डिजिटल ज्यामिति

डिजिटल रेखागणित अनिरंतर समुच्चय से संबंधित होती है, जिसे 2डी या 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष की वस्तुओं के डिजिटल प्रतिरूप या छवियों को डिजिटलीकरण करना माना जाता है।

सामान्य भाषा में, डिजिटलीकरण का अर्थ किसी वस्तु को उसके बिंदुओं के अनिरंतर समुच्चय से बदलना होता है। टीवी स्क्रीन, कंप्यूटर के रेखापुंज ग्राफिक्स प्रदर्शन या समाचार पत्रों में हम जो छवियां देखते हैं, वे वास्तव में डिजिटल छवियां हैं।

इसके मुख्य अनुप्रयोग क्षेत्र कंप्यूटर चित्रलेख और छवि विश्लेषण हैं।

अध्ययन के मुख्य पहलू हैं:

• कृत्रिम रचना, डिजिटल डिस्क या डिजिटलीकरण और डिजिटल छवियों के बाद के प्रसंस्करण के माध्यम से वस्तुओं के डिजिटलीकरण प्रतिनिधित्व का सटीक और दक्षतापूर्वक निर्माण करना हैं, उदाहरण के लिए, ब्रेसेनहैम की लाइन एल्गोरिथम।
• डिजिटल समुच्चय के गुणों का अध्ययन; उदाहरण के लिए, पिक प्रमेय, डिजिटल उत्तलता, डिजिटल सीधापन, या डिजिटल प्लानेरिटी देखें।
• वस्तुओं के डिजीटल प्रतिनिधित्व को बदलना, उदाहरण के लिए (ए) सरलीकृत आकृतियों में बदलना जैसे (i) कंकाल, साधारण बिंदुओं को बार-बार हटाकर, जैसे कि एक छवि का डिजिटल टोपोलॉजी नहीं बदलता है, या (ii) औसत दर्जे का अक्ष, स्थानीय गणना करके दिए गए डिजीटल ऑब्जेक्ट प्रतिनिधित्व के दूरी रूपांतरण में मैक्सिमा, या (बी) गणितीय आकारिकी का उपयोग करके संशोधित आकृतियों में।
• डिजिटल छवियों से वास्तविक वस्तुओं या उनके गुणों (क्षेत्र, लंबाई, वक्रता, आयतन, सतह क्षेत्र, और आगे) का पुनर्निर्माण करना।
• डिजिटल कर्व्स, डिजिटल सरफेस और डिजिटल कई गुना का अध्ययन।
• डिजिटल वस्तुओं के लिए ट्रैकिंग एल्गोरिदम डिजाइन करना।
• डिजिटल स्पेस पर कार्य करता है।
• कर्व स्केचिंग, पिक्सेल द्वारा वक्र पिक्सेल खींचने की एक विधि।

त्रिकोणीय जाल पर एक वक्र का पता लगाना

डिजिटल रेखागणित अनिरंतर रेखागणित के साथ बहुत अधिक ओवरलैप करती है और इसे उसका एक हिस्सा माना जा सकता है।

डिजिटल स्पेस

एक 2D डिजिटल स्पेस का मतलब सामान्यतौर पर 2D ग्रिड स्पेस होता है जिसमें केवल 2D यूक्लिडियन स्पेस में पूर्णांक बिंदु होते हैं। एक 2D छवि 2D डिजिटल स्पेस पर एक फ़ंक्शन है (मूर्ति प्रोद्योगिकी देखें)।

रोसेनफेल्ड और काक की पुस्तक में, डिजिटल कनेक्टिविटी को डिजिटल स्पेस में तत्वों के बीच संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 2डी में 4-कनेक्टिविटी और 8-कनेक्टिविटी। पिक्सेल कनेक्टिविटी भी देखें। एक डिजिटल स्पेस और इसकी (डिजिटल-) कनेक्टिविटी एक डिजिटल टोपोलॉजी निर्धारित करती है।

डिजिटल अंतरिक्ष में, डिजिटल रूप से निरंतर कार्य (ए। रोसेनफेल्ड, 1986) और धीरे-धीरे विविध सतह (एल। चेन, 1989) को स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित किया गया था।

एक डिजिटल रूप से निरंतर फ़ंक्शन का मतलब एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें डिजिटल बिंदु पर मान (एक पूर्णांक) समान होता है या अपने पड़ोसियों से अधिकतम 1 से कम होता है। दूसरे शब्दों में, अगर डिजिटल स्पेस में x और y दो आसन्न बिंदु हैं, |f(x) − f(y)| ≤ 1।

एक धीरे-धीरे विविध कार्य एक डिजिटल स्पेस से एक कार्य है $\Sigma$ को $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$ कहाँ $A_{1}<\cdots <A_{m}$ और $A_{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं। इस फलन में निम्नलिखित गुण हैं: यदि x और y दो सन्निकट बिंदु हैं $\Sigma$, मान लीजिए $f(x)=A_{i}$, तब $f(y)=A_{i}$, $f(x)=A_{i+1}$, या $A_{i-1}$. तो हम देख सकते हैं कि धीरे-धीरे विविध कार्य को डिजिटल रूप से निरंतर कार्य से अधिक सामान्य रूप से परिभाषित किया गया है।

उपरोक्त कार्यों से संबंधित एक विस्तार प्रमेय का उल्लेख ए. रोसेनफेल्ड (1986) द्वारा किया गया था और एल. चेन (1989) द्वारा पूरा किया गया था। यह प्रमेय कहता है: चलो $D\subset \Sigma$ और $f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$. धीरे-धीरे विविध विस्तार के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति $F$ का $f$ है : अंक की प्रत्येक जोड़ी के लिए $x$ और $y$ में $D$, मान लीजिए $f(x)=A_{i}$ और $f(y)=A_{j}$, अपने पास $|i-j|\leq d(x,y)$, कहाँ $d(x,y)$ (डिजिटल) के बीच की दूरी है $x$ और $y$.

यह भी देखें

• कम्प्यूटेशनल रेखागणित
• डिजिटल टोपोलॉजी
• अनिरंतर रेखागणित
• संयुक्त रेखागणित
• टोमोग्राफी
• पॉइंट क्लाउड

संदर्भ

• A. Rosenfeld, `Continuous' functions on digital pictures, Pattern Recognition Letters, v.4 n.3, p. 177–184, 1986.
• L. Chen, The necessary and sufficient condition and the efficient algorithms for gradually varied fill, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.

अग्रिम पठन

• Rosenfeld, Azriel (1969). Picture Processing by Computer. Academic Press.
• Rosenfeld, Azriel (1976). Digital picture analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07579-8.
• Rosenfeld, Azriel; Kak, Avinash C. (1982). Digital picture processing. Boston: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2.
• Rosenfeld, Azriel (1979). Picture Languages. Academic Press. ISBN 0-12-597340-3.
• Chassery, J.; A. Montanvert. (1991). Geometrie discrete en analyze d’images. Hermes. ISBN 2-86601-271-2.
• Kong, T. Y.; Rosenfeld, A., eds. (1996). Topological Algorithms for Digital Image Processing. Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, K. (1993). Discrete Images, Objects, and Functions in Zn. Springer. ISBN 0-387-55943-4.
• Herman, G. T. (1998). Geometry of Digital Spaces. Birkhauser. ISBN 0-8176-3897-0.
• Marchand-Maillet, S.; Y. M. Sharaiha (2000). Binary Digital Image Processing. Academic Press. ISBN 0-12-470505-7.
• Soille, P. (2003). Morphological Image Analysis: Principles and Applications. Springer. ISBN 3-540-42988-3.
• Chen, L. (2004). Discrete Surfaces and Manifolds: A Theory of Digital-Discrete Geometry and Topology. SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Rosenfeld, Azriel; Klette, Reinhard (2004). Digital Geometry: Geometric Methods for Digital Image Analysis (The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics). San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3.
• Chen, L. (2014). Digital and discrete geometry: Theory and Algorithms. Springer. ISBN 978-3-319-12099-7.
• Kovalevsky, Vladimir A. (2008). Geometry of locally finite spaces computer agreeble topology and algorithms for computer imagery. Berlin. ISBN 978-3-9812252-0-4.

बाहरी संबंध

• IAPR Technical Committee on Discrete Geometry
• Website on digital geometry and topology
• Course on digital geometry and mathematical morphology (Ch. Kiselman)
• DGtal: Open Source Digital Geometry Toolbox and Algorithms library