प्रतिबिम्ब (गणित)

This article is about reflection in geometry. For reflexivity of binary relations, see reflexive relation.

फ़ाइल:Simx2=transl OK.svg|right|thumb| एक अक्ष के माध्यम से प्रतिबिंब (लाल वस्तु से हरे रंग की ओर) और उसके बाद पहले अक्ष के समानांतर दूसरे अक्ष पर प्रतिबिंब (हरा से नीला) के परिणामस्वरूप कुल गति (ज्यामिति) होती है जो एक अनुवाद (गणित) है - एक द्वारा दोनों अक्षों के बीच की दूरी के दोगुने के बराबर राशि।

गणित में, एक प्रतिबिंब (प्रतिबिंब भी लिखा जाता है) यूक्लिडियन स्थान से अपने आप में एक फ़ंक्शन (गणित) है जो कि निश्चित बिंदु (गणित) के सेट के रूप में हाइपरप्लेन के साथ एक आइसोमेट्री है; इस सेट को समरूपता की धुरी (आयाम 2 में) या प्रतिबिंब का समतल (गणित) (आयाम 3 में) कहा जाता है। प्रतिबिंब द्वारा किसी आकृति की छवि प्रतिबिंब के अक्ष या तल में उसकी दर्पण छवि होती है। उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर अक्ष के संबंध में प्रतिबिंब के लिए छोटे लैटिन अक्षर p की दर्पण छवि q जैसी दिखाई देगी। क्षैतिज अक्ष में परावर्तन द्वारा इसकी छवि b जैसी दिखाई देगी। प्रतिबिंब एक इनवोल्यूशन (गणित) है: जब लगातार दो बार लागू किया जाता है, तो प्रत्येक बिंदु अपने मूल स्थान पर लौट आता है, और प्रत्येक ज्यामितीय वस्तु अपनी मूल स्थिति में बहाल हो जाती है।

प्रतिबिंब शब्द का उपयोग कभी-कभी यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मैपिंग के एक बड़े वर्ग के लिए किया जाता है, अर्थात् गैर-पहचान आइसोमेट्रीज़ जो कि इन्वोल्यूशन हैं। इस तरह की आइसोमेट्री में निश्चित बिंदुओं (दर्पण) का एक सेट होता है जो एक एफ़िन उप-स्थान होता है, लेकिन संभवतः हाइपरप्लेन से छोटा होता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु प्रतिबिंब केवल एक निश्चित बिंदु के साथ एक अनैच्छिक आइसोमेट्री है; इसके नीचे अक्षर p की छवि डी की तरह दिखेगा. इस ऑपरेशन को बिंदु प्रतिबिंब के रूप में भी जाना जाता है (Coxeter 1969, §7.2), और यूक्लिडियन स्थान को एक सममित स्थान के रूप में प्रदर्शित करता है। यूक्लिडियन सदिश समष्टि में, मूल बिंदु पर स्थित बिंदु में प्रतिबिंब सदिश निषेध के समान है। अन्य उदाहरणों में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक पंक्ति में प्रतिबिंब शामिल हैं। आमतौर पर, हालांकि, प्रतिबिंब शब्द के अयोग्य उपयोग का अर्थ हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब है।

कुछ गणितज्ञ फ्लिप का उपयोग प्रतिबिंब के पर्याय के रूप में करते हैं।

निर्माण

बिंदु Qबिंदु का प्रतिबिम्ब है P लाइन के माध्यम से AB.

एक समतल (या, क्रमशः, 3-आयामी) ज्यामिति में, एक बिंदु का प्रतिबिंब खोजने के लिए उस बिंदु से प्रतिबिंब के लिए उपयोग की जाने वाली रेखा (तल) पर एक लंब गिराएं, और इसे दूसरी तरफ समान दूरी तक बढ़ाएं। किसी आकृति का प्रतिबिंब खोजने के लिए, आकृति में प्रत्येक बिंदु को प्रतिबिंबित करें।

बिंदु को प्रतिबिंबित करने के लिए P लाइन के माध्यम से AB कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके, निम्नानुसार आगे बढ़ें (आंकड़ा देखें):

• चरण 1 (लाल): केंद्र पर एक वृत्त बनाएं P और कुछ निश्चित त्रिज्या r अंक बनाने के लिए A′ और B′ रेखा पर AB, जो से समान दूरी पर होगा P.
• चरण 2 (हरा): केंद्र में वृत्त बनाएं A′ और B′ त्रिज्या होना r. P और Q इन दोनों वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

बिंदु Q तब बिंदु का प्रतिबिंब है Pलाइन के माध्यम से AB.

गुण

छवि:Simx2=rotOK.svg|right|thumb| एक अक्ष पर परावर्तन के बाद दूसरे अक्ष में परावर्तन जो पहले अक्ष के समानांतर नहीं है, के परिणामस्वरूप कुल गति (ज्यामिति) होती है जो कि अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर एक घूर्णन (गणित) है, जो कि दोनों के बीच के कोण के दोगुने कोण से होता है। कुल्हाड़ियाँ

प्रतिबिंब के लिए मैट्रिक्स (गणित) निर्धारक -1 और eigenvalues ​​-1, 1, 1, ..., 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। ऐसे दो मैट्रिक्स का उत्पाद एक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है जो घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक घूर्णन (गणित) मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों की एक सम संख्या में प्रतिबिंबित होने का परिणाम है, और प्रत्येक अनुचित घूर्णन एक विषम संख्या में प्रतिबिंबित होने का परिणाम है। इस प्रकार प्रतिबिंब ऑर्थोगोनल समूह उत्पन्न करते हैं, और इस परिणाम को कार्टन-ड्युडोने प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

इसी प्रकार यूक्लिडियन समूह, जिसमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सभी आइसोमेट्री शामिल हैं, एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। सामान्य तौर पर, एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न एक समूह (गणित) को प्रतिबिंब समूह के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार उत्पन्न परिमित समूह कॉक्सेटर समूहों के उदाहरण हैं।

तल में एक रेखा पर परावर्तन

Further information on reflection of light rays: Specular reflection § Direction of reflection

दो आयामों में मूल बिंदु के माध्यम से एक रेखा पर प्रतिबिंब को निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$\operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,$

कहाँ $v$ प्रतिबिंबित होने वाले वेक्टर को दर्शाता है, $l$ उस रेखा में किसी भी वेक्टर को दर्शाता है जिस पर प्रतिबिंब होता है, और $v\cdot l$ के डॉट उत्पाद को दर्शाता है $v$ साथ $l$. ध्यान दें उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$\operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,$

कह रहे हैं कि का एक प्रतिबिंब $v$ आर-पार $l$ के सदिश प्रक्षेपण के 2 गुना के बराबर है $v$ पर $l$, वेक्टर को घटाएं $v$. एक पंक्ति में प्रतिबिंबों का eigenvalues ​​​​1, और −1 होता है।

एन आयामों में हाइपरप्लेन के माध्यम से प्रतिबिंब

एक वेक्टर दिया गया $v$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $\mathbb {R} ^{n}$, मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब के लिए सूत्र, ओर्थोगोनल $a$, द्वारा दिया गया है

$\operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,$

कहाँ $v\cdot a$ के डॉट उत्पाद को दर्शाता है $v$ साथ $a$. ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण में दूसरा पद वेक्टर प्रक्षेपण का केवल दोगुना है $v$ पर $a$. इसे कोई भी आसानी से जांच सकता है

• Ref_a(v) = −v, अगर $v$ इसके समानांतर $a$, और
• Ref_a(v) = v, अगर $v$ के लंबवत है a.

ज्यामितीय उत्पाद का उपयोग करते हुए, सूत्र है

$\operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.$

चूंकि ये प्रतिबिंब मूल को तय करने वाले यूक्लिडियन अंतरिक्ष की आइसोमेट्री हैं, इसलिए इन्हें ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। उपरोक्त प्रतिबिंब के अनुरूप ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) है

$R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},$

कहाँ $I$ को दर्शाता है $n\times n$ पहचान मैट्रिक्स और $a^{T}$ ए का स्थानान्तरण है. इसकी प्रविष्टियाँ हैं

$R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},$

कहाँ δ_ij क्रोनकर डेल्टा है।

एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब का सूत्र $v\cdot a=c$ मूल के माध्यम से नहीं है

$\operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.$

यह भी देखें

• घूर्णन और परावर्तन का समन्वय करें
• गृहस्थ परिवर्तन
• व्युत्क्रम ज्यामिति
• घूर्णन का तल
• प्रतिबिंब मानचित्रण
• प्रतिबिंब समूह

संदर्भ

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Reflection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Reflection". MathWorld.

बाहरी संबंध

• Reflection in Line at cut-the-knot
• Understanding 2D Reflection and Understanding 3D Reflection by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.