विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित

This article is about homological algebra. For the algebraic study of differential equations, see Differential algebra.

गणित में, विशेष रूप से समरूप बीजगणित में, एक विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित सहयोगी बीजगणित है जिसमें एक अतिरिक्त श्रृंखला जटिल संरचना होती है जो एक रिंग संरचना पर बीजगणित का सम्मान करती है।

परिभाषा

एक विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित (या संक्षेप में डीजी-बीजगणित) ए एक मानचित्र से सुसज्जित श्रेणीबद्ध बीजगणित है $d\colon A\to A$ जिसमें या तो डिग्री 1 (कोचेन कॉम्प्लेक्स कन्वेंशन) या डिग्री −1 (चेन कॉम्प्लेक्स कन्वेंशन) है जो दो शर्तों को पूरा करती है:

1. $d\circ d=0$.
   This says that d gives A the structure of a chain complex or cochain complex (accordingly as the differential reduces or raises degree).
2. $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$, where $\operatorname {deg}$ is the degree of homogeneous elements.
   This says that the differential d respects the graded Leibniz rule.

उसी परिभाषा को बताने का एक अधिक संक्षिप्त तरीका यह है कि डीजी-बीजगणित मोनोइडल श्रेणी चेन_कॉम्प्लेक्स#श्रेणी_ऑफ_चेन_कॉम्प्लेक्स में एक मोनोइड वस्तु है। डीजी-बीजगणित के बीच एक डीजी रूपवाद एक श्रेणीबद्ध बीजगणित समरूपता है जो अंतर डी का सम्मान करता है।

एक 'विभेदक श्रेणीबद्ध संवर्धित बीजगणित' (जिसे 'डीजीए-बीजगणित' भी कहा जाता है, एक संवर्धित डीजी-बीजगणित या बस एक 'डीजीए') एक डीजी-बीजगणित है जो ग्राउंड रिंग (गणित) के लिए डीजी आकारिकी से सुसज्जित है (शब्दावली हेनरी कर्तन के कारण है)। चेतावनी: कुछ स्रोत डीजी-बीजगणित के लिए डीजीए शब्द का उपयोग करते हैं।

डीजी-बीजगणित के उदाहरण

टेंसर बीजगणित

टेंसर बीजगणित एक डीजी-बीजगणित है जिसमें जटिल शर्ट के समान अंतर होता है। एक सदिश समष्टि के लिए $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$ एक श्रेणीबद्ध सदिश स्थान है $T(V)$ के रूप में परिभाषित

$T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}$

कहाँ $V^{\otimes 0}=K$.

अगर $e_{1},\ldots ,e_{n}$ के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) है $V$ एक अंतर है $d$ टेंसर बीजगणित पर घटक-वार परिभाषित

$d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)$

आधार तत्वों को भेजना

$d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}$

विशेष रूप से हमारे पास है $d(e_{i})=(-1)^{i}$ इसलिए

$d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}$

कोस्ज़ुल कॉम्प्लेक्स

विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के मूलभूत उदाहरणों में से एक, जिसका व्यापक रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है, कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स है। इसका कारण इसके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला है, जिसमें पूर्ण चौराहों के समतल संकल्प का निर्माण करना शामिल है, और एक व्युत्पन्न योजना से, वे व्युत्पन्न बीजगणित को एक व्युत्पन्न महत्वपूर्ण स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं।

दे-रहम बीजगणित

कई गुना पर विभेदक रूप, बाहरी व्युत्पन्न और विभेदक रूप के साथ मिलकर एक डीजी-बीजगणित बनाते हैं। इनका व्यापक अनुप्रयोग है, जिसमें व्युत्पन्न विरूपण सिद्धांत भी शामिल है। डॉ कहलमज गर्भाशय देखें।

एकवचन सहसंगति

• गुणांकों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस की एकवचन सहसंरचना $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ एक डीजी-बीजगणित है: अंतर संक्षिप्त सटीक अनुक्रम से जुड़े बॉकस्टीन समरूपता द्वारा दिया गया है $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$, और उत्पाद कप उत्पाद द्वारा दिया जाता है। इस विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग कार्टन सेमिनार में ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान की कोहोलॉजी की गणना करने में मदद के लिए किया गया था।

डीजी-बीजगणित के बारे में अन्य तथ्य

• होमोलॉजी (गणित) $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ एक डीजी-बीजगणित का $(A,d)$ एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है. डीजीए-बीजगणित की समरूपता एक संवर्धित बीजगणित है।

यह भी देखें

• होमोटोपी साहचर्य बीजगणित
• विभेदक श्रेणीबद्ध श्रेणी
• विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित
• विभेदक श्रेणीबद्ध योजना
• विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल

संदर्भ

• Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9, see sections V.3 and V.5.6