योजनाओं का फाइबर उत्पाद

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, योजनाओं का फाइबर उत्पाद एक मौलिक निर्माण है। इसकी कई व्याख्याएँ और विशेष मामले हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर उत्पाद बताता है कि कैसे एक क्षेत्र में बीजीय विविधता (गणित) एक बड़े क्षेत्र में विविधता निर्धारित करती है, या किस्मों के एक परिवार की वापसी, या किस्मों के एक परिवार का एक फाइबर। आधार परिवर्तन एक निकट से संबंधित धारणा है।

परिभाषा

योजना (गणित) की श्रेणी (गणित) बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक व्यापक सेटिंग है। एक उपयोगी दर्शन (ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है) यह है कि बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग एकल योजना X के बजाय योजनाओं X → Y (जिसे योजना , केवल बीजगणितीय वक्रों का अध्ययन करने के बजाय, कोई किसी आधार योजना Y पर वक्रों के परिवारों का अध्ययन कर सकता है। वास्तव में, दोनों दृष्टिकोण एक दूसरे को समृद्ध करते हैं।

विशेष रूप से, एक क्रमविनिमेय वलय R पर एक योजना का अर्थ है एक योजना फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता की पुरानी धारणा कुछ गुणों के साथ k पर एक योजना के बराबर है। (वास्तव में किन योजनाओं को किस्में कहा जाना चाहिए, इसके लिए अलग-अलग परंपराएं हैं। एक मानक विकल्प यह है कि एक फ़ील्ड k पर विविधता का मतलब परिमित आकारवाद की बीजगणितीय ज्यामिति योजना की एक शब्दावली है # k पर परिमित प्रकार की आकृतियाँ।)

सामान्य तौर पर, योजनाओं के एक रूपवाद फाइबर उत्पाद X ×_Y जेड → जेड.

औपचारिक रूप से: यह योजनाओं की श्रेणी की एक उपयोगी संपत्ति है जिसमें पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) हमेशा मौजूद रहता है। अर्थात्, योजनाओं X → Y और Z → Y के किसी भी आकारिकी के लिए, एक योजना X × है_Y Z को X और Z के आकारिकी के साथ, आरेख बनाते हुए

क्रमविनिमेय आरेख, और जो उस संपत्ति के साथ सार्वभौमिक संपत्ति है। अर्थात्, किसी भी योजना W के लिए रूपवाद के साथ X और Z जिसकी संरचना Y के बराबर है, W से X × तक एक अद्वितीय रूपवाद है_Y Z जो आरेख को लघु बनाता है। हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के साथ, यह स्थिति योजना X × निर्धारित करती है_Y Z एक अद्वितीय समरूपता तक, यदि यह मौजूद है। इस बात का प्रमाण कि योजनाओं के फाइबर उत्पाद हमेशा मौजूद रहते हैं, समस्या को बीजगणित के टेंसर उत्पाद (cf. चिपकाने की योजनाएँ ) तक कम कर देता है। विशेष रूप से, जब एफ़िन योजना है

$X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).$

रूपवाद X ×_Y Z → Z को रूपवाद Z → Y के माध्यम से रूपवाद X → Y का 'आधार परिवर्तन' या 'पुलबैक' कहा जाता है।

कुछ मामलों में, योजनाओं के फाइबर उत्पाद में एक सही जोड़, वेइल प्रतिबंध होता है।

व्याख्याएँ और विशेष मामले

• क्षेत्र k पर योजनाओं की श्रेणी में, 'उत्पाद' X × Y का अर्थ फाइबर उत्पाद X × है_k Y (जो Spec(k) के ऊपर फाइबर उत्पाद के लिए आशुलिपि है)। उदाहरण के लिए, एफ़िन स्पेस ए का उत्पाद^मऔर एⁿ फ़ील्ड k के ऊपर एफ़िन स्पेस A है^म+नके से ऊपर।
• फ़ील्ड k पर स्कीम X और k के किसी फ़ील्ड विस्तार E के लिए, 'आधार परिवर्तन' X_E इसका मतलब फाइबर उत्पाद X × है_Spec(k) विशिष्टता(ई). यहाँ एक्स_E ई पर एक योजना है। उदाहरण के लिए, यदि एक्स प्रक्षेप्य विमान 'पी' में वक्र है²
  _R समीकरण xy द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं R पर² = 7z³, फिर X_C P में सम्मिश्र संख्या वक्र है²
  _C उसी समीकरण द्वारा परिभाषित। किसी फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता के कई गुणों को इसके आधार परिवर्तन के आधार पर k के बीजगणितीय समापन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिति को सरल बनाता है।
• मान लीजिए कि f: वाई y के ऊपर f के 'फाइबर' को फाइबर उत्पाद X × के रूप में परिभाषित किया गया है_Y विशिष्टता(k(y)); यह फ़ील्ड k(y) पर एक योजना है। यह अवधारणा Y द्वारा पैरामीट्रिज्ड योजनाओं के एक परिवार के रूप में योजनाओं X → Y के रूपवाद के मोटे विचार को उचित ठहराने में मदद करती है।
• मान लें कि X, Y और Z एक फ़ील्ड k पर स्कीम हैं, जिसमें k के ऊपर रूपवाद X → Y और Z → Y हैं। फिर फाइबर उत्पाद X x के k-तर्कसंगत बिंदुओं का सेट_Y Z का वर्णन करना आसान है:

$(X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k).$

अर्थात, X x का एक k-बिंदु_Y Z को X और Z के k-बिंदुओं की एक जोड़ी से पहचाना जा सकता है जिनकी Y में समान छवि है। यह योजनाओं के फाइबर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति से तत्काल है।

• यदि X और Z किसी योजना Y की बंद उपयोजनाएं हैं, तो फाइबर उत्पाद X x_Y Z अपनी प्राकृतिक योजना संरचना के साथ बिल्कुल 'योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन' X ∩ Z है। यही बात खुली उपयोजनाओं के लिए भी लागू होती है।

आधार परिवर्तन और अवतरण

योजनाओं के आकारिकी के कुछ महत्वपूर्ण गुण P को मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित किया जाता है। अर्थात्, यदि X → Y में गुण P है और Z → Y योजनाओं का कोई रूप है, तो आधार परिवर्तन X x_Y Z → Z में संपत्ति P है। उदाहरण के लिए, फ्लैट आकारिकी, चिकनी आकारिकी, उचित आकारिकी और आकारिकी के कई अन्य वर्ग मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित हैं। वंश शब्द विपरीत प्रश्न को संदर्भित करता है: यदि पुल-बैक रूपवाद एक्स एक्स_Y Z → Z के पास कुछ गुण P है, क्या मूल रूपवाद X → Y के पास गुण P होना चाहिए? स्पष्ट रूप से यह सामान्य रूप से असंभव है: उदाहरण के लिए, Z खाली योजना हो सकती है, जिस स्थिति में पुल-बैक रूपवाद मूल रूपवाद के बारे में सभी जानकारी खो देता है। लेकिन यदि रूपवाद Z → Y समतल और विशेषण है (जिसे 'वफादारी से सपाट' भी कहा जाता है) और अर्ध-कॉम्पैक्ट रूपवाद|अर्ध-कॉम्पैक्ट है, तो कई गुण Z से Y तक उतरते हैं। जो गुण उतरते हैं उनमें समतलता, चिकनापन, उचितता और शामिल हैं रूपवाद के कई अन्य वर्ग। ये परिणाम अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के वंश सिद्धांत (गणित) का हिस्सा हैं।

उदाहरण: किसी भी फ़ील्ड एक्सटेंशन k ⊂ E के लिए, रूपवाद Spec(E) → Spec(k) ईमानदारी से सपाट और अर्ध-कॉम्पैक्ट है। तो उल्लेखित वंश परिणाम का अर्थ है कि एक योजना X ओवर k k पर स्मूथ है यदि और केवल यदि आधार X बदलता है_E ई पर चिकनी है। यही बात उचितता और कई अन्य गुणों के लिए भी लागू होती है।

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

बाहरी संबंध

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project