आवधिक आरेख (ज्यामिति)

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एक यूक्लिडियन आरेख (कुछ यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित किया गया आरेख) आवधिक है यदि उस यूक्लिडियन समष्टि का एक आधार (रैखिक बीजगणित) उपस्तिथ है जिसका संबंधित अनुवाद (ज्यामिति) उस आरेख की समरूपता को प्रेरित करता है (अर्थात, यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित किए गए आरेख में ऐसे किसी भी अनुवाद का अनुप्रयोग आरेख को अपरिवर्तित छोड़ देता है)। समतुल्य रूप से, एक आवधिक यूक्लिडियन आरेख एक परिमित आरेख पर एक एबेलियन आवरण आरेख का आवधिक प्रतिफलन है।[1][2] यूक्लिडियन आरेख समान रूप से असतत होता है यदि किन्हीं दो शीर्षों के मध्य न्यूनतम दूरी होती है। आवधिक रेखांकन समष्टि (या मधुकोष) के चौकोर और उनके समरूपता समूहों की ज्यामिति से निकटता से संबंधित हैं, इसलिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत के साथ-साथ असतत ज्यामिति और बहुतलीय के सिद्धांत और इसी तरह के क्षेत्रों से संबंधित हैं।

आवधिक रेखांकन में अधिकांश प्रयास प्राकृतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों से प्रेरित होते हैं, विशेष रूप से क्रिस्टल अभियांत्रिकी, क्रिस्टल पूर्वानुमान (प्रारुप) और प्रतिदर्श क्रिस्टल आचरण के लिए त्रि-आयामी क्रिस्टल नेट से प्रेरित होती है। अति बृहत् एकीकरण (वीएलएसआई) परिपथ प्रतिदर्श में आवधिक आरेख का भी अध्ययन किया गया है।[3]

मूल सूत्रीकरण

एक ज्यामितीय आरेख सिद्धांत एक जोड़ी (V, E) है, जहां V बिंदुओं का एक समुच्चय है (कभी-कभी कोने या नोड्स कहा जाता है) और E किनारों का एक समुच्चय होता है (कभी-कभी बांड कहा जाता है), जहां प्रत्येक किनारा दो शिखरों में सम्मलित होता है। जबकि दो शीर्षों u और v को जोड़ने वाले किनारे को सामान्यतः समुच्चय (गणित) {u, v} के रूप में समझा जाता है, किनारे को कभी-कभी u और v को जोड़ने वाले रेखा खंड के रूप में व्याख्या किया जाता है ताकि परिणामी संरचना एक CW जटिल जाती है। ज्यामितीय रेखांकन को 'नेट' (बहुतलीय नेट के विपरीत) के रूप में संदर्भित करने के लिए बहुतलीय और रासायनिक साहित्य में एक प्रवृत्ति है, और रासायनिक साहित्य में नामपद्धति आरेख सिद्धांत से भिन्न है।[4] अधिकांश साहित्य आवधिक रेखांकन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो कि असतत समष्टि हैं जिसमें e> 0 उपस्तिथ होता है जैसे कि किसी भी दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी |u – v| > e है।

गणितीय दृष्टिकोण से, एक यूक्लिडियन आवधिक आरेख एक परिमित आरेख पर आरेख को आच्छद करने वाले अनंत-गुना एबेलियन का प्रतिफलन है।

आवधिकता प्राप्त करना

क्रिस्टलोआरेखिक समष्टि समूहों की पहचान और वर्गीकरण ने उन्नीसवीं सदी में बहुत कुछ लिया, और सूची की पूर्णता की पुष्टि एवआरेख फेडोरोव और स्कोएनफ्लाइज़ के प्रमेयों द्वारा समाप्त हो गई।[5] समस्या को हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या में सामान्यीकृत किया गया था। डेविड हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या, और फेडोरोव-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय को लुडविग बीबरबैक द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।[6] फेडोरोव-शॉनफ्लाई प्रमेय निम्नलिखित का दावा करता है। मान लीजिए कि किसी को 3-स्पेस में एक यूक्लिडियन आरेख दिया गया है जैसे कि निम्नलिखित सत्य हैं:

  1. यह समान रूप से असतत है जिसमें उपस्तिथ है e> 0 ऐसा कि किन्हीं दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी अलग है |u – v| > ई।
  2. यह समष्टि को इस अर्थ में भरता है कि 3-समष्टि में किसी भी विमान के लिए, विमान के दोनों किनारों पर आरेख के शिखर उपस्तिथ होते हैं।
  3. प्रत्येक शीर्ष परिमित डिग्री (आरेख सिद्धांत) या 'वैलेंसी' का है।
  4. ज्यामितीय आरेख के समरूपता समूह के अंतर्गत शीर्षों की बहुत सी कक्षाएँ हैं।

फिर यूक्लिडियन आरेख आवधिक है जिसमें इसके समरूपता समूह में अनुवाद के वैक्टर अंतर्निहित यूक्लिडियन समष्टि को फैलाते हैं, और इसका समरूपता समूह एक समष्टि समूह है।

विज्ञान और अभियांत्रिकी में व्याख्या यह है कि चूंकि एक यूक्लिडियन आरेख समष्टि के माध्यम से फैली हुई सामग्री का प्रतिनिधित्व करता है, उसे शर्तों (1), (2), और (3) को पूरा करना चाहिए, गैर-क्रिस्टलीय पदार्थ क्वासिक क्रिस्टल से ग्लास # एक सुपरकूल्ड तरल से गठन का उल्लंघन करना चाहिए (4)। हालांकि, पिछली तिमाही शताब्दी में, क्वासिक क्रिस्टल को क्रिस्टल के साथ पर्याप्त रूप से कई रासायनिक और भौतिक गुणों को साझा करने के लिए मान्यता दी गई है कि क्रिस्टल के रूप में क्वासिक क्रिस्टल को वर्गीकृत करने और तदनुसार क्रिस्टल की परिभाषा को समायोजित करने की प्रवृत्ति है।[7]

गणित और संगणना

आवधिक रेखांकन की अधिकांश सैद्धांतिक जांच ने उन्हें उत्पन्न करने और वर्गीकृत करने की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया है।

वर्गीकरण की समस्याएं

वर्गीकरण की समस्याओं पर अधिकांश कार्य तीन आयामों पर केंद्रित है, विशेष रूप से आवधिक आरेख़ (क्रिस्टलोआरेखी) के वर्गीकरण पर, अर्थात्, आवधिक आरेख़ जो परमाणुओं या आणविक वस्तुओं के प्लेसमेंट के लिए विवरण या डिज़ाइन के रूप में काम कर सकते हैं, किनारों से संकेतित बांड के साथ, एक क्रिस्टल में। अधिक लोकप्रिय वर्गीकरण मानदंडों में से एक आरेख आइसोमोर्फिज्म है, जिसे समरूपता (क्रिस्टलोआरेखी) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो आवधिक रेखांकन को अक्सर समसामयिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि होमोटोपिक हो। भले ही 'आरेख़ आइसोमोर्फिज़्म प्रॉब्लम' क्रिस्टल नेट टोपोलॉजिकल समतुल्यता के लिए बहुपद-समय की कमी है (सांस्थितिक समतुल्यता को बहुपद समय # बहुपद समय नहीं होने के अर्थ में कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव होने के लिए एक उम्मीदवार बनाते हुए), एक क्रिस्टल नेट को आम तौर पर उपन्यास माना जाता है यदि और केवल अगर कोई सांस्थितिक रूप से समतुल्य नेट ज्ञात नहीं है। इसने टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट पर ध्यान केंद्रित किया है।

एक अपरिवर्तनीय न्यूनतम चक्र (आरेख सिद्धांत) (अक्सर रसायन विज्ञान साहित्य में छल्ले कहा जाता है) की सरणी है, जो कि सामान्य शीर्षों के बारे में है और श्लाफली प्रतीक में दर्शाया गया है। एक क्रिस्टल नेट के चक्र संबंधित हैं[8] एक अन्य अपरिवर्तनीय के लिए, समन्वय अनुक्रम (या टोपोलॉजी में शेल मैप[9]), जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एक आरेख में एक शीर्ष v से एक दूरी अनुक्रम अनुक्रम n है1, एन2, एन3, ..., जहां एनi v से दूरी i के शीर्षों की संख्या है। समन्वय अनुक्रम अनुक्रम s है1, एस2, एस3, ..., जहां एसi (कक्षाओं के) क्रिस्टल जालों के शीर्षों के दूरी अनुक्रमों की i-वें प्रविष्टियों का भारित माध्य है, जहाँ भार प्रत्येक कक्षा के शीर्षों का स्पर्शोन्मुख अनुपात है। समन्वय अनुक्रम के संचयी योग को 'टोपोलॉजिकल डेंसिटी' कहा जाता है, और पहले दस शब्दों का योग (शून्य-वें पद के लिए प्लस 1) - जिसे अक्सर TD10 कहा जाता है - क्रिस्टल नेट डेटाबेस में एक मानक खोज शब्द है। देखना[10] [11] टोपोलॉजिकल घनत्व के गणितीय पहलू के लिए जो सरल यादृच्छिक चलने की बड़ी विचलन संपत्ति से निकटता से संबंधित है।

टेसलेशन और यूक्लिडियन आरेख के मध्य संबंध से एक और अपरिवर्तनीय उत्पन्न होता है। यदि हम एक टेसलेशन को (संभवतः बहुतलीय) ठोस क्षेत्रों, (संभवतः बहुभुज) चेहरों, (संभवतः रैखिक) घटता, और वर्टिकल के रूप में मानते हैं - यानी, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के रूप में - तो कर्व और वर्टिकल एक बनाते हैं टेसलेशन का यूक्लिडियन आरेख (या एन-कंकाल | 1-कंकाल)। (इसके अलावा, टाइलों का आसन्न आरेख एक अन्य यूक्लिडियन आरेख को प्रेरित करता है।) यदि टेसलेशन में बारीक रूप से कई प्रोटोटाइप के लिए हैं, और टेसलेशन आवधिक है, तो परिणामी यूक्लिडियन आरेख आवधिक होगा। विपरीत दिशा में जाने पर, एक टेसेलेशन का प्रोटोटाइल जिसका 1-कंकाल दिए गए आवधिक आरेख (टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य) है, एक के पास एक और इनवेरिएंट है, और यह इनवेरिएंट है जिसकी गणना कंप्यूटर प्रोग्राम TOPOS द्वारा की जाती है।[12]

आवधिक रेखांकन बनाना

कई उपस्तिथा आवधिक आरेख़ एन्यूमरेशन एल्गोरिदम हैं, जिनमें उपस्तिथा नेट को नए बनाने के लिए संशोधित करना सम्मलित है,[13] लेकिन प्रगणकों के दो प्रमुख वर्ग प्रतीत होते हैं।

प्रमुख व्यवस्थित क्रिस्टल नेट एन्यूमरेशन एल्गोरिदम में से एक उपस्तिथ है[14] बोरिस डेलौने और एंड्रियास ड्रेस द्वारा श्लाफली प्रतीक के सामान्यीकरण द्वारा टेसेलेशन के प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसके द्वारा किसी भी टेसेलेशन (किसी भी आयाम का) को एक परिमित संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है,[15] जिसे हम ड्रेस-डेलाने का प्रतीक कह सकते हैं। ड्रेस-डेलाने प्रतीकों का कोई भी प्रभावी प्रगणक प्रभावी रूप से उन आवधिक जालों की गणना कर सकता है जो टेसलेशन के अनुरूप हैं। डेलगाडो-फ्रेडरिक्स एट अल के त्रि-आयामी पोशाक-डेलाने प्रतीक प्रगणक ने कई उपन्यास क्रिस्टल जालों की भविष्यवाणी की है जिन्हें बाद में संश्लेषित किया गया था।[16] इस मध्य, एक द्वि-आयामी पोशाक-डेलाने प्रगणक द्वि-आयामी अतिपरवलयिक ज्यामिति के रेटिक्यूलेशन उत्पन्न करता है जो शल्य चिकित्सा से विच्छेदित होता है और एक त्रिगुणात्मक आवधिक न्यूनतम सतह न्यूनतम सतह जैसे कि जाइरोइड , श्वार्ज़ न्यूनतम सतह के चारों ओर लपेटा जाता है, ने कई उपन्यास क्रिस्टल जाल उत्पन्न किए हैं।[17] [18] एक अन्य उपस्तिथा प्रगणक वर्तमान में जिओलाइट्स के प्रशंसनीय क्रिस्टल जाल बनाने पर केंद्रित है। 3-स्पेस में समरूपता समूह का विस्तार 3-स्पेस के एक मौलिक डोमेन (या क्षेत्र) के लक्षण वर्णन की अनुमति देता है, जिसका नेट के साथ प्रतिच्छेदन एक सबआरेख को प्रेरित करता है, जो सामान्य स्थिति में, कोने की प्रत्येक कक्षा से एक शीर्ष होगा। यह सबआरेख कनेक्ट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, और यदि एक वर्टेक्स रोटेशन की धुरी या नेट के कुछ समरूपता के किसी अन्य निश्चित बिंदु पर स्थित है, तो वर्टेक्स किसी भी मौलिक क्षेत्र की सीमा पर अनिवार्य रूप से स्थित हो सकता है। इस मामले में, समरूपता समूह को मौलिक क्षेत्र में सबआरेख पर लागू करके नेट उत्पन्न किया जा सकता है।[19] अन्य कार्यक्रम विकसित किए गए हैं जो इसी तरह एक प्रारंभिक टुकड़े की प्रतियां उत्पन्न करते हैं और उन्हें आवधिक आरेख में चिपकाते हैं[20]

यह भी देखें

  • डिजाइन के लिए क्रिस्टल के मॉडल के रूप में आवधिक रेखांकन (क्रिस्टलोआरेखी)।

संदर्भ

  1. ↑ Sunada, T. (2012), "Lecture on topological crystallography", Japan. J. Math., 7: 1–39, doi:10.1007/s11537-012-1144-4
  2. ↑ Sunada, T. (2012), Topological Crystallography With a View Towards Discrete Geometric Analysis, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol. 6, Springer
  3. ↑ Cohen, E.; Megiddo, N. (1991), "Recognizing Properties of Periodic Graphs" (PDF), DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4: Applied Geometry and Discrete Mathematics, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 4: 135–146, doi:10.1090/dimacs/004/10, ISBN 9780821865934, retrieved August 15, 2010
  4. ↑ Delgado-Friedrichs, O.; O’Keeffe, M. (2005), "Crystal nets as graphs: Terminology and definitions", Journal of Solid State Chemistry, 178 (8): 2480–2485, Bibcode:2005JSSCh.178.2480D, doi:10.1016/j.jssc.2005.06.011
  5. ↑ Senechal, M. (1990), "A brief history of geometrical crystallography", in Lima-de-Faria, J. (ed.), Historical Atlas of Crystallography, Kluwer, pp. 43–59
  6. ↑ Vinberg, E. B.; Shvartsman, O. V. (1993), "Discrete Groups of Motions of Spaces of Constant Curvature", in Vinberg, E. B. (ed.), Geometry II: Spaces of Constant Curvature, Springer-Verlag
  7. ↑ Senechal, M. (1995), Quasicrystals and Geometry, Cambridge U. Pr., p. 27
  8. ↑ Eon, J. G. (2004), "Topological density of nets: a direct calculation", Acta Crystallogr. A, 60 (Pt 1): 7–18, Bibcode:2004AcCrA..60....7E, doi:10.1107/s0108767303022037, PMID 14691323.
  9. ↑ Aste, T. (1999), "The Shell Map", in Sadoc, J. F.; Rivier, N. (eds.), THE SHELL MAP: The structure of froths through a dynamical map, Foams and Emulsions, Kluwer, pp. 497–510, arXiv:cond-mat/9803183, Bibcode:1998cond.mat..3183A
  10. ↑ M. Kotani and T. Sunada "Geometric aspects of large deviations for random walks on crystal lattices" In: Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis (T. Kawai and K. Fujita, Ed.), World Scientific, 2002, pp. 215–237.
  11. ↑ Kotani, M.; Sunada, T. (2006), "Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice", Math. Z., 254 (4): 837–870, doi:10.1007/s00209-006-0951-9
  12. ↑ Blatov, V. A.; Proserpio, D. M., TOPOS Program package for topological analysis of crystal structures, retrieved August 15, 2010
  13. ↑ Earl, D. J.; Deem, M. W. (2006), "Toward a Database of Hypothetical Zeolite Structures", Ind. Eng. Chem. Res., 45 (16): 5449–5454, doi:10.1021/ie0510728
  14. ↑ Delgado Friedrichs, O.; Dress, A. W. M.; Huson, D. H.; Klinowski, J.; Mackay, A. L. (12 Aug 1999), "Systematic enumeration of crystalline networks", Nature, 400 (6745): 644–647, Bibcode:1999Natur.400..644D, doi:10.1038/23210.
  15. ↑ Dress, A.; Delgado Friedrichs, O.; Huson, D. (1995), "An algorithmic approach to tilings", in Charles J., Colbourn; Ebadollah S., Mahmoodian (eds.), Combinatorics Advances: Papers from the Twenty-fifth Annual Iranian Mathematics Conference (AIMC25) held at Sharif University of Technology, Tehran, March 28–31, 1994, Mathematics and its Applications, vol. 329, Kluwer, pp. 111–119, doi:10.1007/978-1-4613-3554-2_7
  16. ↑ Nouar, Farid; Eubank, Jarrod F.; Bousquet, Till; Wojtas, Lukasz; Zaworotko, Michael J.; Eddaoudi, Mohamed (2008), "Supermolecular Building Blocks (SBBs) for the Design and Synthesis of Highly Porous Metal-Organic Frameworks", Journal of the American Chemical Society, 130 (6): 1833–1835, doi:10.1021/ja710123s, PMID 18205363
  17. ↑ Ramsden, S.J.; Robins, V.; Hyde, S. (2009), "3D euclidean nets from 2D hyperbolic tilings: Kaleidoscopic examples", Acta Crystallogr. A, 65 (Pt 2): 81–108, Bibcode:2009AcCrA..65...81R, doi:10.1107/S0108767308040592, PMID 19225190.
  18. ↑ EPINET: Euclidean Patterns in Non-Euclidean Tilings, retrieved January 30, 2013
  19. ↑ Treacy, M.M. J.; Rivin, I.; Balkovsky, E.; Randall, K. H.; Foster, M. D. (2004), "Enumeration of periodic tetrahedral frameworks. II. Polynodal graphs" (PDF), Microporous and Mesoporous Materials, 74 (1–3): 121–132, doi:10.1016/j.micromeso.2004.06.013, retrieved August 15, 2010.
  20. ↑ LeBail, A. (2005), "Inorganic structure prediction with GRINSP", J. Appl. Crystallogr., 38 (2): 389–395, doi:10.1107/S0021889805002384


अग्रिम पठन

  • Kazami, T.; Uchiyama, K. (2008), "Random walks on periodic graphs", Transactions of the American Mathematical Society, 360 (11): 6065–6087, doi:10.1090/S0002-9947-08-04451-6.
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