सूचक फलन
गणित में एक सूचक फलन या किसी समूह के उपसमुच्चय का एक ऐसा फलन होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को एक में और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर दिखाता है अर्थात यदि A किसी समुच्चय X का उपसमुच्चय है तब अगर और जहॉं सूचक फलन के लिए एक सामान्य सूचक व अन्य सामान्य सूचक और है
A का सूचक कार्य A से संबंधित सम्पत्ति का इवरसन कोष्ठक है, जो इस प्रकार है-
उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन वास्तविक संख्याओं के उपसमूह के रूप में तर्कसंगत संख्याओं का संकेतक फलन है।
The function is sometimes denoted IA, χA, KA, or even just A.[lower-alpha 1][lower-alpha 2]
परिभाषा
उपसमुच्चय X उपसमुच्चय A का सूचक फलन एक फलन है।
सूचक में शब्दावली
सूचक इसका उपयोग उत्तल विश्लेषण में विशेष फलन विश्लेषण को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसे सूचक फलन की मानक परिभाषा के व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।
सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा एक वास्तविक परिवर्तन शील सांख्यिकी की है (इसे डमी चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द अधिकतर गणित में उपयोग किया जाता है जिसे मुक्त चर और बाध्य सिद्धांत कहा जाता है)
विशेषत फलन शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है इस कारण से संभाव्यवादियों की सूची यहां परिभाषित है जो फलन के लिए सूचक शब्द का उपयोग विशेष रूप से करते हैं, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ फलन शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं [lower-alpha 1] उस फलन का वर्णन करने के लिए जो किसी समूह में सदस्यता को दर्शाता है
धुंधला तर्क और आधुनिक बहुमूल्य तर्क में विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य हैं अर्थात् ,विधेय के सत्य/गलत मूल्यांकन को सत्य की घात के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से बदल दिया जाता है।
बुनियादी गुण
कुछ समूह X के उपसमुच्चय A का संकेतक या विशेष फलन, X के तत्वों को श्रेणी में प्रदर्शित करता है
यह मानचित्रण केवल तभी विशेषणात्मक होता है जब, A X का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो तथा X. अगर तब इसी तरह के तर्क से यदि तब निम्नलिखित बिंदु गुणन का प्रतिनिधित्व करता है तो आदि + और − जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं तथा इसमें औरक्रमशः प्रतिच्छेदन और मिलन बिन्दु हैं
अगर और के दो उपसमुच्चय हैं तब
जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया है कि सूचक फलन साहचर्य में उपयोगी सूचक उपकरण है इसमें अंकन का उपयोग अन्य स्थानों पर किया जाता है उदाहरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में यदि X संभाव्यता माप के साथ एक संभाव्यता स्थान है और A तो फिर एक माप गणित है एक यादृच्छिक चर बन जाता है जिसका अपेक्षित मान संभावना के बराबर होता है जैसे A:
कई स्थानों में जैसे कि आदेशित सिद्धांत, सूचक फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है इसे अधिकतर सामान्यीकृत फलन कहा जाता है प्राथमिक संख्या सिद्धांत मोबियस फलन में सूचक व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में शास्त्रीय पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ में दिया गया है।
माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण
एक संभाव्यता स्थान दिया गया है साथ सूचक यादृच्छिक चर द्वारा परिभाषित किया गया है अगर अन्यथा
- अर्थ
- मौलिक मुक्त भी कहा जाता है
- विचरण
- सहप्रसरण
पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य
कर्ट गोडेल ने अपने 1934 के पेपर में औपचारिक गणितीय प्रणालियों के प्रस्तावों पर प्रतिनिधित्व फलन का वर्णन किया जिसमें तार्किक उलटा इंगित करता है [1]: 42
प्रत्येक वर्ग या संबंध आर के अनुरूप एक प्रतिनिधित्व करने वाला कार्य होगा
स्टीफन क्लेन एक फलन के रूप में आदिम पुनरावर्ती कार्य के संदर्भ में समान परिभाषा प्रस्तुत करते हैं φ एक विधेय का P मान ग्रहण करता है 0 यदि विधेय सत्य है और 1 यदि विधेय गलत है तो [2]उदाहरण के लिए विशिष्ट कार्यों का उत्पाद जब भी कोई एक फलन के बराबर होता है तो 0 यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है या या या फिर उनका उत्पाद है 0. आधुनिक पाठ को जो प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के तार्किक व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है जबकि यह प्रतिनिधित्व करने वाला फलन 0 है जब फलन R सत्य या संतुष्ट है तो कुल के तार्किक कार्यों OR, AND और IMPLY की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है [2]: 228 परिबद्ध-[2]: 228 और असीमित-[2]: 279 ff चालक में और CASE फलन है।[2]: 229
उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में फलन
शास्त्रीय गणित में समूह के विशिष्ट कार्य मान लेते हैं इसमें 1 सदस्य या 0 गैर-सदस्य उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में वास्तविक इकाई अंतराल में मान लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है तथा [0, 1]या अधिक सामान्यतः कुछ सार्वभौमिक बीजगणित या संरचना गणितीय तर्क में अधिकतर कम से कम आंशिक रूप से आदेशित किया गया समूह होना आवश्यक है ऐसे सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को अधिकतर फलन गणित कहा जाता है और संबंधित समूहों को उपसमुच्चय समूह कहा जाता है उपसमुच्चय समूह कई वास्तविक दुनिया विधेय गणित जैसे लंबा, गर्म आदि में देखी गई सदस्यता की घात में क्रमिक परिवर्तन प्राप्त करते हैं।
सूचक फलन के व्युत्पन्न
एक विशेष सूचक फलन हेविसाइड फलन है
यह भी देखें
- डिराक माप।
- सूचक का रंग।
- डिराक डेल्टा।
- विस्तार विधेय तर्क।
- मुक्त चर और बाध्य चर।
- हेविसाइड फलन।
- पहचान फलन।
- इवरसन कोष्ठक।
- डेल्टा एक फलन पहचान के लिए एक सूचक के रूप में देखा जा सकता है।
- मैकाले कोष्ठक।
- बहुरंग समूह।
- सदस्यता फलन।
- सरल कार्य।
- वास्तविक परिवर्तन सांख्यिकी।
- सांख्यिकीय वर्गीकरण।
- शून्य-एक हानि फलन।
संदर्भ
- ↑ Davis, Martin, ed. (1965). अनिर्णीत. New York, NY: Raven Press Books. pp. 41–74.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Kleene, Stephen (1971) [1952]. मेटामैथेमेटिक्स का परिचय (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227.
- ↑ Lange, Rutger-Jan (2012). "संभावित सिद्धांत, पथ इंटीग्रल और संकेतक का लाप्लासियन". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP...11..032L. doi:10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.
स्रोत
- Folland, G.B. (1999). वास्तविक विश्लेषण: आधुनिक तकनीकें और उनके अनुप्रयोग (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
- Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". एल्गोरिदम का परिचय (Second ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
- Davis, Martin, ed. (1965). अनिर्णीत. New York, NY: Raven Press Books.
- Kleene, Stephen (1971) [1952]. मेटामैथेमेटिक्स का परिचय (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company.
- Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
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- Goguen, Joseph (1967). "एल-फजी सेट". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl:10338.dmlcz/103980.
- ↑ 1.0 1.1 The Greek letter χ appears because it is the initial letter of the Greek word χαρακτήρ, which is the ultimate origin of the word characteristic.
- ↑ The set of all indicator functions on X can be identified with the power set of X. Consequently, both sets are sometimes denoted by This is a special case () of the notation for the set of all functions
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