विनाशक (रिंग सिद्धांत)

गणित में, उपसमुच्चय का संहारक S एक रिंग (गणित) पर एक मॉड्यूल (गणित) का आदर्श (रिंग सिद्धांत) रिंग के तत्वों द्वारा गठित होता है जो प्रत्येक तत्व द्वारा गुणा करने पर हमेशा शून्य देता है S.

एक अभिन्न डोमेन पर, एक मॉड्यूल जिसमें एक गैर-शून्य विनाशक होता है वह एक मरोड़ मॉड्यूल होता है, और एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल मरोड़ मॉड्यूल में एक गैर-शून्य विनाशक होता है।

उपरोक्त परिभाषा नॉनकम्यूटेटिव रिंग के मामले में भी लागू होती है, जहां बाएं मॉड्यूल का बायां संहारक एक बायां आदर्श है, और दाएं मॉड्यूल का दायां-विनाशक एक दायां आदर्श है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि R एक रिंग (गणित) है, और मान लीजिए कि M एक बायाँ R-मॉड्यूल (गणित) है। एम का एक खाली सेट | गैर-रिक्त उपसमुच्चय एस चुनें। एस का 'विनाशकारी', एन को दर्शाया गया है_R(S), R में सभी तत्वों r का समुच्चय इस प्रकार है कि, S में सभी s के लिए, rs = 0. सेट नोटेशन में,

$\mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid s\in S$ तात्पर्य $rs=0\}$

यह R के सभी तत्वों का समुच्चय है जो S को नष्ट कर देता है (वे तत्व जिनके लिए S एक मरोड़ समुच्चय है)। संशोधन के बाद, सही मॉड्यूल के सबसेट का भी उपयोग किया जा सकता हैsr = 0 परिभाषा में.

किसी एक तत्व x का संहारक आमतौर पर Ann लिखा जाता है_R(x) ऐन के स्थान पर_R({एक्स})। यदि रिंग आर को संदर्भ से समझा जा सकता है, तो सबस्क्रिप्ट आर को छोड़ा जा सकता है।

चूँकि R अपने आप में एक मॉड्यूल है, S को स्वयं R का एक उपसमुच्चय माना जा सकता है, और चूँकि R दाएँ और बाएँ दोनों R मॉड्यूल है, इसलिए बाएँ या दाएँ पक्ष को इंगित करने के लिए नोटेशन को थोड़ा संशोधित किया जाना चाहिए। आम तौर पर $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ और $r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ या यदि आवश्यक हो, तो बाएँ और दाएँ विनाशकों को अलग करने के लिए कुछ समान सबस्क्रिप्ट योजना का उपयोग किया जाता है।

यदि एम एक आर-मॉड्यूल है और Ann_R(M) = 0, तो M को 'वफादार मॉड्यूल' कहा जाता है।

गुण

यदि S बाएँ R मॉड्यूल M का उपसमुच्चय है, तो Ann(S) बाएँ आदर्श (रिंग सिद्धांत)#R की परिभाषाएँ है। यदि S, M का एक मॉड्यूल_(गणित)#सबमॉड्यूल_और_समरूपता है, तो ऐन_R(S) एक दोतरफा आदर्श भी है: (ac)s = a(cs) = 0, क्योंकि cs, S का एक अन्य तत्व है। यदि S, M का उपसमुच्चय है और N, S द्वारा उत्पन्न M का उपमॉड्यूल है, तो सामान्य तौर पर ऐन_R(एन) ऐन का एक उपसमुच्चय है_R(एस), लेकिन वे आवश्यक रूप से समान नहीं हैं। यदि R क्रमविनिमेय वलय है, तो समानता कायम रहती है।

एम को आर/एन के रूप में भी देखा जा सकता है_R(एम)-क्रिया का उपयोग करने वाला मॉड्यूल ${\overline {r}}m:=rm\,$. संयोग से, इस तरह से R मॉड्यूल को R/I मॉड्यूल में बनाना हमेशा संभव नहीं होता है, लेकिन यदि आदर्श I, M के विनाशक का एक उपसमुच्चय है, तो यह क्रिया अच्छी तरह से परिभाषित है। आर/एन के रूप में माना जाता है_R(एम)-मॉड्यूल, एम स्वचालित रूप से एक वफादार मॉड्यूल है।

क्रमविनिमेय वलय के लिए

इस पूरे अनुभाग में, आइए $R$ एक क्रमविनिमेय वलय बनें और $M$ एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल (संक्षेप में, परिमित) $R$-मापांक।

समर्थन से संबंध

याद रखें कि एक मॉड्यूल के समर्थन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.$

फिर, जब मॉड्यूल अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, तो संबंध होता है

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M$,

कहाँ $V(\cdot )$ उपसमुच्चय युक्त अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है।

संक्षिप्त सटीक क्रम

मॉड्यूल के संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को देखते हुए,

$0\to M'\to M\to M''\to 0,$

समर्थन संपत्ति

$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',$

साथ ही संहारकर्ता से संबंध का तात्पर्य है

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).$

अधिक विशेष रूप से, हमारे बीच संबंध हैं

$\operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').$

यदि अनुक्रम विभाजित हो जाता है तो बाईं ओर की असमानता हमेशा एक समानता होती है। वास्तव में यह मॉड्यूल के मॉड्यूल के मनमाने प्रत्यक्ष योग के लिए लागू होता है

$\operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).$

भागफल मॉड्यूल और संहारक

एक आदर्श दिया $I\subseteq R$ और जाने $M$ एक परिमित मॉड्यूल हो, तो संबंध है

${\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)$

समर्थन पर. सहारे के संबंध का प्रयोग करने से यह संहारक के साथ संबंध बताता है

$V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).$

उदाहरण

पूर्णांकों पर

ऊपर $\mathbb {Z}$ किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल को एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय से उसके मरोड़ वाले हिस्से के साथ उसके मुक्त भाग के प्रत्यक्ष योग के रूप में पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है। फिर, एक परिमित मॉड्यूल का विनाशक केवल गैर-तुच्छ है यदि यह पूरी तरह से मरोड़ है। यह है क्योंकि

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)$

चूंकि एकमात्र तत्व प्रत्येक को मार रहा है $\mathbb {Z}$ है $0$. उदाहरण के लिए, का संहारक $\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3$ है

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),$

द्वारा उत्पन्न आदर्श $(6)$. वास्तव में एक मरोड़ मॉड्यूल का विनाशक

$M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}$

उनके लघुत्तम समापवर्त्य से उत्पन्न आदर्श के समरूपी है, $(\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))$. इससे पता चलता है कि संहारकों को आसानी से पूर्णांकों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

एक क्रमविनिमेय वलय के ऊपर R

वास्तव में, एक ऐसी ही गणना है जो एक क्रमविनिमेय वलय पर किसी भी परिमित मॉड्यूल के लिए की जा सकती है $R$. याद रखें कि परिमितता की परिभाषा $M$ तात्पर्य यह है कि एक सही-सटीक अनुक्रम मौजूद है, जिसे प्रेजेंटेशन कहा जाता है

$R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0$

कहाँ $\phi$ में है ${\text{Mat}}_{k,l}(R)$. लिखना $\phi$ स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स (गणित) के रूप में इसे देता है

$\phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{bmatrix}}$

इस तरह $M$ प्रत्यक्ष योग अपघटन है

$M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))}}$

यदि हम इनमें से प्रत्येक आदर्श को इस प्रकार लिखें

$I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))$

फिर आदर्श $I$ द्वारा दिए गए

$V(I)=\bigcup _{i=1}^{n}V(I_{i})$

संहारक प्रस्तुत करता है.

k[x,y] से अधिक

क्रमविनिमेय वलय के ऊपर $k[x,y]$ एक क्षेत्र के लिए (गणित) $k$, मॉड्यूल का विनाशक

$M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}$

आदर्श द्वारा दिया जाता है

${\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).$

संहारक आदर्शों पर श्रृंखला की स्थितियाँ

स्वरूप के आदर्शों की जाली (क्रम)। $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)$ जहां S, R का एक उपसमुच्चय है, जब आंशिक रूप से उपसमुच्चय द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, तो इसमें एक पूर्ण जाली शामिल होती है। उन छल्लों का अध्ययन करना दिलचस्प है जिनके लिए यह जाली (या इसका दायां समकक्ष) आरोही श्रृंखला स्थिति या अवरोही श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करता है।

आर के बाएं विनाशक आदर्शों की जाली को निरूपित करें ${\mathcal {LA}}\,$ और आर के सही विनाशक आदर्शों की जाली ${\mathcal {RA}}\,$. ह ज्ञात है कि ${\mathcal {LA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर ${\mathcal {RA}}\,$ डी.सी.सी. को संतुष्ट करता है, और सममित रूप से ${\mathcal {RA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर ${\mathcal {LA}}\,$ डी.सी.सी. को संतुष्ट करता है यदि किसी भी जाली में इनमें से कोई भी श्रृंखला स्थिति है, तो आर के पास इडेम्पोटेंट (रिंग सिद्धांत) का कोई अनंत ऑर्थोगोनल सेट नहीं है।

यदि R एक वलय है जिसके लिए ${\mathcal {LA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है और _RR में एक मॉड्यूल का परिमित यूनिफ़ॉर्म मॉड्यूल # यूनिफ़ॉर्म आयाम होता है, तो R को लेफ्ट गोल्डी अंगूठी कहा जाता है।

क्रमविनिमेय वलय के लिए श्रेणी-सैद्धांतिक विवरण

जब R क्रमविनिमेय है और M एक R-मॉड्यूल है, तो हम ऐन का वर्णन कर सकते हैं_R(एम) एक्शन मैप के कर्नेल (बीजगणित) के रूप में R → End_R(M) पहचान मानचित्र के एडजंक्शन (श्रेणी सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है M → M होम-टेंसर एडजंक्शन के साथ।

अधिक सामान्यतः, मॉड्यूल का एक द्विरेखीय मानचित्र दिया गया है $F\colon M\times N\to P$, एक उपसमुच्चय का संहारक $S\subseteq M$ में सभी तत्वों का समुच्चय है $N$ जो सर्वनाश कर दे $S$:

$\operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.$

इसके विपरीत, दिया गया $T\subseteq N$, कोई संहारक को इसके उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है $M$.

संहारक उपसमुच्चय के बीच एक गैलोइस कनेक्शन देता है $M$ और $N$, और संबंधित बंद करने वाला ऑपरेटर स्पैन से अधिक मजबूत है। विशेष रूप से:

• विनाशक सबमॉड्यूल हैं
• $\operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))$
• $\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)$

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला एक सदिश स्थान पर एक गैर-अपक्षयी रूप की उपस्थिति है, विशेष रूप से एक आंतरिक उत्पाद: फिर मानचित्र से जुड़ा विनाशक $V\times V\to K$ ऑर्थोगोनल पूरक कहा जाता है।

छल्लों के अन्य गुणों से संबंध

नोथेरियन अंगूठी कम्यूटेटिव रिंग आर पर मॉड्यूल एम को देखते हुए, आर का एक प्रमुख आदर्श जो एम के एक गैर-शून्य तत्व का विनाशक है, उसे एम का संबद्ध प्राइम कहा जाता है।

• एनिहिलेटर्स का उपयोग लेफ्ट रिकार्ट रिंग्स और बेयर रिंग्स को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
• (बाएं) शून्य भाजक का समुच्चय D_S S को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.$

(यहां हम शून्य को शून्य भाजक मानते हैं।)

विशेष रूप से डी_Rआर के (बाएं) शून्य विभाजक का सेट है जो एस = आर लेता है और आर खुद पर बाएं आर-मॉड्यूल के रूप में कार्य करता है।

• जब R क्रमविनिमेय और नोथेरियन वलय है, तो समुच्चय $D_{R}$ आर-मॉड्यूल आर के संबंधित अभाज्यों के संघ (सेट सिद्धांत) के बिल्कुल बराबर है।

यह भी देखें

• सामाजिक (गणित)
• मॉड्यूल का समर्थन
• फाल्टिंग्स का विनाशक प्रमेय

संदर्भ

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Israel Nathan Herstein (1968) Noncommutative Rings, Carus Mathematical Monographs #15, Mathematical Association of America, page 3.
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 228–232, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Richard S. Pierce. Associative algebras. Graduate texts in mathematics, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5