बाइनरी ऑपरेशन

Not to be confused with बिटवाइज़ ऑपरेशन.

एक बाइनरी ऑपरेशन $\circ$ तर्कों के संयोजन के लिए एक नियम है $x$ तथा $y$ उत्पादन करना $x\circ y$

गणित में, एक बाइनरी ऑपरेशन या युग्मकीय ऑपरेशन एक अन्य अवयव उत्पन्न करने के लिए दो अवयवों (गणित) (संकार्य कहा जाता है) के संयोजन के लिए एक नियम है। अधिक औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन एरीटी दो का एक ऑपरेशन (गणित) है।

अधिक विशेष रूप से, एक समुच्चय (गणित) पर एक आंतरिक बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन है जिसका फलन के दो डोमेन और सहप्रांत एक ही समुच्चय हैं। उदाहरणों में जोड़, घटाव और गुणा की परिचित अंकगणितीय संक्रियाएं सम्मिलित हैं। अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में सरलता से पाए जाते हैं, जैसे सदिश जोड़, आव्यूह गुणन और संयुग्मन (समूह सिद्धांत)।

एरीटी दो का एक ऑपरेशन जिसमें कई समुच्चय सम्मिलित होते हैं, कभी-कभी 'बाइनरी ऑपरेशन' भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि का अदिश गुणन एक सदिश उत्पन्न करने के लिए एक अदिश और एक सदिश लेता है, और अदिश गुणनफल एक अदिश उत्पन्न करने के लिए दो सदिश लेता है। ऐसे बाइनरी ऑपरेशनों को मात्र बाइनरी फलन कहा जा सकता है।

बाइनरी ऑपरेशनों अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं की कुंजीशिला हैं जिनका अध्ययन बीजगणित में किया जाता है, विशेष रूप से अर्धसमूह, एकाभ, समूह (गणित), वलय (बीजगणित), क्षेत्र (गणित), और सदिश रिक्त समष्टि में।

शब्दावली

अधिक सटीक रूप से, एक समुच्चय (गणित) पर एक बाइनरी ऑपरेशन $S$ कार्तीय गुणनफल के अवयवों का मानचित्र (गणित) है $S\times S$ प्रति $S$:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

क्योंकि अवयवों की एक जोड़ी पर ऑपरेशन करने का परिणाम $S$ पुन: का एक अंग है $S$, ऑपरेशन को बंद (या आंतरिक) बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है $S$ (या कभी-कभी बंद करने की संपत्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है (गणित))। यदि $f$ एक फलन (गणित) नहीं है, लेकिन एक आंशिक फलन है $f$ आंशिक बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का विभाजन आंशिक बाइनरी ऑपरेशन है, क्योंकि शून्य से विभाजन नहीं किया जा सकता है: ${\frac {a}{0}}$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए अपरिभाषित है $a$. सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों में, द्विआधारी संक्रियाओं को सभी अवयवों पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है $S\times S$.

कभी-कभी, विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी ऑपरेशन शब्द का उपयोग किसी बाइनरी फलन के लिए किया जाता है।

गुण और उदाहरण

बाइनरी संक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं योग ($+$) और गुणा ($\times$) संख्या और आव्यूह (गणित) के साथ-साथ एक समुच्चय पर कार्यों की संरचना। उदाहरण के लिए,

• वास्तविक संख्या के समुच्चय पर $\mathbb {R}$, $f(a,b)=a+b$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग एक वास्तविक संख्या है।
• प्राकृतिक संख्या के समुच्चय पर $\mathbb {N}$, $f(a,b)=a+b$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। यह पिछले वाले की तुलना में एक अलग बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि समुच्चय अलग हैं।
• मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $f(A,B)=A+B$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का योग a है $2\times 2$ आव्यूह।
• मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $f(A,B)=AB$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का गुणनफल a होता है $2\times 2$ आव्यूह।
• दिए गए समुच्चय के लिए $C$, होने देना $S$ सभी कार्यों का समुच्चय बनें $h\colon C\rightarrow C$. परिभाषित करना $f\colon S\times S\rightarrow S$ द्वारा $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ सभी के लिए $c\in C$, दो कार्यों की संरचना $h_{1}$ तथा $h_{2}$ में $S$. फिर $f$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो कार्यों की संरचना फिर से समुच्चय पर एक फलन है $C$ (अर्थात् सदस्य है $S$).

बीजगणित और औपचारिक तर्क दोनों में रुचि के कई द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय, संतोषजनक हैं $f(a,b)=f(b,a)$ सभी अवयवों के लिए $a$ तथा $b$ में $S$, या साहचर्य, संतोषजनक $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ सभी के लिए $a$, $b$, तथा $c$ में $S$. कई में पहचान अवयव और उलटा अवयव भी होते हैं।

उपरोक्त पहले तीन उदाहरण क्रमविनिमेय हैं और उपरोक्त सभी उदाहरण साहचर्य हैं।

वास्तविक संख्या के समुच्चय पर $\mathbb {R}$, घटाव, अर्थात्, $f(a,b)=a-b$, एक बाइनरी ऑपरेशन है जो कम्यूटिव नहीं है, क्योंकि सामान्य तौर पर, $a-b\neq b-a$. यह साहचर्य भी नहीं है, क्योंकि, सामान्य तौर पर, $a-(b-c)\neq (a-b)-c$; उदाहरण के लिए, $1-(2-3)=2$ लेकिन $(1-2)-3=-4$.

प्राकृतिक संख्या के समुच्चय पर $\mathbb {N}$, बाइनरी ऑपरेशन घातांक, $f(a,b)=a^{b}$, क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि $a^{b}\neq b^{a}$ (cf. समीकरण x^y = y^x|समीकरण x^{वाई </सुप> = वाईx), और तब से सहयोगी भी नहीं है $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$. उदाहरण के लिए, साथ $a=2$, $b=3$, तथा $c=2$, $f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64$, लेकिन $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$. समुच्चय में बदलाव करके $\mathbb {N}$ पूर्णांकों के समुच्चय के लिए $\mathbb {Z}$, यह बाइनरी ऑपरेशन एक आंशिक बाइनरी ऑपरेशन बन जाता है क्योंकि यह अब अपरिभाषित है कब $a=0$ तथा $b$ कोई ऋणात्मक पूर्णांक है। किसी भी समुच्चय के लिए, इस ऑपरेशन की सही पहचान है (जो है $1$) जबसे $f(a,1)=a$ सभी के लिए $a$ समुच्चय में, जो एक पहचान (दो तरफा पहचान) नहीं है $f(1,b)\neq b$ सामान्य रूप में।}

विभाजन (गणित) ($\div$), वास्तविक या परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर एक आंशिक बाइनरी संक्रिया क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं है। टेट्रेशन ($\uparrow \uparrow$), प्राकृतिक संख्याओं पर एक बाइनरी ऑपरेशन के रूप में, क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं है और इसमें कोई पहचान अवयव नहीं है।

नोटेशन

बाइनरी ऑपरेशनों को अक्सर इंफिक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है जैसे $a\ast b$, $a+b$, $a\cdot b$ या (जुगलबंदी द्वारा#बिना प्रतीक वाला गणित) $ab$ प्रपत्र के कार्यात्मक अंकन के बजाय $f(a,b)$. शक्तियाँ आमतौर पर ऑपरेटर के बिना भी लिखी जाती हैं, लेकिन दूसरे तर्क के साथ ऊपर की ओर लिखा हुआ के रूप में।

बाइनरी ऑपरेशनों को कभी-कभी प्रीफिक्स या (अधिक बार) पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हुए लिखा जाता है, जिनमें से दोनों को कोष्ठक से अलग किया जाता है। उन्हें क्रमशः पोलिश संकेतन और रिवर्स पोलिश नोटेशन भी कहा जाता है।

== बाइनरी ऑपरेशनों टर्नरी रिलेशनशिप == के रूप में

एक बाइनरी ऑपरेशन $f$ एक समुच्चय पर $S$ एक टर्नरी संबंध के रूप में देखा जा सकता है $S$, यानी ट्रिपल का समुच्चय $(a,b,f(a,b))$ में $S\times S\times S$ सभी के लिए $a$ तथा $b$ में $S$.

बाहरी बाइनरी ऑपरेशनों

एक बाहरी बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी फलन है $K\times S$ प्रति $S$. यह उस अर्थ में एक समुच्चय पर एक बाइनरी ऑपरेशन से अलग है $K$ जरूरत नहीं है $S$; इसके अवयव बाहर से आते हैं।

बाह्य बाइनरी संक्रिया का एक उदाहरण रेखीय बीजगणित में अदिश गुणन है। यहां $K$ एक क्षेत्र (गणित) है और $S$ उस क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि है।

वैकल्पिक रूप से कुछ बाहरी बाइनरी संक्रियाओं को समूह क्रिया (गणित) के रूप में देखा जा सकता है $K$ पर $S$. इसमें एक साहचर्य गुणन के अस्तित्व की आवश्यकता है $K$, और फ़ॉर्म का संगतता नियम $a(bs)=(ab)s$, कहाँ पे $a,b\in K$ तथा $s\in S$ (यहाँ, बाह्य संक्रिया और गुणन दोनों में $K$ संयोजन द्वारा निरूपित किया जाता है)।

दो सदिश मानचित्रों का डॉट उत्पाद $S\times S$ प्रति $K$, कहाँ पे $K$ एक क्षेत्र है और $S$ एक सदिश समष्टि है $K$. यह लेखकों पर निर्भर करता है कि क्या इसे बाइनरी ऑपरेशन माना जाता है।

यह भी देखें

• :श्रेणी:द्विआधारी संक्रियाओं के गुण
• पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन
• ऑपरेटर (प्रोग्रामिंग)
• त्रिगुट संचालन
• ट्रुथ टेबल # बाइनरी ऑपरेशनों
• यूनरी ऑपरेशन
• मैग्मा (बीजगणित), एक बाइनरी ऑपरेशन से लैस एक समुच्चय।

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon

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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Binary Operation". MathWorld.