सुपर बीजगणित

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, एक सुपरबीजगणित एक Z है₂-वर्गीकृत बीजगणित. अर्थात्, यह एक क्रमविनिमेय वलय या क्षेत्र (गणित) पर एक बीजगणित (रिंग सिद्धांत) है जिसमें सम और विषम टुकड़ों में अपघटन होता है और एक गुणन ऑपरेटर होता है जो ग्रेडिंग का सम्मान करता है।

उपसर्ग सुपर- सैद्धांतिक भौतिकी में अतिसममिति के सिद्धांत से आता है। सुपरएल्जेब्रा और उनके निरूपण, सुपरमॉड्यूल, सुपरसिमेट्री तैयार करने के लिए एक बीजगणितीय ढांचा प्रदान करते हैं। ऐसी वस्तुओं के अध्ययन को कभी-कभी सुपर लीनियर बीजगणित कहा जाता है। सुपरएल्जेब्रा सुपरजियोमेट्री के संबंधित क्षेत्र में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं जहां वे वर्गीकृत अनेक गुना ्स, सुपरमैनिफोल्ड्स और सुपरस्कीम की परिभाषाओं में प्रवेश करते हैं।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए K एक क्रमविनिमेय वलय है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, K विशेषता (बीजगणित) 0 का एक क्षेत्र (गणित) है, जैसे 'R' या 'C'।

K के ऊपर एक 'सुपरलेजेब्रा' एक मॉड्यूल (गणित) है|K-मॉड्यूल A, मॉड्यूल अपघटन के प्रत्यक्ष योग के साथ

$A=A_{0}\oplus A_{1}$

साथ में एक द्विरेखीय मानचित्र गुणन A × A → A इस प्रकार

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}$

जहां सबस्क्रिप्ट को मॉड्यूलर अंकगणित 2 पढ़ा जाता है, यानी उन्हें Z के तत्वों के रूप में माना जाता है₂.

एक सुपररिंग, या Z₂-श्रेणीबद्ध वलय, पूर्णांक Z के वलय पर एक सुपरबीजगणित है।

प्रत्येक ए के तत्व_i सजातीय कहा जाता है. एक सजातीय तत्व x की समता, द्वारा निरूपित |x|, यह ए में है या नहीं, इसके अनुसार 0 या 1 है₀ या ए₁. समता 0 के तत्वों को सम और समता 1 के तत्वों को विषम कहा जाता है। यदि x और y दोनों सजातीय हैं तो गुणनफल xy भी वैसा ही है $|xy|=|x|+|y|$.

एक साहचर्य सुपरबीजगणित वह है जिसका गुणन साहचर्य है और एक इकाई सुपरबीजगणित वह है जिसमें गुणात्मक पहचान तत्व होता है। इकाई सुपरबीजगणित में पहचान तत्व आवश्यक रूप से सम होता है। जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न किया जाए, इस लेख में सभी सुपरबीजगणित को साहचर्य और एकात्मक माना जाता है।

एक क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित (या क्रमपरिवर्तनशीलता बीजगणित) वह है जो क्रमविनिमेयता के एक श्रेणीबद्ध संस्करण को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, ए क्रमविनिमेय है यदि

$yx=(-1)^{|x||y|}xy\,$

ए के सभी सजातीय तत्वों x और y के लिए। ऐसे सुपरबीजगणित हैं जो सामान्य अर्थ में क्रमविनिमेय हैं, लेकिन सुपरबीजगणित अर्थ में नहीं। इस कारण से, भ्रम से बचने के लिए कम्यूटेटिव सुपरएल्जेब्रा को अक्सर सुपरकम्यूटेटिव कहा जाता है।

उदाहरण

• क्रमविनिमेय वलय K के ऊपर किसी भी बीजगणित को K के ऊपर विशुद्ध रूप से सम सुपरबीजगणित माना जा सकता है; अर्थात् A लेकर₁ तुच्छ होना.
• ग्रेडिंग मोडुलो 2 को पढ़कर किसी भी Z- या N-ग्रेडेड बीजगणित को सुपरबीजगणित माना जा सकता है। इसमें टेंसर बीजगणित और K के ऊपर बहुपद वलय जैसे उदाहरण शामिल हैं।
• विशेष रूप से, K के ऊपर कोई भी बाहरी बीजगणित एक सुपरबीजगणित है। बाहरी बीजगणित सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित का मानक उदाहरण है।
• सममित बहुपद और एकांतर बहुपद मिलकर एक सुपरबीजगणित बनाते हैं, जो क्रमशः सम और विषम भाग होते हैं। ध्यान दें कि यह डिग्री के अनुसार ग्रेडिंग से भिन्न ग्रेडिंग है।
• क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सुपरबीजगणित हैं। वे आम तौर पर गैर-अनुवांशिक होते हैं।
• सभी एंडोमोर्फिज्म का सेट (निरूपित)। $\mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)$, जहां बोल्डफेस $\mathrm {Hom}$ आंतरिक कहा जाता है $\mathrm {Hom}$, एक सुपर वेक्टर स्पेस के सभी रैखिक मानचित्रों से बना) रचना के तहत एक सुपरबीजगणित बनाता है।
• K में प्रविष्टियों के साथ सभी वर्ग सुपरमैट्रिसेस का सेट M द्वारा निरूपित एक सुपरबीजगणित बनाता है_p|q(क)। इस बीजगणित को रैंक पी|क्यू के के ऊपर एक मुक्त सुपरमॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म के बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है और इस स्थान के लिए उपरोक्त का आंतरिक होम है।
• सुपरबीजगणित से प्यार है, लाई अलजेब्रा का एक श्रेणीबद्ध एनालॉग है। झूठ सुपरबीजगणित गैर-इकाईदार और गैर-साहचर्यात्मक हैं; हालाँकि, कोई एक ली सुपरबीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के एनालॉग का निर्माण कर सकता है जो एक यूनिटल, साहचर्य सुपरबीजगणित है।

आगे की परिभाषाएँ और निर्माण

सम उपबीजगणित

मान लीजिए A एक क्रमविनिमेय वलय K पर एक सुपरबीजगणित है। सबमॉड्यूल A₀, जिसमें सभी सम तत्व शामिल हैं, गुणन के अंतर्गत बंद है और इसमें ए की पहचान शामिल है और इसलिए ए का एक उपबीजगणित बनता है, जिसे स्वाभाविक रूप से 'सम उपबीजगणित' कहा जाता है। यह K के ऊपर एक साधारण बीजगणित (रिंग सिद्धांत) बनाता है।

सभी विषम तत्वों का समुच्चय A₁ एक ए है₀-बिमॉड्यूल जिसका अदिश गुणन सिर्फ ए में गुणन है। ए में उत्पाद ए से लैस है₁ द्विरेखीय रूप के साथ

$\mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}$

ऐसा है कि

$\mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)$

A में सभी x, y और z के लिए₁. यह ए में उत्पाद की संबद्धता से अनुसरण करता है।

ग्रेड इन्वॉल्वमेंट

किसी भी सुपरबीजगणित पर एक कैनोनिकल इनवोल्यूशन (गणित) स्वचालितता होता है जिसे ग्रेड इनवोल्यूशन कहा जाता है। यह सजातीय तत्वों पर दिया जाता है

${\hat {x}}=(-1)^{|x|}x$

और मनमाने तत्वों पर

${\hat {x}}=x_{0}-x_{1}$

कहां एक्स_i x के सजातीय भाग हैं। यदि A में कोई मरोड़ (बीजगणित)|2-मरोड़ नहीं है (विशेष रूप से, यदि 2 उलटा है) तो ग्रेड इनवोल्यूशन का उपयोग A के सम और विषम भागों को अलग करने के लिए किया जा सकता है:

$A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.$

सुपरकम्यूटेटिविटी

ए पर सुपरकम्यूटेटर द्वारा दिया गया बाइनरी ऑपरेटर है

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

सजातीय तत्वों पर, रैखिकता द्वारा ए के सभी तक विस्तारित। A के तत्व x और y को 'सुपरकम्यूट' कहा जाता है यदि [x, y] = 0.

ए का सुपरसेंटर ए के सभी तत्वों का समूह है जो ए के सभी तत्वों के साथ सुपरकम्यूट करता है:

$\mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.$

ए का सुपरसेंटर, सामान्य तौर पर, एक अवर्गीकृत बीजगणित के रूप में ए के बीजगणित के केंद्र से भिन्न होता है। क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित वह है जिसका सुपरसेंटर पूरा A होता है।

सुपर टेंसर उत्पाद

दो सुपरबीजगणित ए और बी के बीजगणित के श्रेणीबद्ध टेंसर उत्पाद को गुणन नियम के साथ एक सुपरबीजगणित ए ⊗ बी के रूप में माना जा सकता है:

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).$

यदि ए या बी पूरी तरह से सम है, तो यह सामान्य अनग्रेडेड टेंसर उत्पाद के बराबर है (सिवाय इसके कि परिणाम ग्रेडेड है)। हालाँकि, सामान्य तौर पर, सुपर टेंसर उत्पाद ए और बी के टेंसर उत्पाद से अलग होता है जिसे सामान्य, अवर्गीकृत बीजगणित माना जाता है।

सामान्यीकरण और स्पष्ट परिभाषा

एक क्रमविनिमेय सुपररिंग पर सुपरएल्जेब्रा को शामिल करने के लिए सुपरएल्जेब्रा की परिभाषा को आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। ऊपर दी गई परिभाषा उस मामले की विशेषज्ञता है जहां आधार रिंग पूरी तरह से सम है।

मान लीजिए R एक क्रमविनिमेय सुपररिंग है। आर पर एक 'सुपरलेजेब्रा' एक सुपरमॉड्यूल है|आर-सुपरमॉड्यूल ए जिसमें आर-बिलिनियर गुणन ए × ए → ए है जो ग्रेडिंग का सम्मान करता है। यहाँ द्विरेखीयता का अर्थ यह है

$r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)$

सभी सजातीय तत्वों r ∈ R और x, y ∈ A के लिए।

समान रूप से, कोई व्यक्ति R पर सुपरबीजगणित को सुपररिंग A के साथ सुपररिंग होमोमोर्फिज्म R → A के रूप में परिभाषित कर सकता है, जिसकी छवि A के सुपरसेंटर में स्थित है।

कोई सुपरएलजेब्रा श्रेणी सिद्धांत को भी परिभाषित कर सकता है। सभी आर-सुपरमॉड्यूल की श्रेणी (गणित) सुपर टेंसर उत्पाद के तहत एक मोनोइडल श्रेणी बनाती है जिसमें आर यूनिट ऑब्जेक्ट के रूप में कार्य करता है। आर पर एक साहचर्य, यूनिटल सुपरबीजगणित को आर-सुपरमॉड्यूल की श्रेणी में एक मोनॉइड (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, एक सुपरबीजगणित एक आर-सुपरमॉड्यूल ए है जिसमें दो (सम) आकारिकी होती है

${\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}$

जिसके लिए सामान्य आरेख आवागमन करते हैं।

संदर्भ

• Deligne, P.; Morgan, J. W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Kac, V. G.; Martinez, C.; Zelmanov, E. (2001). Graded simple Jordan superalgebras of growth one. Memoirs of the AMS Series. Vol. 711. AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-61378-1.

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.