उच्च श्रेणी सिद्धांत

गणित में, उच्च श्रेणी सिद्धांत एक उच्च क्रम पर श्रेणी सिद्धांत का हिस्सा है, जिसका अर्थ है कि कुछ समानताओं को स्पष्ट आकारिकी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि उन समानताओं के पीछे की संरचना का स्पष्ट रूप से अध्ययन किया जा सके। उच्च श्रेणी के सिद्धांत को अक्सर बीजगणितीय टोपोलॉजी (विशेष रूप से होमोटॉपी सिद्धांत में) में लागू किया जाता है, जहां एक टोपोलॉजिकल स्पेस के बीजगणितीय अपरिवर्तनीय (गणित) का अध्ययन करता है, जैसे कि उनके मौलिक समूह अर्ध-श्रेणी|कमजोर ∞-ग्रुपॉइड।

सख्त उच्च श्रेणियां

एक साधारण श्रेणी (गणित) में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) और आकारिकी होती है, जिन्हें उच्च श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में 1-रूपवाद कहा जाता है। एक 2-श्रेणी 1-मोर्फिज्म के बीच 2-मॉर्फिज्म को शामिल करके इसे सामान्यीकृत करती है। इसे (n − 1)-मॉर्फिज्म के बीच n-मॉर्फिज्म तक जारी रखना एक n-श्रेणी देता है।

जिस प्रकार 'कैट' के रूप में जानी जाने वाली श्रेणी, जो कि छोटी श्रेणियों और फ़ैक्टरों की श्रेणी है, वास्तव में एक 2-श्रेणी है, जिसमें इसके 2-मोर्फिज़्म के रूप में प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं, श्रेणी n-'Cat' की (छोटी) n-श्रेणियाँ वास्तव में हैं एक (एन + 1)-श्रेणी।

एक एन-श्रेणी को एन पर प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

• 0-श्रेणी सेट की एक श्रेणी है,
• An (n + 1)-श्रेणी n-'Cat' श्रेणी की तुलना में एक श्रेणी समृद्ध श्रेणी है।

तो 1-श्रेणी सिर्फ एक (स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी) श्रेणी है।

'सेट' की मोनोइडल श्रेणी संरचना कार्टेसियन उत्पाद द्वारा टेंसर के रूप में दी गई है और इकाई के रूप में एक सिंगलटन सेट है। वास्तव में परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) वाली किसी भी श्रेणी को एक मोनोइडल संरचना दी जा सकती है। N-'Cat' का पुनरावर्ती निर्माण ठीक काम करता है क्योंकि यदि एक श्रेणी C में परिमित उत्पाद हैं, की श्रेणी C-समृद्ध श्रेणियों के उत्पाद भी सीमित हैं।

हालांकि यह अवधारणा कुछ उद्देश्यों के लिए बहुत सख्त है, उदाहरण के लिए, होमोटॉपी सिद्धांत, जहां कमजोर संरचनाएं उच्च श्रेणियों के रूप में उत्पन्न होती हैं, होमोलॉजी सिद्धांत और होमोटॉपी सिद्धांत के बीच की सीमा पर बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए एक नई नींव देने के रूप में सख्त क्यूबिकल उच्च होमोटॉपी ग्रुपोइड्स भी उत्पन्न हुए हैं; नीचे दी गई पुस्तक में संदर्भित लेख नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें।

कमजोर उच्च श्रेणियां

Main article: Weak n-category

कमजोर में n-categories, साहचर्य और पहचान की शर्तें अब सख्त नहीं हैं (अर्थात, वे समानता द्वारा नहीं दी जाती हैं), बल्कि अगले स्तर के एक समरूपता तक संतुष्ट हैं। टोपोलॉजी में एक उदाहरण पथ (टोपोलॉजी) की रचना है, जहां पहचान और संघ की स्थिति केवल मानकीकरण तक होती है, और इसलिए होमोटॉपी तक, जो कि है 2-isomorphism इसके लिए 2-category. ये और-समरूपता सजातीय समूहों के बीच सबसे अच्छा व्यवहार करते हैं और इसे व्यक्त करना कमजोर की परिभाषा में कठिनाई है n-categories. कमज़ोर 2-categories, जिसे द्विश्रेणी भी कहा जाता है, सबसे पहले स्पष्ट रूप से परिभाषित किए गए थे। इनमें से एक विशिष्टता यह है कि एक वस्तु के साथ एक द्विश्रेणी वास्तव में एक मोनोइडल श्रेणी है, ताकि द्विश्रेणियों को कई वस्तुओं के साथ मोनोइडल श्रेणियां कहा जा सके। कमज़ोर 3-categories, जिसे tricategory भी कहा जाता है, और उच्च-स्तरीय सामान्यीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए कठिन होते जा रहे हैं। कई परिभाषाएँ दी गई हैं, और यह बताना कि वे कब समतुल्य हैं, और किस अर्थ में, श्रेणी सिद्धांत में अध्ययन का एक नया उद्देश्य बन गया है।

अर्ध-श्रेणियां

Main article: Quasi-category

कमजोर कान परिसर, या अर्ध-श्रेणियां, कान की स्थिति के कमजोर संस्करण को संतुष्ट करने वाले साधारण सेट हैं। आंद्रे जोयल ने दिखाया कि वे उच्च श्रेणी के सिद्धांत के लिए एक अच्छा आधार हैं। हाल ही में, 2009 में, इस सिद्धांत को जैकब लुरी द्वारा आगे व्यवस्थित किया गया है, जो उन्हें केवल अनंत श्रेणियां कहते हैं, हालांकि बाद वाला शब्द भी किसी भी k के लिए (अनंत, k) श्रेणियों के सभी मॉडलों के लिए एक सामान्य शब्द है।

सरल रूप से समृद्ध श्रेणियाँ

Main article: Simplicially enriched category

सरल रूप से समृद्ध श्रेणियां, या सरलीकृत श्रेणियां, सरलीकृत सेटों पर समृद्ध श्रेणियां हैं। हालांकि, जब हम उन्हें (अनंत, 1)-श्रेणी | (अनंत, 1)-श्रेणियों के लिए एक मॉडल के रूप में देखते हैं, तो कई स्पष्ट धारणाएँ (जैसे, सीमा (श्रेणी सिद्धांत)) इस अर्थ में संबंधित धारणाओं से सहमत नहीं होती हैं। समृद्ध श्रेणियों की। अन्य समृद्ध मॉडलों के लिए समान, जैसे स्थलाकृतिक रूप से समृद्ध श्रेणियां।

स्थलीय रूप से समृद्ध श्रेणियां

Main article: Topological category

टोपोलॉजिकल रूप से समृद्ध श्रेणियां (कभी-कभी केवल टोपोलॉजिकल श्रेणियां कहलाती हैं) टोपोलॉजिकल स्पेस की कुछ सुविधाजनक श्रेणी से समृद्ध श्रेणियां हैं, उदा। सघन रूप से उत्पन्न स्थान हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी।

सेगल श्रेणियां

Main article: Segal category

ये 1998 में हिर्शोविट्ज़ और सिम्पसन द्वारा शुरू की गई उच्च श्रेणियों के मॉडल हैं, आंशिक रूप से 1974 में ग्रीम सहगल के परिणामों से प्रेरित।

यह भी देखें

• उच्च आयामी बीजगणित
• सामान्य सार बकवास
• वर्गीकरण
• सुसंगतता (होमोटोपी सिद्धांत)

संदर्भ

• Baez, John C.; Dolan, James (1998). "Categorification". arXiv:math/9802029.
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. arXiv:math.CT/0305049. ISBN 0-521-53215-9.
• Simpson, Carlos (2010). "Homotopy theory of higher categories". arXiv:1001.4071 [math.CT]. Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)

• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press. arXiv:math.CT/0608040. ISBN 978-0-691-14048-3. As PDF.
• nLab, the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
• Joyal's Catlab, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Tracts in Mathematics. Vol. 15. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-083-8.

बाहरी संबंध

• Baez, John (24 February 1996). "Week 73: Tale of n-Categories".
• The n-Category Cafe — a group blog devoted to higher category theory.
• Leinster, Tom (8 March 2010). "A Perspective on Higher Category Theory".