक-डेलाने प्रतीक प्रगणक ने कई उपन्यास क्रिस्टल जालों की भविष्यवाणी की है जिन्हें बाद में संश्लेषित किया गया था।[16] इस बीच, एक द्वि-आयामी पोशाक-डेलाने प्रगणक द्वि-आयामी अतिपरवलयिक ज्यामिति के रेटिक्यूलेशन उत्पन्न करता है जो शल्य चिकित्सा से विच्छेदित होता है और एक त्रिगुणात्मक आवधिक न्यूनतम सतह न्यूनतम सतह जैसे कि जाइरोइड , श्वार्ज़ न्यूनतम सतह के चारों ओर लपेटा जाता है, ने कई उपन्यास क्रिस्टल जाल उत्पन्न किए हैं।[17] [18] एक अन्य मौजूदा प्रगणक वर्तमान में जिओलाइट्स के प्रशंसनीय क्रिस्टल जाल बनाने पर केंद्रित है। 3-स्पेस में समरूपता समूह का विस्तार 3-स्पेस के एक मौलिक डोमेन (या क्षेत्र) के लक्षण वर्णन की अनुमति देता है, जिसका नेट के साथ प्रतिच्छेदन एक सबग्राफ को प्रेरित करता है, जो सामान्य स्थिति में, कोने की प्रत्येक कक्षा से एक शीर्ष होगा। यह सबग्राफ कनेक्ट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, और यदि एक वर्टेक्स रोटेशन की धुरी या नेट के कुछ समरूपता के किसी अन्य निश्चित बिंदु पर स्थित है, तो वर्टेक्स किसी भी मौलिक क्षेत्र की सीमा पर अनिवार्य रूप से स्थित हो सकता है। इस मामले में, समरूपता समूह को मौलिक क्षेत्र में सबग्राफ पर लागू करके नेट उत्पन्न किया जा सकता है।[19] अन्य कार्यक्रम विकसित किए गए हैं जो इसी तरह एक प्रारंभिक टुकड़े की प्रतियां उत्पन्न करते हैं और उन्हें आवधिक ग्राफ में चिपकाते हैं[20]


यह भी देखें

  • डिजाइन के लिए क्रिस्टल के मॉडल के रूप में आवधिक रेखांकन (क्रिस्टलोग्राफी)।

संदर्भ

  1. ↑ Sunada, T. (2012), "Lecture on topological crystallography", Japan. J. Math., 7: 1–39, doi:10.1007/s11537-012-1144-4
  2. ↑ Sunada, T. (2012), Topological Crystallography With a View Towards Discrete Geometric Analysis, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol. 6, Springer
  3. ↑ Cohen, E.; Megiddo, N. (1991), "Recognizing Properties of Periodic Graphs" (PDF), DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4: Applied Geometry and Discrete Mathematics, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 4: 135–146, doi:10.1090/dimacs/004/10, ISBN 9780821865934, retrieved August 15, 2010
  4. ↑ Delgado-Friedrichs, O.; O’Keeffe, M. (2005), "Crystal nets as graphs: Terminology and definitions", Journal of Solid State Chemistry, 178 (8): 2480–2485, Bibcode:2005JSSCh.178.2480D, doi:10.1016/j.jssc.2005.06.011
  5. ↑ Senechal, M. (1990), "A brief history of geometrical crystallography", in Lima-de-Faria, J. (ed.), Historical Atlas of Crystallography, Kluwer, pp. 43–59
  6. ↑ Vinberg, E. B.; Shvartsman, O. V. (1993), "Discrete Groups of Motions of Spaces of Constant Curvature", in Vinberg, E. B. (ed.), Geometry II: Spaces of Constant Curvature, Springer-Verlag
  7. ↑ Senechal, M. (1995), Quasicrystals and Geometry, Cambridge U. Pr., p. 27
  8. ↑ Eon, J. G. (2004), "Topological density of nets: a direct calculation", Acta Crystallogr. A, 60 (Pt 1): 7–18, Bibcode:2004AcCrA..60....7E, doi:10.1107/s0108767303022037, PMID 14691323.
  9. ↑ Aste, T. (1999), "The Shell Map", in Sadoc, J. F.; Rivier, N. (eds.), THE SHELL MAP: The structure of froths through a dynamical map, Foams and Emulsions, Kluwer, pp. 497–510, arXiv:cond-mat/9803183, Bibcode:1998cond.mat..3183A
  10. ↑ M. Kotani and T. Sunada "Geometric aspects of large deviations for random walks on crystal lattices" In: Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis (T. Kawai and K. Fujita, Ed.), World Scientific, 2002, pp. 215–237.
  11. ↑ Kotani, M.; Sunada, T. (2006), "Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice", Math. Z., 254 (4): 837–870, doi:10.1007/s00209-006-0951-9
  12. ↑ Blatov, V. A.; Proserpio, D. M., TOPOS Program package for topological analysis of crystal structures, retrieved August 15, 2010
  13. ↑ Earl, D. J.; Deem, M. W. (2006), "Toward a Database of Hypothetical Zeolite Structures", Ind. Eng. Chem. Res., 45 (16): 5449–5454, doi:10.1021/ie0510728
  14. ↑ Delgado Friedrichs, O.; Dress, A. W. M.; Huson, D. H.; Klinowski, J.; Mackay, A. L. (12 Aug 1999), "Systematic enumeration of crystalline networks", Nature, 400 (6745): 644–647, Bibcode:1999Natur.400..644D, doi:10.1038/23210.
  15. ↑ Dress, A.; Delgado Friedrichs, O.; Huson, D. (1995), "An algorithmic approach to tilings", in Charles J., Colbourn; Ebadollah S., Mahmoodian (eds.), Combinatorics Advances: Papers from the Twenty-fifth Annual Iranian Mathematics Conference (AIMC25) held at Sharif University of Technology, Tehran, March 28–31, 1994, Mathematics and its Applications, vol. 329, Kluwer, pp. 111–119, doi:10.1007/978-1-4613-3554-2_7
  16. ↑ Nouar, Farid; Eubank, Jarrod F.; Bousquet, Till; Wojtas, Lukasz; Zaworotko, Michael J.; Eddaoudi, Mohamed (2008), "Supermolecular Building Blocks (SBBs) for the Design and Synthesis of Highly Porous Metal-Organic Frameworks", Journal of the American Chemical Society, 130 (6): 1833–1835, doi:10.1021/ja710123s, PMID 18205363
  17. ↑ Ramsden, S.J.; Robins, V.; Hyde, S. (2009), "3D euclidean nets from 2D hyperbolic tilings: Kaleidoscopic examples", Acta Crystallogr. A, 65 (Pt 2): 81–108, Bibcode:2009AcCrA..65...81R, doi:10.1107/S0108767308040592, PMID 19225190.
  18. ↑ EPINET: Euclidean Patterns in Non-Euclidean Tilings, retrieved January 30, 2013
  19. ↑ Treacy, M.M. J.; Rivin, I.; Balkovsky, E.; Randall, K. H.; Foster, M. D. (2004), "Enumeration of periodic tetrahedral frameworks. II. Polynodal graphs" (PDF), Microporous and Mesoporous Materials, 74 (1–3): 121–132, doi:10.1016/j.micromeso.2004.06.013, retrieved August 15, 2010.
  20. ↑ LeBail, A. (2005), "Inorganic structure prediction with GRINSP", J. Appl. Crystallogr., 38 (2): 389–395, doi:10.1107/S0021889805002384


अग्रिम पठन

  • Kazami, T.; Uchiyama, K. (2008), "Random walks on periodic graphs", Transactions of the American Mathematical Society, 360 (11): 6065–6087, doi:10.1090/S0002-9947-08-04451-6.
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