अगम्य कार्डिनल

समुच्चय सिद्धान्त में, एक बेशुमार सेट बुनियादी संख्या दुर्गम है यदि इसे कार्डिनल अंकगणित के सामान्य संचालन द्वारा छोटे कार्डिनल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक, एक कार्डिनल κ अत्यधिक दुर्गम है यदि यह बेशुमार है, तो यह इससे कम का योग नहीं है κ कार्डिनल से छोटे κ, और $\alpha <\kappa$ तात्पर्य $2^{\alpha }<\kappa$.

दुर्गम कार्डिनल शब्द अस्पष्ट है। लगभग 1950 तक, इसका मतलब कमजोर दुर्गम कार्डिनल था, लेकिन तब से इसका अर्थ आमतौर पर दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल होता है। एक बेशुमार कार्डिनल कमजोर रूप से दुर्गम है यदि यह एक नियमित कार्डिनल कमजोर सीमा कार्डिनल है। यह दृढ़ता से दुर्गम है, या केवल दुर्गम है, अगर यह एक नियमित मजबूत सीमा कार्डिनल है (यह ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है)। कुछ लेखकों को बेशुमार होने के लिए कमजोर और दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल की आवश्यकता नहीं होती है (किस मामले में $\aleph _{0}$ अत्यधिक दुर्गम है)। कमजोर दुर्गम कार्डिनल्स द्वारा पेश किए गए थे Hausdorff (1908), और दृढ़ता से दुर्गम लोगों द्वारा Sierpiński & Tarski (1930) और Zermelo (1930).

प्रत्येक प्रबल दुर्गम कार्डिनल भी कमजोर रूप से दुर्गम है, क्योंकि प्रत्येक मजबूत सीमा कार्डिनल भी एक कमजोर सीमा कार्डिनल है। यदि कॉन्टिनम परिकल्पना#सामान्यीकृत कॉन्टिनम परिकल्पना धारण करती है, तो एक कार्डिनल प्रबल रूप से दुर्गम है यदि और केवल यदि यह कमजोर रूप से दुर्गम है।

$\aleph _{0}$ (aleph number|aleph-null) एक नियमित स्ट्रॉन्ग लिमिट कार्डिनल है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, हर दूसरी अनंत कार्डिनल संख्या नियमित या (कमजोर) सीमा होती है। हालांकि, केवल एक बड़ी कार्डिनल संख्या दोनों हो सकती है और इस प्रकार दुर्बल रूप से दुर्गम हो सकती है।

एक क्रमिक संख्या एक कमजोर दुर्गम कार्डिनल है अगर और केवल अगर यह एक नियमित क्रमसूचक है और यह नियमित अध्यादेशों की एक सीमा है। (शून्य, एक, और ω नियमित अध्यादेश हैं, लेकिन नियमित अध्यादेशों की सीमा नहीं है।) एक कार्डिनल जो कमजोर रूप से दुर्गम है और एक मजबूत सीमा कार्डिनल भी दृढ़ता से दुर्गम है।

एक अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व की धारणा को कभी-कभी इस धारणा के रूप में लागू किया जाता है कि कोई ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड के अंदर काम कर सकता है, दो विचार घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं।

मॉडल और संगति

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विथ चॉइस (ZFC) का तात्पर्य है कि $\kappa$वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का वां स्तर $V_{\kappa }$ जब भी ZFC का एक मॉडल सिद्धांत है $\kappa$ प्रबल दुर्गम है। और ZF का अर्थ है कि गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड|गोडेल ब्रह्मांड $L_{\kappa }$ कभी भी ZFC का एक मॉडल है $\kappa$ कमजोर दुर्गम है। इस प्रकार, ZF के साथ मिलकर एक कमजोर बड़ा कार्डिनल मौजूद है, जिसका अर्थ है कि ZFC संगत है। इसलिए, दुर्गम कार्डिनल एक प्रकार के बड़े कार्डिनल हैं।

अगर $V$ ZFC का एक मानक मॉडल है और $\kappa$ में अप्राप्य है $V$, तब: $V_{\kappa }$ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है; और $Def(V_{\kappa })$ वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी के मेंडेलसन के संस्करण के इच्छित मॉडल में से एक है, जिसमें वैश्विक पसंद शामिल नहीं है, प्रतिस्थापन और सामान्य पसंद द्वारा आकार की सीमा को बदल दिया गया है; और $V_{\kappa +1}$ मोर्स-केली सेट सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है। यहाँ $Def(X)$ Δ का समुच्चय है₀ एक्स के निश्चित उपसमुच्चय (रचनात्मक ब्रह्मांड देखें)। हालाँकि, $\kappa$ के लिए दुर्गम, या यहां तक ​​कि एक कार्डिनल संख्या होने की आवश्यकता नहीं है $V$_$\kappa$ ZF का एक मानक मॉडल होना (देखें दुर्गम कार्डिनल # दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण)।

कल्पना करना $V$ ZFC का एक मॉडल है। या तो वी में कोई मजबूत दुर्गम या, लेने वाला नहीं है $\kappa$ में सबसे छोटा मजबूत दुर्गम होना $V$, $V_{\kappa }$ ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई मजबूत पहुंच योग्य नहीं है। इस प्रकार, ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC+ की संगति से है, कोई मजबूत दुर्गमता नहीं है। इसी तरह, या तो V इसमें कोई कमजोर दुर्गम या, लेना शामिल नहीं है $\kappa$ के किसी भी मानक उप-मॉडल के सापेक्ष कमजोर रूप से दुर्गम है $V$, तब $L_{\kappa }$ ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई कमजोर पहुंच योग्य नहीं है। तो ZFC की निरंतरता का तात्पर्य ZFC + की निरंतरता से है, इसमें कोई दुर्गम दुर्गमता नहीं है। इससे पता चलता है कि ZFC एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकता है, इसलिए ZFC किसी भी दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के अनुरूप नहीं है।

यह मुद्दा कि क्या ZFC दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप है, अधिक सूक्ष्म है। पिछले पैराग्राफ में स्केच किया गया प्रमाण कि ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC + की संगति से है, ZFC में एक दुर्गम कार्डिनल नहीं है जिसे औपचारिक रूप दिया जा सकता है। हालाँकि, यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है, कोई प्रमाण नहीं है कि ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC + की संगति से है, ZFC में एक दुर्गम कार्डिनल को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। यह गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि यदि ZFC + एक दुर्गम कार्डिनल सुसंगत है, तो यह अपनी स्वयं की संगति साबित नहीं कर सकता है। क्योंकि ZFC + एक दुर्गम कार्डिनल है जो ZFC की संगति को साबित करता है, अगर ZFC ने साबित कर दिया कि उसकी खुद की संगति ZFC की संगति का अर्थ है + एक दुर्गम कार्डिनल है तो यह बाद वाला सिद्धांत अपनी खुद की स्थिरता साबित करने में सक्षम होगा, जो असंभव है अगर यह सुसंगत है।

दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के लिए तर्क हैं जिन्हें ZFC में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा ही एक तर्क प्रस्तुत किया Hrbáček & Jech (1999, p. 279), यह है कि सेट थ्योरी के किसी विशेष मॉडल एम के सभी अध्यादेशों का वर्ग स्वयं एक दुर्गम कार्डिनल होगा यदि सेट थ्योरी का एक बड़ा मॉडल एम का विस्तार करता है और एम के तत्वों के पॉवरसेट को संरक्षित करता है।

दुर्गमों के एक उचित वर्ग का अस्तित्व

सेट थ्योरी में कई महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो कार्डिनल्स के एक उचित वर्ग के अस्तित्व पर जोर देते हैं जो ब्याज की भविष्यवाणी को पूरा करते हैं। दुर्गमता के मामले में, संबंधित स्वयंसिद्ध कथन है कि प्रत्येक कार्डिनल μ के लिए, एक दुर्गम कार्डिनल है κ जो सख्ती से बड़ा है, μ < κ. इस प्रकार, यह स्वयंसिद्ध दुर्गम कार्डिनल्स के एक अनंत टॉवर के अस्तित्व की गारंटी देता है (और कभी-कभी दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में संदर्भित किया जा सकता है)। जैसा कि किसी भी दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के मामले में है, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध ZFC के स्वयंसिद्धों से अप्राप्य है। ZFC को मानते हुए, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध ग्रोथेंडिक और जीन लुइस वेर्डियर के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध के बराबर है: प्रत्येक सेट ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में समाहित है। ब्रह्माण्ड स्वयंसिद्ध (या समतुल्य रूप से दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध) के साथ ZFC के स्वयंसिद्धों को ZFCU (मूत्रालय के साथ ZFC के साथ भ्रमित नहीं होना) के रूप में दर्शाया गया है। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली उदाहरण के लिए यह साबित करने के लिए उपयोगी है कि हर श्रेणी (गणित) में एक उपयुक्त योनेदा एम्बेडिंग है।

यह एक अपेक्षाकृत कमजोर बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध है क्योंकि यह कहने की मात्रा है कि ∞ अगले खंड की भाषा में 1-अगम्य है, जहां ∞ कम से कम क्रमसूचक को वी में नहीं दर्शाता है, यानी आपके मॉडल में सभी अध्यादेशों की कक्षा।

α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-पहुंच योग्य कार्डिनल्स

α-inaccessible cardinal शब्द अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाओं का उपयोग करते हैं। एक परिभाषा यह है एक कार्डिनल κ कहा जाता है α- दुर्गम, α के लिए कोई भी क्रमिक, यदि κ दुर्गम है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-inaccessibles का सेट कम से कम है κ में असीमित है κ (और इस प्रकार कार्डिनैलिटी κ, तब से κ नियमित है)। इस मामले में 0-दुर्गम कार्डिनल समान रूप से दुर्गम कार्डिनल के समान हैं। एक अन्य संभावित परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल κ α कहा जाता है - यदि दुर्बल रूप से दुर्गम है κ नियमित है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-कमजोर दुर्गमता का सेट इससे कम है κ κ में असीमित है। इस मामले में 0-कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल नियमित कार्डिनल हैं और 1-कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल हैं।

Α-इनएक्सेसिबल कार्डिनल्स को कार्यों के निश्चित बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो निम्न दुर्गमों की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, ψ द्वारा निरूपित करें₀(λ) λ^वें दुर्गम कार्डिनल, फिर ψ के निश्चित बिंदु₀ 1-दुर्गम कार्डिनल हैं। फिर ψ देना_β(λ) λ हो^वें β-अगम्य कार्डिनल, ψ के निश्चित बिंदु_β (β+1)-अगम्य कार्डिनल हैं (मान ψ_β+1(λ))। यदि α एक सीमा क्रमसूचक है, तो एक α-अगम्य प्रत्येक ψ का एक निश्चित बिंदु है_β β < α के लिए (मान ψ_α(λ) λ है^वें ऐसा कार्डिनल)। बड़े कार्डिनल गुणों की सूची के अध्ययन में क्रमिक रूप से बड़े कार्डिनल उत्पन्न करने वाले कार्यों के निश्चित बिंदुओं को लेने की यह प्रक्रिया आम तौर पर सामने आती है।

हाइपर-अगम्य शब्द अस्पष्ट है और इसके कम से कम तीन असंगत अर्थ हैं। कई लेखक इसका उपयोग अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स (1-दुर्गम) की एक नियमित सीमा के अर्थ के लिए करते हैं। अन्य लेखक इसका अर्थ यह करने के लिए उपयोग करते हैं κ है κ-अगम्य। (यह कभी नहीं हो सकता κ+1-अगम्य।) यह कभी-कभी कार्डिनल आंखें के लिए प्रयोग किया जाता है।

शब्द α-अति-अगम्य भी अस्पष्ट है। कुछ लेखक इसका उपयोग α-अगम्य के अर्थ में करते हैं। अन्य लेखक इस परिभाषा का उपयोग करते हैं किसी भी क्रमिक α के लिए, एक कार्डिनल κ है α-हाइपर-अगम्य अगर और केवल अगर κ अति-अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-अति-अगम्यता का सेट इससे कम है κ में असीमित है κ.

हाइपर-हाइपर-अगम्य कार्डिनल और इतने पर समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और हमेशा की तरह यह शब्द अस्पष्ट है।

दुर्बल रूप से अप्राप्य के बजाय दुर्गम रूप से दुर्गम का उपयोग करके, समान परिभाषाएं कमजोर α-अगम्य, कमजोर रूप से अति-अगम्य और कमजोर α-अति-अगम्य के लिए बनाई जा सकती हैं।

महलो कार्डिनल अप्राप्य, अति-अगम्य, अति-अति-अगम्य, ... और इसी तरह हैं।

दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण

सबसे पहले, एक कार्डिनल κ पहुंच योग्य नहीं है अगर और केवल अगर κ निम्नलिखित प्रतिबिंब सिद्धांत संपत्ति है: सभी उपसमुच्चय के लिए $U\subset V_{\kappa }$, वहां मौजूद $\alpha <\kappa$ ऐसा है कि $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ का एक प्राथमिक आधार है $(V_{\kappa },\in ,U)$. (वास्तव में, ऐसे α का सेट क्लब सेट है κ।) समान रूप से, $\kappa$ है $\Pi _{n}^{0}$-सभी n ≥ 0 के लिए पूरी तरह से अवर्णनीय कार्डिनल।

ZF में यह साबित किया जा सकता है कि ∞ कुछ हद तक कमजोर प्रतिबिंब संपत्ति को संतुष्ट करता है, जहां सबस्ट्रक्चर $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ सूत्रों के परिमित सेट के संबंध में केवल 'प्रारंभिक' होना आवश्यक है। आखिरकार, इस कमजोर पड़ने का कारण मॉडल-सैद्धांतिक संतुष्टि संबंध है ⊧ परिभाषित किया जा सकता है, शब्दार्थ सत्य ही (अर्थात $\vDash _{V}$) तर्स्की की अनिर्धारणीयता प्रमेय के कारण नहीं हो सकता|तर्स्की की प्रमेय।

दूसरे, ZFC के तहत यह दिखाया जा सकता है $\kappa$ पहुंच योग्य नहीं है अगर और केवल अगर $(V_{\kappa },\in )$ दूसरे क्रम का तर्क ZFC का एक मॉडल है।

इस मामले में, ऊपर प्रतिबिंब संपत्ति द्वारा मौजूद है $\alpha <\kappa$ ऐसा है कि $(V_{\alpha },\in )$ (पहले क्रम का तर्क) ZFC का एक मानक मॉडल है। इसलिए, ZFC के सकर्मक मॉडल के अस्तित्व की तुलना में दुर्गम कार्डिनल का अस्तित्व एक मजबूत परिकल्पना है।

यह भी देखें

• सांसारिक कार्डिनल, एक कमजोर धारणा
• महलो कार्डिनल, एक मजबूत धारणा
• क्लब सेट
• आंतरिक मॉडल
• वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड
• रचनात्मक ब्रह्मांड

कार्य उद्धृत

• Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
• Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen, 65 (4): 435–505, doi:10.1007/BF01451165, hdl:10338.dmlcz/100813, ISSN 0025-5831, S2CID 119648544
• Hrbáček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to set theory (3rd ed.), New York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
• Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, doi:10.4064/fm-15-1-292-300, ISSN 0016-2736
• Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47, doi:10.4064/fm-16-1-29-47, ISSN 0016-2736. अंग्रेजी अनुवाद: Ewald, William B. (1996), "On boundary numbers and domains of sets: new investigations in the foundations of set theory", From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Oxford University Press, pp. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

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