स्पेसटाइम बीजगणित

गणितीय भौतिकी में, स्पेसटाइम बीजगणित (STA) क्लिफर्ड बीजगणित Cl का एक नाम है_1,3(आर), या समकक्ष ज्यामितीय बीजगणित G(M⁴). डेविड हेस्टेन्स के अनुसार, अंतरिक्ष समय बीजगणित विशेष सापेक्षता और सापेक्षवादी स्पेसटाइम की ज्यामिति के साथ विशेष रूप से निकटता से जुड़ा हो सकता है।

यह एक सदिश स्थल है जो न केवल वेक्टर (ज्यामिति) की अनुमति देता है, बल्कि bivector (विशेष विमानों से जुड़ी निर्देशित मात्रा, जैसे कि क्षेत्र, या घुमाव) या ब्लेड (ज्यामिति) (विशेष हाइपर-वॉल्यूम से जुड़ी मात्रा) को भी अनुमति देता है। संयुक्त, साथ ही ROTATION , परावर्तन (गणित), या लोरेंत्ज़ बढ़ाया। यह विशेष सापेक्षता में स्पिनरों का प्राकृतिक मूल बीजगणित भी है। ये गुण भौतिकी के कई सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों को विशेष रूप से सरल रूपों में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं, और उनके अर्थों की अधिक ज्यामितीय समझ के लिए बहुत सहायक हो सकते हैं।

संरचना

स्पेसटाइम बीजगणित को एक समय-जैसे वेक्टर के ऑर्थोगोनल आधार से बनाया जा सकता है $\gamma _{0}$ और तीन अंतरिक्ष-जैसे वैक्टर, $\{\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$, गुणन नियम के साथ

$\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }=2\eta _{\mu \nu }$

कहाँ $\eta _{\mu \nu }$ हस्ताक्षर के साथ मिन्कोव्स्की मीट्रिक है (+ − − −).

इस प्रकार, $\gamma _{0}^{2}={+1}$, $\gamma _{1}^{2}=\gamma _{2}^{2}=\gamma _{3}^{2}={-1}$, अन्यथा $\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }$.

आधार वैक्टर $\gamma _{k}$ इन गुणों को Dirac मैट्रिक्स के साथ साझा करें, लेकिन STA में किसी स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

यह एक स्केलर (गणित) का आधार उत्पन्न करता है $\{1\}$, चार वेक्टर (ज्यामितीय)। $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$, छह द्विभाजक $\{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}$, चार pseudovector $\{i\gamma _{0},i\gamma _{1},i\gamma _{2},i\gamma _{3}\}$ और एक छद्म अदिश $\{i\}$, कहाँ $i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$.

पारस्परिक फ्रेम

ऑर्थोगोनल आधार से संबद्ध $\{\gamma _{\mu }\}$ पारस्परिक आधार है $\{\gamma ^{\mu }={\gamma _{\mu }}^{-1}\}$ के लिए

$\mu =0,\dots ,3$, संबंध को संतुष्ट करना

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }={\delta _{\mu }}^{\nu }.$

ये पारस्परिक फ्रेम वैक्टर केवल एक संकेत से भिन्न होते हैं $\gamma ^{0}=\gamma _{0}$, और $\gamma ^{k}=-\gamma _{k}$ के लिए $k=1,\dots ,3$.

एक वेक्टर को ऊपरी या निचले सूचकांक निर्देशांक में दर्शाया जा सकता है $a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }$ समन ओवर के साथ $\mu =0,\dots ,3$, आइंस्टीन संकेतन के अनुसार, जहां आधार वैक्टर या उनके पारस्परिक के साथ डॉट उत्पाद लेकर निर्देशांक निकाले जा सकते हैं।

${\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu }\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu }.\end{aligned}}$

स्पेसटाइम ग्रेडिएंट

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ढाल की तरह स्पेसटाइम ग्रेडियेंट को परिभाषित किया गया है कि दिशात्मक व्युत्पन्न संबंध संतुष्ट है:

$a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.$

इसके लिए ग्रेडिएंट की परिभाषा होना आवश्यक है

$\nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$

के साथ स्पष्ट रूप से लिखा गया है $x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}$, ये आंशिक हैं

$\partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}$

स्पेसटाइम स्प्लिट

Spacetime split – examples:

$x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x}$

$p\gamma _{0}=E+\mathbf {p}$

$v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )$

where $\gamma$ is the Lorentz factor

$\nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-\nabla$

स्पेसटाइम बीजगणित में, एक स्पेसटाइम विभाजन चार-आयामी अंतरिक्ष से (3+1)-आयामी अंतरिक्ष में एक चयनित संदर्भ फ्रेम के साथ निम्नलिखित दो कार्यों के माध्यम से एक प्रक्षेपण है:

• चुने हुए समय अक्ष का पतन, बाइवेक्टरों द्वारा फैलाए गए 3डी स्थान की उपज, और
• चयनित समय अक्ष पर 4D स्थान का एक प्रक्षेपण, स्केलर्स के 1D स्थान की उपज।

यह टाइमलाइक बेसिस वेक्टर द्वारा प्री- या पोस्ट-मल्टीप्लिकेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है $\gamma _{0}$, जो एक चार वेक्टर को एक स्केलर टाइमलाइक और एक बाइवेक्टर स्पेसलाइक घटक में विभाजित करने का कार्य करता है। साथ $x=x^{\mu }\gamma _{\mu }$ अपने पास

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}$

इन द्विभाजकों के रूप में $\gamma _{k}\gamma _{0}$ एकता के वर्ग, वे एक स्थानिक आधार के रूप में कार्य करते हैं। पाउली मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करते हुए इन्हें लिखा जाता है $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$. STA में स्थानिक सदिशों को बोल्डफेस में निरूपित किया जाता है; फिर साथ $\mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}$ $\gamma _{0}$-अंतरिक्ष समय विभाजन $x\gamma _{0}$ और इसका उल्टा $\gamma _{0}x$ हैं:

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=x^{0}+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=x^{0}-\mathbf {x} \end{aligned}}$

मल्टीवेक्टर डिवीजन

स्पेसटाइम बीजगणित एक विभाजन बीजगणित नहीं है, क्योंकि इसमें निष्क्रिय तत्व शामिल हैं ${\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{0}\gamma _{i})$ और अशून्य शून्य विभाजक: $(1+\gamma _{0}\gamma _{i})(1-\gamma _{0}\gamma _{i})=0$. इन्हें ऐसे प्रोजेक्टरों के लिए क्रमशः प्रकाश-शंकु और ऑर्थोगोनलिटी संबंधों पर प्रोजेक्टर के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। लेकिन कुछ मामलों में एक मल्टीवेक्टर मात्रा को दूसरे से विभाजित करना संभव है, और परिणाम का अर्थ निकालना संभव है: उदाहरण के लिए, एक ही विमान में एक वेक्टर द्वारा विभाजित एक निर्देशित क्षेत्र एक और वेक्टर देता है, पहले के लिए ऑर्थोगोनल।

गैर-सापेक्ष भौतिकी का स्पेसटाइम बीजगणित विवरण

गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी

स्पेसटाइम बीजगणित मैट्रिक्स सिद्धांत के स्थान पर वास्तविक संख्या सिद्धांत के संदर्भ में पाउली समीकरण के विवरण की अनुमति देता है। पाउली कण का मैट्रिक्स सिद्धांत विवरण है:

$i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,$

कहाँ $\Psi$ एक स्पिनर है, $i$ एक काल्पनिक इकाई है जिसमें कोई ज्यामितीय व्याख्या नहीं है, ${\hat {\sigma }}_{i}$ पाउली मैट्रिसेस हैं ('हैट' संकेतन के साथ जो यह दर्शाता है ${\hat {\sigma }}$ एक मैट्रिक्स ऑपरेटर है और ज्यामितीय बीजगणित में एक तत्व नहीं है), और $H_{S}$ श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। स्पेसटाइम बीजगणित में पाउली कण को ​​वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है::$\partial _{t}\psi \,i\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},$ कहाँ हैं $i$ इकाई छद्म अदिश है $i=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$, और $\psi$ और $\sigma _{3}$ ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, के साथ $\psi$ एक भी बहु-वेक्टर; $H_{S}$ फिर से श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। हेस्टेन्स इसे वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर सिद्धांत के रूप में संदर्भित करता है ताकि जोर दिया जा सके कि यह सिद्धांत श्रोडिंगर सिद्धांत को कम कर देता है यदि चुंबकीय क्षेत्र को शामिल करने वाले शब्द को हटा दिया जाता है।

सापेक्ष भौतिकी का स्पेसटाइम बीजगणित विवरण

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी

सापेक्षवादी क्वांटम वेवफंक्शन को कभी-कभी स्पिनर क्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात

$\psi =e^{{\frac {1}{2}}(\mu +\beta i+\phi )},$

कहाँ $\phi$ एक बायवेक्टर है, और

$\psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}},$

जहां, डेविड हेस्टेन्स द्वारा इसकी व्युत्पत्ति के अनुसार, $\psi =\psi (x)$ स्पेसटाइम पर एक समान मल्टीवेक्टर-वैल्यू फंक्शन है, $R=R(x)$ एक यूनिमॉड्यूलर स्पिनर (या "रोटर") है), और $\rho =\rho (x)$ और $\beta =\beta (x)$ अदिश-मूल्यवान कार्य हैं।

इस समीकरण की व्याख्या स्पिन को काल्पनिक स्यूडोस्केलर से जोड़ने के रूप में की जाती है। $R$ लोरेंत्ज़ रोटेशन के रूप में देखा जाता है जो वैक्टर का एक फ्रेम है $\gamma _{\mu }$ वैक्टर के दूसरे फ्रेम में $e_{\mu }$ ऑपरेशन द्वारा $e_{\mu }=R\gamma _{\mu }{\tilde {R}}$,जहाँ टिल्ड प्रतीक रिवर्स को इंगित करता है (रिवर्स को अक्सर डैगर सिंबल द्वारा भी दर्शाया जाता है, ज्यामितीय बीजगणित#रोटेशन भी देखें)।

इसे स्थानीय रूप से भिन्न वेक्टर- और स्केलर-मूल्यवान वेधशालाओं के लिए एक ढांचा प्रदान करने के लिए विस्तारित किया गया है और मूल रूप से श्रोडिंगर द्वारा प्रस्तावित क्वांटम यांत्रिकी की हिलाने की क्रिया व्याख्या के लिए समर्थन किया गया है।

हेस्टेन्स ने अपनी अभिव्यक्ति की तुलना की है $\psi$ पथ अभिन्न सूत्रीकरण में इसके लिए फेनमैन की अभिव्यक्ति के साथ:

$\psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },$

कहाँ $\Phi _{\lambda }$ के साथ शास्त्रीय क्रिया है $\lambda$-पथ।

स्पेसटाइम बीजगणित एक मैट्रिक्स सिद्धांत के स्थान पर एक वास्तविक संख्या सिद्धांत के संदर्भ में डायराक समीकरण का वर्णन सक्षम करता है। डायराक कण का मैट्रिक्स सिद्धांत विवरण है:

${\hat {\gamma }}^{\mu }(\mathbf {j} \partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,$

कहाँ ${\hat {\gamma }}$ डिराक मेट्रिसेस हैं। स्पेसटाइम बीजगणित में डायराक कण को ​​समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है::$\nabla \psi \,i\sigma _{3}-\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}$ यहाँ, $\psi$ और $\sigma _{3}$ ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, और $\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ स्पेसटाइम वेक्टर व्युत्पन्न है।

सामान्य सापेक्षता का एक नया सूत्रीकरण

लेसेनबी, क्रिस जे.एल. डोरान और कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी के गल ने गुरुत्वाकर्षण के एक नए सूत्रीकरण का प्रस्ताव दिया है, जिसे गेज सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण (जीटीजी) कहा जाता है, जिसमें स्पेसटाइम बीजगणित का उपयोग मिन्कोवस्की अंतरिक्ष पर वक्रता को प्रेरित करने के लिए किया जाता है, जबकि घटनाओं की मनमानी चिकनी रीमैपिंग के तहत गेज समरूपता को स्वीकार किया जाता है। स्पेसटाइम (लेसेनबी, एट अल।); एक गैर-तुच्छ व्युत्पत्ति तब जियोडेसिक समीकरण की ओर ले जाती है,

${\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R$

और सहपरिवर्ती व्युत्पन्न

$D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,$

कहाँ $\omega$ गुरुत्वाकर्षण क्षमता से जुड़ा संबंध है, और $\Omega$ एक बाहरी संपर्क है जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र।

सिद्धांत ब्लैक होल के इलाज के लिए कुछ वादा दिखाता है, क्योंकि श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान का इसका रूप एकवचन में नहीं टूटता है; सामान्य सापेक्षता के अधिकांश परिणाम गणितीय रूप से पुनरुत्पादित किए गए हैं, और शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के सापेक्षवादी सूत्रीकरण को क्वांटम यांत्रिकी और डायराक समीकरण तक विस्तारित किया गया है।

यह भी देखें

• ज्यामितीय बीजगणित
• डायराक बीजगणित
• डायराक समीकरण
• सामान्य सापेक्षता

संदर्भ

• Lasenby, A.; Doran, C.; Gull, S. (1998), "Gravity, gauge theories and geometric algebra", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 356 (1737): 487–582, arXiv:gr-qc/0405033, Bibcode:1998RSPTA.356..487L, doi:10.1098/rsta.1998.0178, S2CID 119389813
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48022-2
• Hestenes, David (2015) [1966], Space–Time Algebra (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 9783319184135
• Hestenes, David; Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus, Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
• Hestenes, David (1973), "Local observables in the Dirac theory", Journal of Mathematical Physics, 14 (7): 893–905, Bibcode:1973JMP....14..893H, CiteSeerX 10.1.1.412.7214, doi:10.1063/1.1666413
• Hestenes, David (1967), "Real Spinor Fields", Journal of Mathematical Physics, 8 (4): 798–808, Bibcode:1967JMP.....8..798H, doi:10.1063/1.1705279

बाहरी संबंध

• Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime, a tutorial introduction to the ideas of geometric algebra, by S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
• Physical Applications of Geometric Algebra course-notes, see especially part 2.
• Cambridge University Geometric Algebra group
• Geometric Calculus research and development