चर (गणित)

For कंप्यूटर विज्ञान में चर, see चर (कंप्यूटर विज्ञान). For अन्य उपयोग, see चर (बहुविकल्पी).

गणित में,लैटिन भाषा में चर किसी भी गणितीय वस्तु के लिए एक गणितीय प्रतीक और प्लेसहोल्डर है। विशेष रूप से, चर , संख्या , वेक्टर , मैट्रिक्स , फ़ंक्शन और फ़ंक्शन की विवेचना , एक सेट , या सेट के तत्व का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

चरों के साथ बीजगणितीय संगणनाएँ जैसे कि वे स्पष्ट संख्याएँ हों, एक संगणना कई प्रकार की समस्याओं का समाधान करती हैं। उदाहरण के लिए, द्विघात सूत्र , द्विघात समीकरण को गुणांकों के संख्यात्मक मानों को चरों के लिए प्रतिस्थापित करके हल करता है जो द्विघात सूत्र में उनका प्रतिनिधित्व करते हैं। गणितीय विवेचना में, चर एक प्रतीक है जो सिद्धांत के एक अनिर्दिष्ट शब्द मेटावेरिएबल का प्रतिनिधित्व करता है, या सिद्धांत का एक मूल उद्देश्य है कि संभावित सरल व्याख्या को उल्लेख किए बिना परिवर्तन किया जाता है।

इतिहास

प्राचीन कार्यों में यूक्लिड के तत्वों जैसे,एकल अक्षर ज्यामितीय बिंदुओं और आकृतियों का उल्लेख करते हैं। 7वीं शतक में, ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्मस्फुट सिद्धांत के द्वारा बीजगणितीय समीकरणों में अज्ञात को दर्शाने के लिए विभिन्न रंगों का प्रयोग किया। इस पुस्तक के एक खंड को कई रंगों के समीकरण कहा जाता है। 16 वीं शताब्दी के अंत में, फ्रांकोइस विएट ने अक्षरों द्वारा ज्ञात और अज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का विचार पेश किया, जिसे आजकल चर कहा जाता है, और उनके साथ कंप्यूटिंग का विचार जैसे कि वे संख्याएं हैं - एक साधारण प्रतिस्थापन द्वारा परिणाम प्राप्त करने के लिए। विएट का सम्मेलन ज्ञात मूल्यों के लिए व्यंजन और अज्ञात के लिए स्वरों का उपयोग करना था। 1637 में, रेने डेसकार्टेस ने एक्स, वाई, और जेड द्वारा समीकरणों में अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के सम्मेलन का आविष्कार किया, और ए, बी, और सी द्वारा जाना जाता है। वियत के सम्मेलन के विपरीत, डेसकार्टेस 'अभी भी आमतौर पर उपयोग में है। गणित में अक्षर x के इतिहास की चर्चा 1887 के वैज्ञानिक अमेरिकी लेख में की गई थी। 1660 के दशक में, आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने स्वतंत्र रूप से बहुत छोता कैलकुलस विकसित किया, जिसमें अनिवार्य रूप से यह अध्ययन करना शामिल है कि कैसे एक चर मात्रा की एक असीम भिन्नता दूसरी मात्रा के एक समान भिन्नता को प्रेरित करती है जो कि पहले चर का एक फ़ंक्शन (गणित) है। लगभग एक सदी बाद, लियोनहार्ड यूलर ने अतिसूक्ष्म कलन की शब्दावली तय की, और संकेतन की शुरुआत की y = f(x) एक समारोह के लिए f, इसका चर x और उसका मूल्य y. 19वीं शताब्दी के अंत तक, चर शब्द लगभग अनन्य रूप से किसी फ़ंक्शन के तर्क और फ़ंक्शन के मान (गणित) के लिए संदर्भित किया जाता था।

19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, ऐसा प्रतीत हुआ कि इनफिनिटसिमल कैलकुलस की नींव को स्पष्ट विरोधाभासों से निपटने के लिए पर्याप्त रूप से औपचारिक नहीं किया गया था जैसे कि कहीं भी अलग-अलग कार्य निरंतर कार्य नहीं करते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, कार्ल वीयरस्ट्रास ने एक औपचारिक परिभाषा द्वारा सीमा (गणित) की सहज धारणा को बदलने से युक्त एक नई औपचारिकता की शुरुआत की। सीमा की पुरानी धारणा तब थी जब चर x बदलता है और की ओर जाता है a, फिर f(x) की ओर जाता है L, प्रवृत्ति की किसी भी सटीक परिभाषा के बिना। Weierstrass ने इस वाक्य को सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया

$(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,$

जिसमें पांच में से कोई भी चर भिन्न नहीं माना जाता है।

इस स्थिर सूत्रीकरण ने चर की आधुनिक धारणा को जन्म दिया, जो केवल एक गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाला प्रतीक है जो या तो अज्ञात है, या किसी दिए गए सेट (गणित) के किसी भी तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या ओं का सेट)।

संकेतन

वेरिएबल्स को आमतौर पर एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है, ज्यादातर लैटिन वर्णमाला से और कम अक्सर ग्रीक वर्णमाला से, जो लोअरकेस या कैपिटल में हो सकता है। पत्र के बाद एक सबस्क्रिप्ट हो सकता है: एक संख्या (जैसा कि in .) x₂), एक और चर (x_i), एक शब्द या एक शब्द का संक्षिप्त नाम (x_total) या गणितीय व्यंजक (x_{2i + 1}) चर (कंप्यूटर विज्ञान) के प्रभाव में, शुद्ध गणित में कुछ चर नामों में कई अक्षर और अंक होते हैं। रेने डेसकार्टेस (1596-1650) के बाद, वर्णमाला की शुरुआत में अक्षर जैसे a, b, c आमतौर पर ज्ञात मानों और मापदंडों के लिए उपयोग किए जाते हैं, और वर्णमाला के अंत में अक्षर जैसे (x, y, z) हैं आमतौर पर अज्ञात और कार्यों के चर के लिए उपयोग किया जाता है। मुद्रित गणित में, इटैलिक टाइपफेस में चर और स्थिरांक सेट करने का मानदंड है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य द्विघात फलन को पारंपरिक रूप से इस प्रकार लिखा जाता है: ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$, जहां a, b और c पैरामीटर हैं (जिन्हें स्थिरांक (गणित) भी कहा जाता है, क्योंकि वे स्थिर कार्य हैं), जबकि x फ़ंक्शन का चर है। इस फ़ंक्शन को निरूपित करने का एक अधिक स्पष्ट तरीका है ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$, जो x की फ़ंक्शन-तर्क स्थिति और a, b और c की स्थिर स्थिति को स्पष्ट करता है। चूँकि c उस पद में आता है जो x का एक अचर फलन है, इसे अचर पद कहा जाता है। गणित की विशिष्ट शाखाओं और अनुप्रयोगों में चर के लिए विशिष्ट नामकरण परंपराएं हैं। समान भूमिकाओं या अर्थों वाले चर को अक्सर लगातार अक्षर या अलग-अलग सबस्क्रिप्ट के साथ एक ही अक्षर सौंपा जाता है। उदाहरण के लिए, 3D निर्देशांक स्थान में तीन अक्षों को पारंपरिक रूप से x, y और z कहा जाता है। भौतिकी में, चर के नाम बड़े पैमाने पर उनके द्वारा वर्णित भौतिक मात्रा से निर्धारित होते हैं, लेकिन विभिन्न नामकरण परंपराएं मौजूद हैं। संभाव्यता और आंकड़ों में अक्सर एक परंपरा का पालन किया जाता है, यादृच्छिक चर के नामों के लिए एक्स, वाई, जेड का उपयोग करना, बेहतर परिभाषित मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले चर के लिए एक्स, वाई, जेड रखना।

विशिष्ट प्रकार के चर

चर के लिए एक ही गणितीय सूत्र में अलग-अलग भूमिकाएँ निभाना आम बात है, और उन्हें अलग करने के लिए नाम या क्वालिफायर पेश किए गए हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य घन समीकरण

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

पाँच चर होने के रूप में व्याख्या की गई है: चार, a, b, c, d, जिन्हें संख्याएँ और पाँचवाँ चर माना जाता है, x, अज्ञात संख्या समझा जाता है। उन्हें अलग करने के लिए, चर x अज्ञात कहा जाता है, और अन्य चरों को पैरामीटर या गुणांक, या कभी-कभी स्थिरांक कहा जाता है, हालांकि यह अंतिम शब्दावली एक समीकरण के लिए गलत है, और इस समीकरण के बाईं ओर परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) के लिए आरक्षित होना चाहिए।

कार्यों के संदर्भ में, चर शब्द आमतौर पर कार्यों के तर्कों को संदर्भित करता है। यह आमतौर पर एक वास्तविक चर के कार्य जैसे वाक्यों में होता है,x फ़ंक्शन का चर है f: x ↦ f(x),f चर का एक कार्य है x(जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन के तर्क को चर द्वारा संदर्भित किया जाता है x)

उसी संदर्भ में, चर जो से स्वतंत्र हैं x स्थिर कार्यों को परिभाषित करते हैं और इसलिए स्थिर कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण का एक स्थिरांक एक मनमाना स्थिर कार्य है जिसे अन्य प्रतिअवकलन प्राप्त करने के लिए एक विशेष प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है। क्योंकि बहुपद और बहुपद फलन के बीच मजबूत संबंध, स्थिरांक शब्द का प्रयोग बहुपद के गुणांकों को निरूपित करने के लिए किया जाता है, जो अनिश्चितों के निरंतर कार्य हैं।

निरंतर कार्य के संक्षिप्त रूप के रूप में स्थिरांक का यह उपयोग गणित में शब्द के सामान्य अर्थ से अलग होना चाहिए। एक 'स्थिर', या 'गणितीय स्थिरांक ' एक अच्छी और स्पष्ट रूप से परिभाषित संख्या या अन्य गणितीय वस्तु है, उदाहरण के लिए, संख्या 0, 1, π और एक समूह (गणित) का पहचान तत्व । चूंकि एक चर किसी भी गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व कर सकता है, एक अक्षर जो एक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है उसे अक्सर एक चर कहा जाता है। यह, विशेष रूप से, का मामला है e तथा π, तब भी जब वे यूलर की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं और 3.14159... चर के लिए अन्य विशिष्ट नाम हैं:

• अज्ञात एक समीकरण में एक चर है जिसे हल करना होता है।
• एक अनिश्चित (चर) एक प्रतीक है, जिसे आमतौर पर चर कहा जाता है, जो बहुपद या औपचारिक शक्ति श्रृंखला में प्रकट होता है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, एक अनिश्चित एक चर नहीं है, लेकिन बहुपद अंगूठी या औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी में एक स्थिर (गणित) है। हालांकि, बहुपद या शक्ति श्रृंखला और उनके द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) के बीच मजबूत संबंध के कारण, कई लेखक अनिश्चित को एक विशेष प्रकार के चर के रूप में मानते हैं।
• एक पैरामीटर एक मात्रा (आमतौर पर एक संख्या) है जो किसी समस्या के इनपुट का एक हिस्सा है, और इस समस्या के पूरे समाधान के दौरान स्थिर रहता है। उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में एक ठोस पिंड का द्रव्यमान और आकार उसकी गति के अध्ययन के लिए पैरामीटर होते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में, पैरामीटर का एक अलग अर्थ होता है और यह किसी फ़ंक्शन के तर्क को दर्शाता है।
• मुक्त चर और बाध्य चर
• एक यादृच्छिक चर एक प्रकार का चर है जिसका प्रयोग संभाव्यता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों में किया जाता है।

चर के ये सभी संप्रदाय शब्दार्थ प्रकृति के हैं, और उनके साथ गणना करने का तरीका (वाक्यविन्यास (तर्क) ) सभी के लिए समान है।

आश्रित और स्वतंत्र चर

Main article: Dependent and independent variables

गणना और भौतिकी और अन्य विज्ञानों में इसके अनुप्रयोग में, एक चर पर विचार करना आम बात है, मान लीजिए y, जिनके संभावित मान दूसरे चर के मान पर निर्भर करते हैं, मान लीजिए x. गणितीय शब्दों में, आश्रित चर y एक फ़ंक्शन (गणित) के मान का प्रतिनिधित्व करता है x. सूत्रों को सरल बनाने के लिए, आश्रित चर के लिए समान प्रतीक का उपयोग करना अक्सर उपयोगी होता है y और फ़ंक्शन मैपिंग x पर y. उदाहरण के लिए, एक भौतिक प्रणाली की स्थिति मापन योग्य मात्राओं पर निर्भर करती है जैसे कि दबाव , तापमान , स्थानिक स्थिति, ... और ये सभी मात्राएँ तब बदलती हैं जब सिस्टम विकसित होता है, अर्थात वे समय के कार्य होते हैं। प्रणाली का वर्णन करने वाले सूत्रों में, इन मात्राओं को वेरिएबल्स द्वारा दर्शाया जाता है जो समय पर निर्भर होते हैं, और इस प्रकार समय के कार्यों के रूप में परोक्ष रूप से माने जाते हैं।

इसलिए, एक सूत्र में, एक आश्रित चर एक चर है जो परोक्ष रूप से दूसरे (या कई अन्य) चर का एक कार्य है। एक स्वतंत्र चर एक चर है जो निर्भर नहीं है। एक चर के आश्रित या स्वतंत्र होने की संपत्ति अक्सर दृष्टिकोण पर निर्भर करती है और आंतरिक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, संकेतन में f(x, y, z), तीन चर सभी स्वतंत्र हो सकते हैं और संकेतन तीन चरों के एक फलन का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी ओर, यदि y तथा z पर निर्भर x (आश्रित चर हैं) तो संकेतन एकल स्वतंत्र चर के एक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है x.

उदाहरण

यदि कोई फ़ंक्शन f को वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक परिभाषित करता है

$f(x)=x^{2}+\sin(x+4)$

तब x एक चर है जो परिभाषित किए जा रहे फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन के तर्क के लिए खड़ा है, जो कि कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

पहचान में

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}$

चर i एक योग चर है जो बारी-बारी से प्रत्येक पूर्णांक 1, 2, ..., n को निर्दिष्ट करता है (इसे 'सूचकांक' भी कहा जाता है क्योंकि इसकी भिन्नता मानों के असतत सेट से अधिक है) जबकि n एक पैरामीटर है (यह सूत्र के भीतर भिन्न नहीं है)।

बहुपद के सिद्धांत में, घात 2 वाले बहुपद को सामान्यतः ax . के रूप में दर्शाया जाता है² + bx + c, जहां a, b और c को गुणांक कहा जाता है (उन्हें निश्चित माना जाता है, यानी, समस्या के पैरामीटर माना जाता है) जबकि x को एक चर कहा जाता है। अपने बहुपद फलन के लिए इस बहुपद का अध्ययन करते समय यह x फलन तर्क के लिए खड़ा होता है। अपने आप में एक वस्तु के रूप में बहुपद का अध्ययन करते समय, x को एक अनिश्चित माना जाता है, और अक्सर इस स्थिति को इंगित करने के लिए एक बड़े अक्षर के साथ लिखा जाएगा।

उदाहरण: आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम का वर्णन करने वाले समीकरण पर विचार करें,

$$PV=Nk_{B}T.$$

इस समीकरण को आम तौर पर चार चर और एक स्थिरांक के रूप में व्याख्यायित किया जाएगा। स्थिरांक है $k_{B}$, बोल्ट्जमान स्थिरांक । चर में से एक, $N$, कणों की संख्या, एक धनात्मक पूर्णांक (और इसलिए एक असतत चर) है, जबकि अन्य तीन, $P,V$ तथा $T$दबाव, आयतन और तापमान के लिए, निरंतर चर हैं।

प्राप्त करने के लिए कोई इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है $P$ अन्य चर के एक समारोह के रूप में,

$$P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$$

फिर $P$, अन्य चरों के एक फलन के रूप में, आश्रित चर है, जबकि इसके तर्क, $V,N$ तथा $T$, स्वतंत्र चर हैं। कोई इस फ़ंक्शन को अधिक औपचारिक रूप से देख सकता है और इसके डोमेन और रेंज के बारे में सोच सकता है: फ़ंक्शन नोटेशन में, यहां $P$ एक समारोह है $P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$.

हालांकि, एक प्रयोग में, स्वतंत्र चरों में से किसी एक पर दबाव की निर्भरता को निर्धारित करने के लिए, एक चर को छोड़कर सभी को ठीक करना आवश्यक है, जैसे कि $T$. यह एक फ़ंक्शन देता है

$$P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},$$

अब किधर $N$ तथा $V$ स्थिरांक भी माने जाते हैं। गणितीय रूप से, यह पहले के फ़ंक्शन का आंशिक अनुप्रयोग बनाता है $P$.

यह दर्शाता है कि कैसे स्वतंत्र चर और स्थिरांक काफी हद तक लिए गए दृष्टिकोण पर निर्भर हैं। कोई सम्मान भी कर सकता है $k_{B}$ एक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए एक चर के रूप में

$$P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$$

मोडुली स्पेस

See also: moduli spaces

स्थिरांक और चरों को ध्यान में रखते हुए मॉड्यूली रिक्त स्थान की अवधारणा को जन्म दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक परवलय के समीकरण पर विचार करें,

$$y=ax^{2}+bx+c,$$

कहाँ पे $a,b,c,x$ तथा $y$ सभी वास्तविक माने जाते हैं। अंक का सेट $(x,y)$ इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले 2D तल में एक परवलय के ग्राफ का पता लगाएं। यहां, $a,b$ तथा $c$ स्थिरांक के रूप में माना जाता है, जो परवलय को निर्दिष्ट करते हैं, जबकि $x$ तथा $y$ चर हैं।

फिर इसके बजाय $a,b$ तथा $c$ चर के रूप में, हम देखते हैं कि 3-टुपल्स का प्रत्येक सेट $(a,b,c)$ एक अलग परवलय से मेल खाती है। यही है, वे 'परवलय के स्थान' पर निर्देशांक निर्दिष्ट करते हैं: इसे परवलयों के एक मापांक स्थान के रूप में जाना जाता है।

पारंपरिक चर नाम

• ए, बी, सी, डी (कभी-कभी ई, एफ तक बढ़ाया जाता है) पैरामीटर या गुणांक के लिए
• एक₀, एक₁, एक₂, ... उन स्थितियों के लिए जहां अलग-अलग अक्षर असुविधाजनक होते हैं
• एक_iया तुम_iकिसी अनुक्रम के i-वें पद के लिए या किसी श्रेणी के i-वें गुणांक के लिए (गणित)
• ई यूलर की संख्या के लिए
• f, g, h फ़ंक्शन (गणित) के लिए (जैसा कि in .) $f(x)$)
• मैं काल्पनिक इकाई के लिए
• i, j, k (कभी-कभी l या h) एक अनुक्रमित परिवार , या इकाई वैक्टर में अलग-अलग पूर्णांक या सूचकांक के लिए
• एल और डब्ल्यू एक आकृति की लंबाई और चौड़ाई के लिए
• l भी एक पंक्ति के लिए, या संख्या सिद्धांत में एक अभाज्य संख्या के लिए जो p . के बराबर नहीं है
• n (दूसरी पसंद के रूप में m के साथ) एक निश्चित पूर्णांक के लिए, जैसे कि वस्तुओं की गिनती या किसी समीकरण की डिग्री (बहुविकल्पी)
• p एक अभाज्य संख्या या प्रायिकता के लिए
• q एक प्रमुख शक्ति या भागफल के लिए
• r त्रिज्या के लिए, शेष फल या सहसंबंध गुणांक
• टी समय के लिए
• एक्स, वाई, जेड यूक्लिडियन ज्यामिति या संबंधित अक्ष (गणित) में एक बिंदु के तीन कार्तीय निर्देशांक के लिए
• z एक सम्मिश्र संख्या के लिए, या आँकड़ों में एक सामान्य वितरण
• α, β, γ, , कोण माप के लिए
• (दूसरी पसंद के रूप में के साथ) मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिए
• एक eigenvalue के लिए
• (कैपिटल सिग्मा) योग के लिए, या (लोअरकेस सिग्मा) मानक विचलन के लिए आंकड़ों में
• μ एक मतलब के लिए

यह भी देखें

• लैम्ब्डा कैलकुलस
• देखने योग्य चर
• भौतिक स्थिरांक
• प्रस्तावक चर

ग्रन्थसूची

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