न्यूनतम-वर्गाकार वर्णक्रमीय विश्लेषण

द्विघात फ़ंक्शन वाले डेटा बिंदुओं के सेट को फ़िट करने का परिणाम

कम से कम वर्गों स्पेक्ट्रल विश्लेषण (एलएसएसए) स्पेक्ट्रल घनत्व अनुमान का अनुमान लगाने की एक विधि है#अवलोकन फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों के लिए साइन तरंगों के न्यूनतम-स्क्वायर फिट पर आधारित है।फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, आम तौर पर लंबे और गैप्ड रिकॉर्ड में लंबी अवधि के शोर को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है। फूरियर विश्लेषण के विपरीत, एलएसएसए का उपयोग करने के लिए डेटा को समान स्थान पर रखने की आवश्यकता नहीं है।

1969 में विकसित किया गया और 1971, एलएसएसए को वैनिसेक विधि के रूप में भी जाना जाता है और गॉस-वानिकेक विधि पेट्र वैनिसेक के बाद, और लोम्ब विधि के रूप मेंया लोम्ब-स्कार्ल पीरियडोग्राम, सरलीकरण के आधार पर सबसे पहले निकोलस आर लोम्ब द्वाराऔर फिर जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

फूरियर विश्लेषण, पीरियोग्राम और साइनसोइड्स के न्यूनतम-वर्ग फिटिंग के बीच घनिष्ठ संबंध लंबे समय से ज्ञात हैं। हालाँकि, अधिकांश विकास समान दूरी वाले नमूनों के डेटा सेट को पूरा करने के लिए प्रतिबंधित हैं। 1963 में, सेंट्रम विस्कुंडे एंड इंफॉर्मेटिका, एम्स्टर्डम के फ्रीक जेएम बार्निंग ने समान तकनीकों द्वारा असमान स्थान वाले डेटा को संभाला, जिसमें एक पीरियडोग्राम विश्लेषण शामिल है, जिसे आजकल लोम्ब विधि कहा जाता है और इस तरह के पीरियडोग्राम से निर्धारित साइनसोइड्स की चयनित आवृत्तियों की न्यूनतम-स्क्वायर फिटिंग - और एक प्रक्रिया द्वारा जुड़ा हुआ है जिसे आज पोस्ट-बैक फिटिंग के साथ मिलान करने के रूप में जाना जाता है। या ऑर्थोगोनल मिलान खोज। न्यू ब्रंसविक विश्वविद्यालय के एक कनाडाई भूभौतिकी और भूगणित पेट्र वैनिसेक ने 1969 में समान और असमान दूरी वाले डेटा के लिए मिलान-अनुसरण दृष्टिकोण भी प्रस्तावित किया, जिसे उन्होंने क्रमिक वर्णक्रमीय विश्लेषण और परिणाम को एक न्यूनतम-वर्ग पीरियोग्राम कहा।उन्होंने इस पद्धति को सामान्य माध्य से परे किसी भी व्यवस्थित घटकों के लिए खाते में सामान्यीकृत किया, जैसे अज्ञात परिमाण की एक अनुमानित रैखिक (द्विघात, घातीय, ...) धर्मनिरपेक्ष प्रवृत्ति, और इसे 1971 में विभिन्न प्रकार के नमूनों पर लागू किया।

1976 में सिडनी विश्वविद्यालय के निकोलस आर. लोम्ब द्वारा वैनिसेक की कड़ाई से न्यूनतम-वर्ग पद्धति को सरल बनाया गया, जिन्होंने पीरियडोग्राम विश्लेषण के साथ इसके घनिष्ठ संबंध की ओर इशारा किया। इसके बाद, नासा एम्स रिसर्च सेंटर के जेफरी डी। स्कार्गल द्वारा असमान स्थान वाले डेटा के एक पीरियडोग्राम की परिभाषा को संशोधित और विश्लेषण किया गया था। जिन्होंने दिखाया कि, मामूली बदलावों के साथ, यह अलग-अलग साइनसॉइड आवृत्तियों को फ़िट करने के लिए लोम्ब के न्यूनतम-वर्ग सूत्र के समान हो जाता है।

स्कार्गल का कहना है कि उनका पेपर एक नई पहचान तकनीक का परिचय नहीं देता है, बल्कि इसके बजाय सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक, पीरियडोग्राम के साथ पहचान की विश्वसनीयता और दक्षता का अध्ययन करता है, उस स्थिति में जहां अवलोकन समय असमान रूप से समय श्रृंखला है, और इसके बारे में और बताते हैं पीरियडोग्राम विश्लेषण की तुलना में साइनसोइड्स की न्यूनतम-स्क्वायर फिटिंग, कि उनका पेपर स्पष्ट रूप से पहली बार स्थापित करता है, कि (प्रस्तावित संशोधनों के साथ) ये दो विधियां बिल्कुल समकक्ष हैं।

प्रेसविकास को इस प्रकार सारांशित करता है:

A completely different method of spectral analysis for unevenly sampled data, one that mitigates these difficulties and has some other very desirable properties, was developed by Lomb, based in part on earlier work by Barning and Vanicek, and additionally elaborated by Scargle.

1989 में, किंग्स्टन में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल जे। कोरेनबर्ग। किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी, ने स्पेक्ट्रा या अन्य समस्याओं के निकट-इष्टतम अपघटन को और अधिक तेज़ी से खोजने के लिए तेज़ ऑर्थोगोनल खोज विधि विकसित की,उस तकनीक के समान जिसे बाद में ऑर्थोगोनल मिलान खोज के रूप में जाना जाने लगा।

एलएसएसए और रूपों का विकास

वानिकी विधि

रेखीय प्रतिगमन में, प्रेक्षणों (red >red) को एक अंतर्निहित संबंध से यादृच्छिक विचलन (green) का परिणाम माना जाता है ( blue) एक आश्रित चर (y) और एक स्वतंत्र चर (x) के बीच। फिर एक आदर्श फिटिंग में, जैसे कम से कम वर्गों के मानदंड के अनुसार, डेटा बिंदु (red) मानक रूप से सर्वोत्तम फ़िट (नीला), जिसमें से हमेशा अवशिष्ट रहते हैं (green)।

Vaníček विधि में, एक असतत डेटा सेट एक मानक रेखीय प्रतिगमन या कम-वर्ग फिट का उपयोग करके उत्तरोत्तर निर्धारित आवृत्तियों के साइनसोइड्स के भारित योग द्वारा अनुमानित है। आवृत्तियों को बार्निंग के समान एक विधि का उपयोग करके चुना जाता है, लेकिन आवृत्ति को चुनकर प्रत्येक क्रमिक नई आवृत्ति की पसंद को अनुकूलित करने में आगे बढ़ते हुए कम से कम वर्ग फिटिंग के बाद अवशिष्ट को कम करता है (फिटिंग तकनीक के समतुल्य जिसे अब पूर्व के साथ मिलान पीछा के रूप में जाना जाता है) बैकफिटिंग). साइनसोइड्स की संख्या डेटा नमूनों की संख्या से कम या उसके बराबर होनी चाहिए (अलग-अलग साइनसॉइड के रूप में समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन की गिनती)।

एक डेटा वेक्टर Φ को वजन वेक्टर x के साथ नमूना समय पर प्रत्येक फ़ंक्शन का मूल्यांकन करके मैट्रिक्स 'ए' में सारणीबद्ध साइनसोइडल आधार कार्यों के भारित योग के रूप में दर्शाया गया है:

$\phi \approx {\textbf {A}}x$,

जहां Φ का अनुमान लगाने में चुकता त्रुटियों के योग को कम करने के लिए भार सदिश x को चुना जाता है। मानक रेखीय प्रतिगमन का उपयोग करते हुए x का समाधान बंद-रूप है:

$x=({\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}})^{-1}{\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi .$

यहां मैट्रिक्स ए नमूना समय पर मूल्यांकन किए जाने पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कार्यों के किसी भी सेट पर आधारित हो सकता है (आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं); स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन आम तौर पर ब्याज की आवृत्ति सीमा पर समान रूप से वितरित साइन और कोसाइन होते हैं। यदि हम एक बहुत ही संकीर्ण आवृत्ति रेंज में बहुत अधिक आवृत्तियों का चयन करते हैं, तो फ़ंक्शन अपर्याप्त रूप से स्वतंत्र होंगे, मैट्रिक्स बीमार और परिणामी स्पेक्ट्रम अर्थहीन होगा।

जब ए में आधार कार्य ओर्थोगोनल हैं (अर्थात, सहसंबद्ध नहीं है, जिसका अर्थ है कि कॉलम में शून्य जोड़ी-वार डॉट उत्पाद हैं), मैट्रिक्स ए^TA विकर्ण है; जब स्तंभों में सभी समान शक्ति (तत्वों के वर्गों का योग) होती है, तो वह मैट्रिक्स एक पहचान मैट्रिक्स होता है, इसलिए उलटा तुच्छ होता है। उत्तरार्द्ध वह मामला है जब नमूना समय समान रूप से स्थान दिया जाता है और साइनसोइड्स को ज्या और कोसाइन के रूप में चुना जाता है जो आवृत्ति अंतराल 0 से आधा चक्र प्रति नमूना (प्रति नमूना 1 / एन चक्र द्वारा स्थान, 0 पर साइन चरणों को छोड़कर) जोड़े में समान रूप से स्थान दिया जाता है। और अधिकतम आवृत्ति जहां वे समान रूप से शून्य हैं)। इस मामले को असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है, माप और गुणांकों के संदर्भ में थोड़ा फिर से लिखा जाता है।

$x={\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi$ - स्केलर कारक के भीतर एन समान दूरी वाले नमूने और आवृत्तियों के लिए डीएफटी मामला।

लोम्ब विधि

पीरियोडोग्राम विधि द्वारा परिकलित दो साइनसोइडल आधार कार्यों का एक पावर स्पेक्ट्रम (परिमाण-वर्ग)।

1976 में वैनिसेक विधि के कम्प्यूटेशनल बोझ को कम करने की कोशिश कर रहा है (अब कोई मुद्दा नहीं), लोम्ब ने उपरोक्त सरलीकरण का सामान्य रूप से उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन आधारों के बीच जोड़ी-वार सहसंबंधों को छोड़कर, चूंकि साइनसोइड्स के जोड़े के बीच संबंध अक्सर छोटे होते हैं, कम से कम जब वे कसकर नहीं होते हैं स्थान दिया गया। यह सूत्रीकरण अनिवार्य रूप से पारंपरिक पीरियडोग्राम का है, लेकिन असमान स्थान वाले नमूनों के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित है। सदिश x एक अंतर्निहित स्पेक्ट्रम का एक यथोचित अच्छा अनुमान है, लेकिन चूंकि हम किसी भी सहसंबंध को अनदेखा करते हैं, 'A'x अब संकेत के लिए एक अच्छा सन्निकटन नहीं है, और विधि अब कम से कम वर्ग विधि नहीं है - फिर भी साहित्य में के रूप में जाना जाता रहता है।

सीधे साइन और कोसाइन वेवफॉर्म के साथ डेटा के डॉट उत्पादों को लेने के बजाय, स्कार्गल ने समय की देरी का पता लगाने के लिए मानक पीरियडोग्राम फॉर्मूला को संशोधित किया। $\tau$ सबसे पहले, जैसे कि साइनसोइड्स की यह जोड़ी नमूना समय पर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होगी $t_{j}$ और आवृत्ति पर शक्ति का बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए, इन दो आधार कार्यों की संभावित असमान शक्तियों के लिए भी समायोजित किया गया।इस प्रक्रिया ने उनकी संशोधित पीरियडोग्राम विधि को लोम्ब की विधि के समान ही बना दिया। समय विलंब $\tau$ परिभाषा के बराबर है

$\tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}.$

फिर आवृत्ति पर पीरियडोग्राम $\omega$ के रूप में अनुमानित है:

$P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left({\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)$,

जो, स्कार्गल रिपोर्ट के रूप में, समान रूप से नमूना मामले में पीरियडोग्राम के समान सांख्यिकीय वितरण है।

किसी भी व्यक्तिगत आवृत्ति पर $\omega$, यह विधि उतनी ही शक्ति देती है जितनी कम से कम वर्ग उस आवृत्ति और रूप के साइनसोइड्स के लिए फिट होते हैं:

$\phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t.$

व्यवहार में, यह निर्धारित करना हमेशा मुश्किल होता है कि दी गई लोम्ब चोटी महत्वपूर्ण है या नहीं, खासकर जब शोर की प्रकृति अज्ञात है, इसलिए उदाहरण के लिए शोर आवधिक संकेत के लोम्ब पीरियडोग्राम विश्लेषण में एक झूठी-अलार्म वर्णक्रमीय चोटी का परिणाम हो सकता है अशांति डेटा में शोर। पैच-अप या अन्यथा संपादित डेटा का विश्लेषण करते समय फूरियर विधियां झूठी वर्णक्रमीय चोटियों की रिपोर्ट भी कर सकती हैं।

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ल पीरियडोग्राम

मानक लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम केवल शून्य माध्य वाले मॉडल के लिए मान्य है। आमतौर पर, यह अनुमानित है - पीरियोग्राम की गणना करने से पहले डेटा के माध्य को घटाकर। हालाँकि, यह एक गलत धारणा है जब मॉडल का माध्य (फिटेड साइनसॉइड) गैर-शून्य है। सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम इस धारणा को हटा देता है और माध्य के लिए स्पष्ट रूप से हल करता है। इस स्थिति में, फिट किया गया कार्य है

$\phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C.$

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम को साहित्य में फ्लोटिंग मीन पीरियडोग्राम के रूप में भी संदर्भित किया गया है।

कोरेनबर्ग की तेज़ ऑर्थोगोनल खोज पद्धति

किंग्स्टन में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल कोरेनबर्ग | किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी ने एक अति-पूर्ण सेट से घटकों के विरल सेट को चुनने के लिए एक विधि विकसित की - जैसे वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए साइनसॉइडल घटक - जिसे फास्ट ऑर्थोगोनल सर्च (FOS) कहा जाता है। गणितीय रूप से, FOS एक माध्य-स्क्वायर त्रुटि कमी (MSER) ​​प्रक्रिया में थोड़ा संशोधित Cholesky अपघटन का उपयोग करता है, जिसे विरल मैट्रिक्स व्युत्क्रम के रूप में कार्यान्वित किया जाता है। अन्य एलएसएसए विधियों की तरह, एफओएस असतत फूरियर विश्लेषण की बड़ी कमी से बचा जाता है, इसलिए यह एम्बेडेड आवधिकताओं की सही पहचान कर सकता है और असमान स्थान वाले डेटा के साथ उत्कृष्टता प्राप्त कर सकता है। फास्ट ऑर्थोगोनल खोज पद्धति को अन्य समस्याओं पर भी लागू किया गया था, जैसे कि गैर-रैखिक प्रणाली पहचान।

पामर की ची-वर्ग विधि

पामर ने हार्मोनिक्स की किसी भी चुनी हुई संख्या के लिए सबसे उपयुक्त फ़ंक्शन खोजने के लिए एक विधि विकसित की है, जिससे गैर-साइनसॉइडल हार्मोनिक फ़ंक्शन खोजने की अधिक स्वतंत्रता मिलती है। उनका कम से कम वर्गों के विश्लेषण के लिए एक तेज (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म-आधारित) तकनीक है # भारित न्यूनतम वर्ग | गैर-समान मानक त्रुटियों के साथ मनमाने ढंग से स्थान वाले डेटा पर भारित न्यूनतम-वर्ग विश्लेषण। स्रोत कोड जो इस तकनीक को लागू करता है उपलब्ध है। क्योंकि डेटा को अक्सर समान रूप से अलग-अलग समय पर नमूना नहीं किया जाता है, यह विधि नमूना समय पर एक समय श्रृंखला सरणी भरकर डेटा को ग्रिड करती है। सभी मध्यवर्ती ग्रिड बिंदुओं को शून्य सांख्यिकीय भार प्राप्त होता है, जो नमूनों के बीच कभी-कभी अनंत त्रुटि बार होने के बराबर होता है।

अनुप्रयोग

इसके मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए बीटा वितरण

एलएसएसए की सबसे उपयोगी विशेषता अपूर्ण रिकॉर्ड को आवृत्ति स्पेक्ट्रम विश्लेषण के लिए सक्षम करना है - डेटा हेरफेर डेटा की आवश्यकता के बिना या अन्यथा गैर-मौजूद डेटा का आविष्कार करने के लिए।

एलएसएसए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में परिमाण (गणित) समय श्रृंखला के विचरण के लिए आवृत्ति या अवधि के योगदान को दर्शाता है।आम तौर पर, वर्णक्रमीय परिमाण इस प्रकार परिभाषित होते हैं जो आउटपुट के सीधे महत्व स्तर शासन को सक्षम करते हैं। वैकल्पिक रूप से, वैनिसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण को डेसिबल में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि Vaníček स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण बीटा वितरण | β-वितरण का पालन करते हैं। वैनिसेक के एलएसएसए का व्युत्क्रम परिवर्तन संभव है, जैसा कि फॉरवर्ड ट्रांसफॉर्म को मैट्रिक्स के रूप में लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है; मैट्रिक्स व्युत्क्रम (जब मैट्रिक्स एकवचन नहीं है) या छद्म-प्रतिलोम तब एक व्युत्क्रम परिवर्तन होगा; यदि चयनित साइनसॉइड नमूना बिंदुओं पर परस्पर स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या डेटा बिंदुओं की संख्या के बराबर है, तो प्रतिलोम मूल डेटा से सटीक रूप से मेल खाएगा। पीरियडोग्राम विधि के लिए ऐसी कोई व्युत्क्रम प्रक्रिया ज्ञात नहीं है।

कार्यान्वयन

MATLAB कोड के एक पृष्ठ से भी कम समय में LSSA को लागू किया जा सकता है। संक्षेप में:<ब्लॉककोट>

कम से कम वर्ग स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए हमें एम वर्णक्रमीय मानों की गणना करनी चाहिए ... जिसमें कम से कम वर्गों का अनुमान लगाना शामिल है, हर बार एक अलग आवृत्ति के लिए [वर्णक्रमीय शक्ति] प्राप्त करने के लिए

</ब्लॉककोट> यानी, आवृत्तियों के वांछित सेट में प्रत्येक आवृत्ति के लिए, साइन और कोज्या कार्यों का मूल्यांकन डेटा नमूने के अनुरूप समय पर किया जाता है, और साइनसॉइड वैक्टर के साथ डेटा समन्वय वेक्टर के डॉट उत्पादों को लिया जाता है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जाता है; लोम्ब/स्कार्गल पीरियडोग्राम के रूप में जानी जाने वाली विधि का पालन करते हुए, डॉट उत्पाद से पहले साइन और कोसाइन घटकों को ऑर्थोगोनलाइज करने के लिए प्रत्येक आवृत्ति के लिए एक टाइम शिफ्ट की गणना की जाती है;अंत में, उन दो आयाम घटकों से एक शक्ति की गणना की जाती है। यह एक ही प्रक्रिया एक असतत फूरियर रूपांतरण को लागू करती है जब डेटा समान रूप से समय में स्थान दिया जाता है और चुनी गई आवृत्तियों परिमित डेटा रिकॉर्ड पर चक्रों की पूर्णांक संख्या के अनुरूप होती है।

यह विधि प्रत्येक साइनसोइडल घटक को स्वतंत्र रूप से या संदर्भ से बाहर मानती है, भले ही वे डेटा बिंदुओं के लिए ऑर्थोगोनल न हों; यह वैनिसेक की मूल विधि है। इसके अलावा, एक मैट्रिक्स समीकरण को हल करके और निर्दिष्ट साइनसॉइड आवृत्तियों के बीच कुल डेटा भिन्नता को विभाजित करके पूर्ण एक साथ या संदर्भ में कम से कम वर्ग फ़िट करना संभव है।ऐसा मैट्रिक्स कम से कम वर्ग समाधान मूल रूप से MATLAB में बैकस्लैश ऑपरेटर के रूप में उपलब्ध है। इसके अलावा, स्वतंत्र या संदर्भ से बाहर के संस्करण (साथ ही लोम्ब के कारण पीरियडोग्राम संस्करण) के विपरीत एक साथ या संदर्भ में विधि, डेटा नमूने की तुलना में अधिक घटकों (साइन और कोसाइन) को फिट नहीं कर सकती है, इसलिए वह:

"...serious repercussions can also arise if the selected frequencies result in some of the Fourier components (trig functions) becoming nearly linearly dependent with each other, thereby producing an ill-conditioned or near singular N. To avoid such ill conditioning it becomes necessary to either select a different set of frequencies to be estimated (e.g., equally spaced frequencies) or simply neglect the correlations in N (i.e., the off-diagonal blocks) and estimate the inverse least squares transform separately for the individual frequencies..."

दूसरी ओर, लोम्ब की पीरियोडोग्राम विधि, एक मानक पीरियडोग्राम के रूप में मनमाने ढंग से उच्च संख्या, या आवृत्ति घटकों के घनत्व का उपयोग कर सकती है; अर्थात्, फ़्रीक्वेंसी डोमेन को एक मनमाना कारक द्वारा ओवर-सैंपल किया जा सकता है।हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि लोम्ब के सरलीकरण और कम से कम वर्गों के मानदंड से विचलन ने उनकी तकनीक को त्रुटियों के गंभीर स्रोतों तक खोल दिया, जिसके परिणामस्वरूप झूठी वर्णक्रमीय चोटियां भी थीं।

फूरियर विश्लेषण में, जैसे कि फूरियर रूपांतरण और डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म, डेटा के लिए फिट किए गए साइनसोइड्स सभी पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल हैं, इसलिए सरल आउट-ऑफ-द-संदर्भ डॉट-उत्पाद-आधारित प्रक्षेपण के बीच कोई अंतर नहीं है। संदर्भ एक साथ कम से कम वर्ग फिट; यानी, विभिन्न आवृत्तियों के ऑर्थोगोनल साइनसोइड्स के बीच भिन्नता को कम से कम वर्गों में विभाजित करने के लिए किसी मैट्रिक्स व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है। अतीत में, फूरियर कई लोगों के लिए पसंद का एक तरीका था, इसके प्रसंस्करण-कुशल तेजी से फूरियर रूपांतरण कार्यान्वयन के लिए धन्यवाद, जब समान दूरी वाले नमूनों के साथ पूर्ण डेटा रिकॉर्ड उपलब्ध होते हैं, और उन्होंने गैप्ड रिकॉर्ड का विश्लेषण करने के लिए तकनीकों के फूरियर परिवार का भी उपयोग किया, जो, हालांकि, फूरियर-आधारित एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम होने के लिए केवल गैर-मौजूद डेटा में हेरफेर करने और यहां तक ​​कि आविष्कार करने की आवश्यकता है।

यह भी देखें

• गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण
• ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन
• सिगस्पेक
• साइनसॉइडल मॉडल
• वर्णक्रमीय घनत्व
• प्रतिस्पर्धी विकल्पों के लिए वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान

बाहरी संबंध

• LSSA package freeware download, FORTRAN, Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the University of New Brunswick.
• LSWAVE package freeware download, MATLAB, includes the Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the U.S. National Geodetic Survey.
• LSSA software freeware download (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the Natural Resources Canada.