विशेष रैखिक समूह

एसएल (2,3) की केली टेबल।

गणित में, विशेष रेखीय समूह SL(n, F) एक क्षेत्र (गणित) F पर डिग्री n का निर्धारक 1 के साथ n × n मैट्रिक्स (गणित) का समुच्चय हैं, जिसमें साधारण मैट्रिक्स गुणन और मैट्रिक्स व्युत्क्रम के समूह संचालन होते हैं। यह निर्धारक के कर्नेल (बीजगणित) द्वारा दिए गए सामान्य रैखिक समूह का सामान्य उपसमूह है

$\det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }.$

जहां F^× F का गुणक समूह है (अर्थात, F को छोड़कर 0)।

येये तत्व "विशेष" हैं क्योंकि वे सामान्य रेखीय समूह की एक बीजगणितीय विविधता बनाते हैं - वे एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं (चूंकि निर्धारक प्रविष्टियों में बहुपद है)।

जब F क्रम q का परिमित क्षेत्र है, तो अंकन SL(n, q) कभी-कभी प्रयोग किया जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

विशेष रैखिक समूह SL(n, R) को 'आर' के रैखिक परिवर्तनों को संरक्षित करने वाले आयतन और अभिविन्यास (गणित) के समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है^एन; यह मात्रा और अभिविन्यास में परिवर्तन को मापने के रूप में निर्धारक की व्याख्या के अनुरूप है।

झूठ उपसमूह

जब एफ 'आर' या 'सी' है, SL(n, F) का एक झूठ उपसमूह है GL(n, F) आयाम का n² − 1. झूठ बीजगणित ${\mathfrak {sl}}(n,F)$ SL(n, F) में सभी शामिल हैं n × n गायब होने वाले ट्रेस (मैट्रिक्स) के साथ एफ पर मैट्रिक्स। लेट ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है।

टोपोलॉजी

किसी भी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से ध्रुवीय अपघटन के अनुसार एकात्मक मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में और धनात्मक eigenvalues ​​​​के साथ एक हेर्मिटियन मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। एकात्मक मैट्रिक्स का निर्धारक यूनिट सर्कल पर है, जबकि हर्मिटियन मैट्रिक्स वास्तविक और सकारात्मक है और चूंकि विशेष रैखिक समूह से मैट्रिक्स के मामले में इन दो निर्धारकों का उत्पाद 1 होना चाहिए, तो उनमें से प्रत्येक होना चाहिए 1. इसलिए, एक विशेष रैखिक मैट्रिक्स को एक विशेष एकात्मक मैट्रिक्स (या वास्तविक मामले में विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स) और एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स हर्मिटियन मैट्रिक्स (या वास्तविक मामले में सममित मैट्रिक्स) के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें निर्धारक 1 है।

इस प्रकार समूह की टोपोलॉजी SL(n, C) एसयू (एन) की टोपोलॉजी की उत्पाद टोपोलॉजी है और यूनिट निर्धारक के हेर्मिटियन मेट्रिसेस के समूह की टोपोलॉजी सकारात्मक आइगेनवैल्यू के साथ है। यूनिट निर्धारक का एक हेर्मिटियन मैट्रिक्स और सकारात्मक eigenvalues ​​​​होने को विशिष्ट रूप से लापता हेर्मिटियन मैट्रिक्स के मैट्रिक्स घातीय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसलिए इसकी टोपोलॉजी यह है (n² − 1)-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष चूँकि SU(n) बस जुड़ा हुआ है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं SL(n, C) 2 से अधिक या उसके बराबर सभी n के लिए भी बस जुड़ा हुआ है।

की टोपोलॉजी SL(n, R) विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (एन) की टोपोलॉजी का उत्पाद है और सममित मैट्रिसेस के समूह की टोपोलॉजी सकारात्मक आइगेनवैल्यू और यूनिट निर्धारक के साथ है। चूंकि बाद वाले मेट्रिसेस को विशिष्ट रूप से सममित ट्रैसलेस मेट्रिसेस के घातांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो यह बाद वाला टोपोलॉजी है (n + 2)(n − 1)/2-आयामी यूक्लिडियन स्थान। इस प्रकार, समूह SL(n, R) का मौलिक समूह SO(n) के समान है, अर्थात, 'Z' के लिए n = 2 और जेड₂ के लिए n > 2. विशेष रूप से इसका मतलब यह है SL(n, R), के विपरीत SL(n, C), केवल 1 से अधिक n के लिए जुड़ा हुआ नहीं है।

== जीएल (एन, ए) == के अन्य उपसमूहों से संबंध

See also: Whitehead's lemma

दो संबंधित उपसमूह, जो कुछ मामलों में एसएल के साथ मेल खाते हैं, और अन्य मामलों में गलती से एसएल के साथ मिल जाते हैं, जीएल के कम्यूटेटर उपसमूह हैं, और शियर मैपिंग द्वारा उत्पन्न समूह। ये दोनों SL के उपसमूह हैं (संक्रमण में निर्धारक 1 है, और det एक एबेलियन समूह के लिए एक मानचित्र है, इसलिए [GL, GL] ≤ SL), लेकिन सामान्य तौर पर इसके साथ मेल नहीं खाता है।

ट्रांसवेक्शन द्वारा उत्पन्न समूह को निरूपित किया जाता है E(n, A) (प्रारंभिक मैट्रिसेस के लिए) या TV(n, A). दूसरे स्टाइनबर्ग संबंधों द्वारा, के लिए n ≥ 3, ट्रांसवेक्शन कम्यूटेटर हैं, इसलिए n ≥ 3, E(n, A) ≤ [GL(n, A), GL(n, A)].

के लिए n = 2, ट्रांसवेक्शन को कम्यूटेटर नहीं होना चाहिए (का 2 × 2 आव्यूह), जैसा कि उदाहरण के लिए देखा गया है जब A 'F' है₂, फिर दो तत्वों का क्षेत्र

$\operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),$

जहाँ Alt(3) और Sym(3) वैकल्पिक समूह सम्मान को दर्शाता है। सममित समूह 3 अक्षरों पर।

हालाँकि, यदि A 2 से अधिक तत्वों वाला क्षेत्र है, तो E(2, A) = [GL(2, A), GL(2, A)], और यदि A 3 से अधिक तत्वों वाला क्षेत्र है, E(2, A) = [SL(2, A), SL(2, A)]. Template:Dubious - discuss

कुछ परिस्थितियों में ये मेल खाते हैं: किसी क्षेत्र या यूक्लिडियन डोमेन पर विशेष रैखिक समूह ट्रांसवेक्शन द्वारा उत्पन्न होता है, और डेडेकिंड डोमेन पर स्थिर विशेष रैखिक समूह ट्रांसवेक्शन द्वारा उत्पन्न होता है। अधिक सामान्य छल्लों के लिए स्थिर अंतर को विशेष व्हाइटहेड समूह द्वारा मापा जाता है SK₁(A) := SL(A)/E(A), जहां SL(A) और E(A) विशेष रैखिक समूह और प्रारंभिक आव्यूहों के समूहों की प्रत्यक्ष सीमा हैं।

जनरेटर और संबंध

अगर एक अंगूठी पर काम कर रहे हैं जहां एसएल शीयर मैपिंग (जैसे फ़ील्ड (गणित) या यूक्लिडियन डोमेन) द्वारा उत्पन्न होता है, तो कोई कुछ संबंधों के साथ ट्रांसवेक्शन का उपयोग करके एसएल के समूह की प्रस्तुति दे सकता है। ट्रांसवेक्शन स्टाइनबर्ग संबंधों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन ये पर्याप्त नहीं हैं: परिणामी समूह स्टाइनबर्ग समूह (के-सिद्धांत) है, जो विशेष रैखिक समूह नहीं है, बल्कि जीएल के कम्यूटेटर उपसमूह का सार्वभौमिक केंद्रीय विस्तार है।

के लिए संबंधों का एक पर्याप्त सेट SL(n, Z) के लिए n ≥ 3 स्टाइनबर्ग संबंधों में से दो, साथ ही एक तीसरे संबंध द्वारा दिया गया है (Conder, Robertson & Williams 1992, p. 19). होने देना T_ij := e_ij(1) विकर्ण पर 1 के साथ और ij स्थिति में प्राथमिक मैट्रिक्स हो, और अन्यत्र 0 (और i ≠ j) हो। तब

${\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}$

SL(n, 'Z'), n ≥ 3 के लिए संबंधों का एक पूरा सेट है।

एसएल^±(एन,एफ)

विशेषता (बीजगणित) में 2 के अलावा, निर्धारक के साथ मैट्रिसेस का सेट ±1 GL का एक अन्य उपसमूह बनाते हैं, जिसमें SL एक सूचकांक 2 उपसमूह (अनिवार्य रूप से सामान्य) के रूप में होता है; विशेषता 2 में यह SL के समान है। यह समूहों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनाता है:

$\mathrm {SL} (n,F)\to \mathrm {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}.$

यह अनुक्रम निर्धारक के साथ कोई मैट्रिक्स लेकर विभाजित होता है −1, उदाहरण के लिए विकर्ण मैट्रिक्स $(-1,1,\dots ,1).$ अगर $n=2k+1$ विषम है, नकारात्मक पहचान मैट्रिक्स $-I$ में है SL^±(n,F) लेकिन अंदर नहीं SL(n,F) और इस प्रकार समूह आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में विभाजित हो जाता है $SL^{\pm }(2k+1,F)\cong SL(2k+1,F)\times \{\pm I\}$. हालांकि, यदि $n=2k$ सम है, $-I$ पहले से ही है SL(n,F) , SL^± विभाजित नहीं होता है, और सामान्य तौर पर एक गैर-तुच्छ समूह विस्तार है।

वास्तविक संख्या से अधिक, SL^±(n, R) के अनुरूप दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं SL(n, R) और एक अन्य घटक, जो बिंदु की पसंद के आधार पर पहचान के साथ आइसोमोर्फिक हैं (निर्धारक के साथ मैट्रिक्स) −1). विषम आयाम में इन्हें स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है $-I$, लेकिन सम आयाम में कोई एक प्राकृतिक पहचान नहीं है।

== जीएल (एन, एफ) == की संरचना समूह GL(n, F) इसके निर्धारक पर विभाजित होता है (हम उपयोग करते हैं F^× ≅ GL(1, F) → GL(n, F) एफ से एकरूपता के रूप में^× से GL(n, F), सेमीडायरेक्ट उत्पाद देखें), और इसलिए GL(n, F) को सेमीडायरेक्ट उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है SL(n, F) एफ द्वारा^×:

जीएल (एन, एफ) = एसएल (एन, एफ) ⋊ एफ^×.

यह भी देखें

• एसएल2(आर)|एसएल(2, आर)
• एसएल2(सी)|एसएल(2, सी)
• मॉड्यूलर समूह
• प्रक्षेपी रैखिक समूह
• अनुरूप नक्शा
• शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व

संदर्भ

• Conder, Marston; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), "Presentations for 3-dimensional special linear groups over integer rings", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 115 (1): 19–26, doi:10.2307/2159559, JSTOR 2159559, MR 1079696
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer