सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

गणित में, सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष मामला है, जिसके लिए एक ठोस और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है, सममित कार्य सिद्धांत से लेकर परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन विज्ञान के अध्ययन तक। सममित समूह एस_n आदेश n है!। इसके संयुग्मन वर्गों को n के पूर्णांक विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, जटिल संख्याओं के ऊपर, असमान अलघुकरणीय अभ्यावेदन की संख्या, n के विभाजनों की संख्या के बराबर है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में एक ही सेट द्वारा अपरिमेय अभ्यावेदन को पैरामीट्रिज़ करने का एक प्राकृतिक तरीका है जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज़ करता है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष युवा आरेखों द्वारा।

इस तरह के प्रत्येक अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व को वास्तव में पूर्णांकों पर महसूस किया जा सकता है (पूर्णांक गुणांक वाले मैट्रिक्स द्वारा अभिनय करने वाला प्रत्येक क्रमपरिवर्तन); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के युवा झांकी द्वारा उत्पन्न स्थान पर कार्य करने वाले युवा समरूपताओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम $d_{\lambda }$ यंग आरेख से संबंधित प्रतिनिधित्व का $\lambda$ हुक लंबाई सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के लिए ρ हम एक अलघुकरणीय वर्ण, χ जोड़ सकते हैं^{आर</सुप>. गणना एक्सρ(π) जहां π एक क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायमा नियम का उपयोग कर सकता है . ध्यान दें कि χρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है, वह है, χρ(π) = xपी(प−1πσ) सभी क्रमपरिवर्तन σ के लिए।}

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K की विशेषता (बीजगणित) शून्य के बराबर या n से अधिक है तो Maschke के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS_n अर्धसरल है। इन मामलों में पूर्णांकों पर परिभाषित अलघुकरणीय अभ्यावेदन अलघुकरणीय निरूपणों का पूरा सेट देते हैं (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद)।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन मनमाना विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के बजाय मॉड्यूल (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मॉडुलो को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए मॉड्यूल को स्पीच मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे मॉड्यूल के अंदर हर इर्रेड्यूबल उत्पन्न होता है। अब बहुत कम इरेड्यूसिबल हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि उनके आयाम (वेक्टर स्पेस) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

एक मनमाना क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय मॉड्यूल का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक माना जाता है।

निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व

सममित समूह

सममित समूहों के निम्नतम-आयामी प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, और मनमाने क्षेत्रों पर। विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो डिग्री यहाँ वर्णित हैं:

प्रत्येक सममित समूह का एक आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसे तुच्छ प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक पहचान मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है। के लिए n ≥ 2, डिग्री 1 का एक और अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है, जिसे संकेत प्रतिनिधित्व या वैकल्पिक चरित्र कहा जाता है, जो क्रमपरिवर्तन के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ एक मैट्रिक्स द्वारा एक क्रमचय लेता है। ये सममित समूहों के केवल एक आयामी निरूपण हैं, क्योंकि एक आयामी निरूपण एबेलियन हैं, और सममित समूह का abelianization सी है₂, ऑर्डर 2 का चक्रीय समूह।

सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-विम निरूपण है, जिसे 'natural permutation representation, जिसमें n निर्देशांकों की अनुमति शामिल है। इसमें तुच्छ उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर शामिल हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। ऑर्थोगोनल पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब होते हैं n ≥ 2, इस उप-स्थान पर प्रतिनिधित्व एक है (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। एक और (n − 1)-डायमेंशनल इर्रेड्यूबल रिप्रेजेंटेशन साइन रिप्रेजेंटेशन के साथ टेंसरिंग द्वारा पाया जाता है। एक बाहरी शक्ति $\Lambda ^{k}V$ मानक प्रतिनिधित्व का $V$ अपरिवर्तनीय प्रदान किया गया है $0\leq k\leq n-1$ (Fulton & Harris 2004).

के लिए n ≥ 7, ये एस के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं_n - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का आयाम कम से कम n है। हालांकि के लिए n = 4, एस से प्रक्षेपण₄ एस के लिए₃ एस की अनुमति देता है₄ एक द्वि-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए। के लिए n = 6, एस का असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग₅ एस में₆ पांच आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन की एक और जोड़ी पैदा करता है।

Irreducible representation of $S_{n}$	Dimension	Young diagram of size $n$
Trivial representation	$1$	$(n)$
Sign representation	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
Standard representation $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
Exterior power $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

वैकल्पिक समूह

पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक, जिस पर A₅ कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।

वैकल्पिक समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत प्रतिनिधित्व गायब हो जाता है। के लिए n ≥ 7, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन आयाम एक में तुच्छ प्रतिनिधित्व हैं, और {{nowrap|(n − 1)}क्रमचय प्रतिनिधित्व के अन्य योग से }-आयामी प्रतिनिधित्व, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए अपवाद हैं।

के लिए वैकल्पिक समूह n ≥ 5 में केवल एक आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, तुच्छ प्रतिनिधित्व। के लिए n = 3, 4 ऑर्डर 3 के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप दो अतिरिक्त एक-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व हैं: A₃ ≅ C₃ और A₄ → A₄/V ≅ C₃.

• के लिए n ≥ 7, डिग्री का सिर्फ एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है n − 1, और यह एक गैर-तुच्छ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी डिग्री है।
• के लिए n = 3 का स्पष्ट अनुरूप (n − 1)-आयामी प्रतिनिधित्व कम हो जाता है - क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ मेल खाता है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्वों में टूट जाता है, जैसा कि A₃ ≅ C₃ एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
• के लिए n = 4, सिर्फ एक है n − 1 अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, लेकिन आयाम 1 के असाधारण अलघुकरणीय निरूपण हैं।
• के लिए n = 5, आइकोसाहेड्रल समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं।
• के लिए n = 6, ए के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है₅ में एक₆.

अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद

क्रोनकर गुणांक

के दो अभ्यावेदन के अभ्यावेदन का टेन्सर उत्पाद $S_{n}$ यंग डायग्राम के अनुरूप $\lambda ,\mu$ के अलघुकरणीय अभ्यावेदन का संयोजन है $S_{n}$,

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }$

गुणांक $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहलाते हैं। उनकी गणना अभ्यावेदन के चरित्र सिद्धांत से की जा सकती है (Fulton & Harris 2004):

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })$

योग विभाजन खत्म हो गया है $\rho$ का $n$, साथ $C_{\rho }$ संगत संयुग्मन वर्ग। पात्रों का मान $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। गुणांक $z_{\rho }$ हैं

$z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}$

कहाँ $i_{j}$ बार की संख्या है $j$ प्रकट होता है $\rho$, ताकि $\sum i_{j}j=n$.

यंग डायग्राम के संदर्भ में लिखे गए कुछ उदाहरण (Hamermesh 1989):

$(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)$

${\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}$

कंप्यूटिंग के लिए एक सरल नियम है $(n-1,1)\otimes \lambda$ किसी भी यंग आरेख के लिए $\lambda$ (Hamermesh 1989): परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो इससे प्राप्त किए गए हैं $\lambda$ एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां को छोड़कर गुणांक एक हैं $\lambda$ स्वयं, जिसका गुणांक है $\#\{\lambda _{i}\}-1$, यानी, अलग-अलग पंक्तियों की लंबाई में से एक घटाकर संख्या।

के अलघुकरणीय घटकों पर एक बाधा $V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ है (James & Kerber 1981)

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }$

जहां गहराई $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ यंग डायग्राम की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहली पंक्ति से संबंधित नहीं हैं।

कम क्रोनकर गुणांक

के लिए $\lambda$ एक युवा आरेख और $n\geq \lambda _{1}$, $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ आकार का एक युवा आरेख है $n$. तब $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ का एक बंधा हुआ, गैर-घटता कार्य है $n$, और

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$

एक कम क्रोनकर गुणांक कहा जाता हैया स्थिर क्रोनकर गुणांक।के मूल्य पर ज्ञात सीमाएँ हैं $n$ कहाँ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ अपनी सीमा तक पहुँचता है।घटे हुए क्रोनकर गुणांकों के प्रतिनिधित्व की Deligne श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं $S_{n}$ साथ $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$. क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को युवा आरेखों के किसी भी ट्रिपल के लिए परिभाषित किया गया है, जरूरी नहीं कि समान आकार का हो। अगर $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$, तब ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के साथ मेल खाता है $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$.कम क्रोनकर गुणांकों को सममित कार्यों के स्थान में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, जो अभिव्यक्तियों को जन्म देते हैं जो स्पष्ट रूप से अभिन्न हैं, हालांकि प्रकट रूप से सकारात्मक नहीं हैं।घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को क्रोनकर और लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रूप में भी लिखा जा सकता है। $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से:${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$ इसके विपरीत, कम क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली SageMath में घटे हुए क्रोनकर गुणांक लागू किए गए हैं।

जटिल अभ्यावेदन के आइगेनवेल्यू

एक तत्व दिया $w\in S_{n}$ चक्र-प्रकार का $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ और आदेश $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$, के eigenvalues $w$ के एक जटिल प्रतिनिधित्व में $S_{n}$ प्रकार के हैं $\omega ^{e_{j}}$ साथ $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$, जहां पूर्णांक $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ के चक्रीय घातांक कहलाते हैं $w$ प्रतिनिधित्व के संबंध में।

सममित समूह (और पुष्पांजलि उत्पादों) के चक्रीय प्रतिपादकों का एक संयोजी विवरण है। परिभाषित $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$, होने दें $\mu$-इंडेक्स ऑफ ए यंग_टेबलाऊ#टेबलॉक्स के मानों का योग हो $b_{\mu }$ झांकी के अवतरण पर, ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$. फिर के प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक $S_{n}$ यंग आरेख द्वारा वर्णित $\lambda$ हैं $\mu$इसी युवा झांकी के सूचकांक। विशेष रूप से, अगर $w$ आदेश का है $n$, तब $b_{\mu }(k)=k$, और ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ के प्रमुख सूचकांक के साथ मेल खाता है $T$ (अवरोही का योग)। एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक $S_{n}$ फिर चक्रीय समूह के अभ्यावेदन में प्रतिबंधित_प्रतिनिधित्व का वर्णन करें ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$, साथ $\omega ^{e_{j}}$ की छवि के रूप में व्याख्या की जा रही है $w$ द्वारा विशेषता (एक आयामी) प्रतिनिधित्व में $e_{j}$.

यह भी देखें

• वैकल्पिक बहुपद
• सममित बहुपद
• मैं काम कर रहा हूं
• रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार
• शूर-वेइल द्वैत
• जूसी-मर्फी तत्व
• गरनिर संबंध

उद्धृत प्रकाशन

• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Representation Theory". गणित में स्नातक ग्रंथ. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). समूह सिद्धांत और शारीरिक समस्याओं के लिए इसका अनुप्रयोग. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471.
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), The representation theory of the symmetric group, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
• James, G. D. (1983), "On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 94 (3): 417–424, Bibcode:1983MPCPS..94..417J, doi:10.1017/S0305004100000803, ISSN 0305-0041, MR 0720791

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