न्यूनतम-वर्गाकार वर्णक्रमीय विश्लेषण

द्विघात फलन वाले डेटा बिंदुओं के समूह को फ़िट करने का परिणाम

न्यूनतम-वर्गाकार वर्णक्रमीय विश्लेषण (एलएसएसए) फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा मानकों के लिए साइनसोइड्स तरंगों के न्यूनतम-वर्गाकार फिट के आधार पर आवृत्ति स्पेक्ट्रम का अनुमान लगाने की एक विधि है। फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, सामान्यतः लंबे और गैप्ड रिकॉर्ड में लंबी अवधि के ध्वनि को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है। फूरियर विश्लेषण के विपरीत, एलएसएसए का उपयोग करने के लिए डेटा को समान स्थान पर रखने की आवश्यकता नहीं है।

1969 और 1971, में विकसित, एलएसएसए को वैनिसेक विधि और पेट्र वैनिसेक के बाद गॉस-वनीकेक विधि के रूप में भी जाना जाता है, और पहले निकोलस आर. लोम्ब और फिर जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा सरलीकरण के आधार पर लोम्ब विधि या लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम के रूप में जाना जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

फूरियर विश्लेषण, पीरियडोग्राम और साइनसोइड्स के न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग के बीच घनिष्ठ संबंध लंबे समय से ज्ञात हैं। चूँकि, अधिकांश विकास समान दूरी वाले मानकों के डेटा समूह को पूरा करने के लिए प्रतिबंधित हैं। 1963 में, मैथमैटिश सेंट्रम, एम्स्टर्डम के फ्रीक जेएम बार्निंग ने समान विधियों द्वारा असमान रूप से स्थान वाले डेटा को संभाला, जिसमें एक पीरियडोग्राम विश्लेषण सम्मिलित है, जिसे वर्तमान में लोम्ब विधि कहा जाता है और इस तरह के पीरियडोग्राम से निर्धारित साइनसोइड्स की चयनित आवृत्तियों की न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग - और एक प्रक्रिया द्वारा जुड़ा हुआ है जिसे वर्तमान में पोस्ट-बैक फिटिंग या ऑर्थोगोनल मैचिंग परस्यूट के साथ मिलान करने के रूप में जाना जाता है।

कनाडा के भूभौतिकी और न्यू ब्रंसविक विश्वविद्यालय के भूगर्भ विज्ञानी पेट्र वैनिसेक ने 1969 में समान और असमान स्थान वाले डेटा के लिए मिलान-अनुसरण दृष्टिकोण का भी प्रस्ताव दिया, जिसे उन्होंने क्रमिक वर्णक्रमीय विश्लेषण और परिणाम को न्यूनतम-वर्गाकार पीरियडोग्राम कहा था। उन्होंने इस पद्धति को सामान्य अर्थ से परे किसी भी व्यवस्थित घटकों के लिए खाते में सामान्यीकृत किया, जैसे कि पूर्वानुमानित रैखिक (द्विघात, घातीय, ...) अज्ञात परिमाण की धर्मनिरपेक्ष प्रवृत्ति, और इसे 1971 में विभिन्न प्रकार के मानकों पर प्रायुक्त किया था।

1976 में सिडनी विश्वविद्यालय के निकोलस आर. लोम्ब द्वारा वैनिसेक की कड़ाई से न्यूनतम-वर्गाकार पद्धति को सरल बनाया गया, जिन्होंने पीरियडोग्राम विश्लेषण के साथ इसके घनिष्ठ संबंध को निरुपित किया था। इसके बाद, नासा एम्स रिसर्च सेंटर के जेफरी डी स्कार्गल द्वारा असमान स्थान वाले डेटा के एक पीरियडोग्राम की परिभाषा को संशोधित और विश्लेषण किया गया था। जिन्होंने दिखाया कि, साधारण बदलावों के साथ, यह अलग-अलग साइनसॉइड आवृत्तियों को फ़िट करने के लिए लोम्ब के न्यूनतम-वर्गाकार सूत्र के समान हो जाता है।

स्कार्गल का कहना है कि उनका पेपर एक नई पहचान विधि का परिचय नहीं देता है, किन्तु इसके अतिरिक्त सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि, पीरियडोग्राम के साथ पहचान की विश्वसनीयता और दक्षता का अध्ययन करता है, उस स्थिति में जहां अवलोकन समय असमान रूप से समय श्रृंखला है, और इसके बारे में और बताते हैं पीरियडोग्राम विश्लेषण की तुलना में साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्गाकार फिटिंग, कि उनका पेपर स्पष्ट रूप से पहली बार स्थापित करता है, कि (प्रस्तावित संशोधनों के साथ) ये दो विधियां बिल्कुल समकक्ष हैं।

प्रेस विकास को इस प्रकार सारांशित करता है:

असमान मानक डेटा के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण की एक पूरी तरह से अलग विधि है, एक जो इन कठिनाइयों को कम करती है और कुछ अन्य बहुत ही वांछनीय गुण हैं, लोम्ब द्वारा विकसित किया गया था, जो कि बार्निंग और वैनिसक द्वारा पहले के काम पर आधारित था, और अतिरिक्त रूप से स्कार्गल द्वारा विस्तृत किया गया था।

1989 में, किंग्स्टन में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल जे कोरेनबर्ग किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी, ने स्पेक्ट्रा या अन्य समस्याओं के निकट-इष्टतम अपघटन को और अधिक तेज़ी से खोजने के लिए तेज़ ऑर्थोगोनल खोज विधि विकसित किया था, उस विधि के समान जिसे बाद में ऑर्थोगोनल मैचिंग परस्यूट के रूप में जाना जाने लगा था।

एलएसएसए और रूपों का विकास

वानिकी विधि

रेखीय प्रतिगमन में, प्रेक्षणों (red >red) को एक अंतर्निहित संबंध से यादृच्छिक विचलन (green) का परिणाम माना जाता है ( blue) एक आश्रित चर (y) और एक स्वतंत्र चर (x) के बीच। फिर एक आदर्श फिटिंग में, जैसे न्यूनतम-वर्गाकार के मानदंड के अनुसार, डेटा बिंदु (red) मानक रूप से सर्वोत्तम फ़िट (नीला), जिसमें से हमेशा अवशिष्ट रहते हैं (green)।

वैनिसेक विधि में, एक असतत डेटा समूह एक मानक रेखीय प्रतिगमन या कम-वर्गाकार फिट का उपयोग करके उत्तरोत्तर निर्धारित आवृत्तियों के साइनसोइड्स के भारित योग द्वारा अनुमानित है। आवृत्तियों को बार्निंग के समान एक विधि का उपयोग करके चुना जाता है, लेकिन आवृत्ति को चुनकर प्रत्येक क्रमिक नई आवृत्ति की पसंद को अनुकूलित करने में आगे बढ़ते हुए न्यूनतम वर्गाकार फिटिंग (फिटिंग विधि के बराबर जिसे अब प्री-बैकफिटिंग के साथ मैचिंग परस्यूट के रूप में जाना जाता है) के बाद अवशिष्ट को कम करता है। साइनसोइड्स की संख्या डेटा मानकों की संख्या से कम या उसके बराबर (अलग-अलग साइनसॉइड के रूप में समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन की गिनती) होनी चाहिए।

एक डेटा वेक्टर Φ को वजन वेक्टर x के साथ मानक समय पर प्रत्येक फलन का मूल्यांकन करके आव्यूह 'A' में सारणीबद्ध साइनसोइडल आधार फलनों के भारित योग के रूप में दर्शाया गया है:

$\phi \approx {\textbf {A}}x$,

जहां Φ का अनुमान लगाने में वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए भार सदिश x को चुना जाता है। मानक रेखीय प्रतिगमन का उपयोग करते हुए x का समाधान बंद-रूप है:

$x=({\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}})^{-1}{\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi .$

यहां आव्यूह आ मानक समय पर मूल्यांकन किए जाने पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र फलनों के किसी भी समूह पर आधारित (आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं) हो सकता है; वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले फलन सामान्यतः ब्याज की आवृत्ति सीमा पर समान रूप से वितरित साइन और कोसाइन होते हैं। यदि हम एक बहुत ही संकीर्ण आवृत्ति सीमा में बहुत अधिक आवृत्तियों का चयन करते हैं, तो फलन अपर्याप्त रूप से स्वतंत्र होंगे, आव्यूह इल और परिणामी स्पेक्ट्रम अर्थहीन होगा।

जब A में आधार फलन ओर्थोगोनल (अर्थात, सहसंबद्ध नहीं है, जिसका अर्थ है कि स्तंभ में शून्य जोड़ी-वार डॉट उत्पाद हैं) हैं, आव्यूह A^TA विकर्ण है; जब स्तंभों में सभी समान शक्ति (तत्वों के वर्गों का योग) होती है, तो वह आव्यूह एक पहचान आव्यूह होता है, इसलिए व्युत्क्रम नगण्य होता है। उत्तरार्द्ध वह स्थिति है जब मानक समय समान रूप से स्थान दिया जाता है और साइनसोइड्स को ज्या और कोसाइन के रूप में चुना जाता है जो आवृत्ति अंतराल 0 से आधा चक्र प्रति मानक (प्रति मानक 1/N चक्र द्वारा स्थान, साइन चरणों को 0 और अधिकतम आवृत्ति पर छोड़ते हुए जहां वे समान रूप से शून्य हैं) पर जोड़े में समान रूप से होते हैं। इस स्थिति को असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है, माप और गुणांकों के संदर्भ में थोड़ा फिर से लिखा जाता है।

$x={\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi$ - स्केलर कारक के अन्दर N समान दूरी वाले मानक और आवृत्तियों के लिए डीएफटी स्थिति है।

लोम्ब विधि

पीरियोडोग्राम विधि द्वारा परिकलित दो साइनसोइडल आधार फलनों का एक पावर स्पेक्ट्रम (परिमाण-वर्गाकार)।

1976 (अब कोई विषय नहीं) में वैनिसेक विधि के कम्प्यूटेशनल ज़िम्मेदारी को कम करने की प्रयास कर रहा है, लोम्ब ने उपरोक्त सरलीकरण का सामान्य रूप से उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन आधारों के बीच जोड़ी-वार सहसंबंधों को छोड़कर, चूंकि साइनसोइड्स के जोड़े के बीच संबंध अक्सर छोटे होते हैं, न्यूनतम जब वे कसकर नहीं होते हैं स्थान दिया गया। यह सूत्रीकरण अनिवार्य रूप से पारंपरिक पीरियडोग्राम का है, लेकिन असमान स्थान वाले मानकों के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित है। सदिश x एक अंतर्निहित स्पेक्ट्रम का एक यथोचित अच्छा अनुमान है, लेकिन चूंकि हम किसी भी सहसंबंध को अनदेखा करते हैं, 'A'x अब संकेत के लिए एक अच्छा सन्निकटन नहीं है, और विधि अब न्यूनतम वर्गाकार विधि नहीं है - फिर भी साहित्य में के रूप में जाना जाता रहता है।

सीधे साइन और कोसाइन तरंगों के साथ डेटा के डॉट उत्पादों को लेने के अतिरिक्त, स्कार्गल ने मानक पीरियडोग्राम सूत्र को संशोधित किया जिससे पहले एक समय देरी $\tau$ का पता लगाया जा सके, जैसे कि साइनसोइड्स की यह जोड़ी मानक समय $t_{j}$ पर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होगी और आवृत्ति पर शक्ति का उत्तम अनुमान प्राप्त करने के लिए इन दो आधार फलनों की संभावित असमान शक्तियों के लिए भी समायोजित किया गया था। इस प्रक्रिया ने उनकी संशोधित पीरियडोग्राम विधि को लोम्ब की विधि के समान ही बना दिया। परिभाषा के अनुसार समय विलंब $\tau$ के बराबर है

$\tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}.$

फिर आवृत्ति पर पीरियडोग्राम $\omega$ के रूप में अनुमानित है:

$P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left({\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)$,

जो, स्कार्गल रिपोर्ट के रूप में, समान रूप से मानक मामले में पीरियडोग्राम के समान सांख्यिकीय वितरण है।

किसी भी व्यक्तिगत आवृत्ति पर $\omega$, यह विधि उतनी ही शक्ति देती है जितनी न्यूनतम वर्गाकार उस आवृत्ति और रूप के साइनसोइड्स के लिए फिट होते हैं:

$\phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t.$

व्यवहार में, यह निर्धारित करना हमेशा कठिन होता है कि दी गई लोम्ब चोटी महत्वपूर्ण है या नहीं, विशेष रूप से जब ध्वनि की प्रकृति अज्ञात है, इसलिए उदाहरण के लिए लोम्ब पीरियडोग्राम विश्लेषण में एक फाल्स-अलार्म वर्णक्रमीय चोटी ध्वनि आवधिक संकेत का विश्लेषण अशांति डेटा में ध्वनि से हो सकता है। पैच-अप या अन्यथा संपादित डेटा का विश्लेषण करते समय फूरियर विधियां फाल्स वर्णक्रमीय चोटियों की रिपोर्ट भी कर सकती हैं।

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ल पीरियडोग्राम

मानक लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम केवल शून्य माध्य वाले मॉडल के लिए मान्य है। सामान्यतः यह पीरियोडोग्राम की गणना करने से पहले डेटा के माध्य को घटाकर अनुमानित किया जाता है। चूँकि, यह एक गलत धारणा है जब मॉडल का माध्य (फिटेड साइनसॉइड) गैर-शून्य है। सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम इस धारणा को हटा देता है और माध्य के लिए स्पष्ट रूप से हल करता है। इस स्थिति में, फिट किया गया कार्य है

$\phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C.$

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्ले पीरियडोग्राम को साहित्य में फ्लोटिंग मीन पीरियडोग्राम के रूप में भी संदर्भित किया गया है।

कोरेनबर्ग की तेज़ ऑर्थोगोनल खोज पद्धति

किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वीन्स यूनिवर्सिटी के माइकल कोरेनबर्ग ने एक अति-पूर्ण सेट से घटकों के विरल सेट को चुनने के लिए एक विधि विकसित किया था - जैसे वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए साइनसॉइडल घटक - जिसे फास्ट ऑर्थोगोनल सर्च (एफओएस) कहा जाता है। गणितीय रूप से, एफओएस एक माध्य-वर्गाकार त्रुटि कमी (एमएसईआर) ​​प्रक्रिया में थोड़ा संशोधित चोल्स्की अपघटन का उपयोग करता है, जिसे विरल आव्यूह व्युत्क्रम के रूप में कार्यान्वित किया जाता है। अन्य एलएसएसए विधियों की तरह, एफओएस असतत फूरियर विश्लेषण की बड़ी कमी से बचा जाता है, इसलिए यह एम्बेडेड आवधिकताओं की सही पहचान कर सकता है और असमान स्थान वाले डेटा के साथ उत्कृष्टता प्राप्त कर सकता है। तेजी से ओर्थोगोनल खोज पद्धति को अन्य समस्याओं जैसे कि अरैखिक प्रणाली पहचान के लिए भी प्रायुक्त किया गया था।

पामर की ची-वर्गाकार विधि

पामर ने हार्मोनिक्स की किसी भी चुनी हुई संख्या के लिए सबसे उपयुक्त फलन खोजने के लिए एक विधि विकसित की है, जिससे गैर-साइनसॉइडल हार्मोनिक फलन खोजने की अधिक स्वतंत्रता मिलती है। गैर-समान मानक त्रुटियों के साथ स्वैच्छिक विधि से स्थान वाले डेटा पर भारित न्यूनतम-वर्गाकार विश्लेषण के लिए उनकी एक तेज़ (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म- आधारित) विधि है। इस विधि को प्रायुक्त करने वाला स्रोत कोड उपलब्ध है।

क्योंकि डेटा को अक्सर समान रूप से अलग-अलग समय पर मानक नहीं किया जाता है, यह विधि मानक समय पर एक समय श्रृंखला सरणी भरकर डेटा को ग्रिड करती है। सभी मध्यवर्ती ग्रिड बिंदुओं को शून्य सांख्यिकीय भार प्राप्त होता है, जो मानकों के बीच कभी-कभी अनंत त्रुटि बार होने के बराबर होता है।

अनुप्रयोग

इसके मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए बीटा वितरण

एलएसएसए की सबसे उपयोगी विशेषता डेटा में हेरफेर करने या अन्यथा गैर-उपस्थित डेटा का आविष्कार करने की आवश्यकता के बिना अपूर्ण रिकॉर्ड को वर्णक्रमीय रूप से विश्लेषण करने में सक्षम बनाना है।

एलएसएसए स्पेक्ट्रम में परिमाण (गणित) समय श्रृंखला के विचरण के लिए एक आवृत्ति या अवधि के योगदान को दर्शाता है। सामान्यतः, वर्णक्रमीय परिमाण इस प्रकार परिभाषित होते हैं जो आउटपुट के सीधे महत्व स्तर शासन को सक्षम करते हैं। वैकल्पिक रूप से, वैनिसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण को डेसिबल (dB) में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि वैनिसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण β-वितरण का पालन करते हैं।

वैनिसेक के एलएसएसए का व्युत्क्रम परिवर्तन संभव है, जैसा कि फॉरवर्ड ट्रांसफॉर्म को आव्यूह के रूप में लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है; आव्यूह व्युत्क्रम (जब आव्यूह एकवचन नहीं है) या छद्म-प्रतिलोम तब एक व्युत्क्रम परिवर्तन होगा; यदि चयनित साइनसॉइड मानक बिंदुओं पर परस्पर स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या डेटा बिंदुओं की संख्या के बराबर है, तो प्रतिलोम मूल डेटा से त्रुटिहीन रूप से समान होगा। पीरियडोग्राम विधि के लिए ऐसी कोई व्युत्क्रम प्रक्रिया ज्ञात नहीं है।

कार्यान्वयन

एमएटीएलएबी कोड के एक पृष्ठ से भी कम समय में एलएसएसए को प्रायुक्त किया जा सकता है। संक्षेप में:

न्यूनतम-वर्गाकार स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए हमें m स्पेक्ट्रल मानों की गणना करनी चाहिए ... जिसमें प्रत्येक बार एक अलग आवृत्ति के लिए [वर्णक्रमीय शक्ति] प्राप्त करने के लिए न्यूनतम-वर्गाकार सन्निकटन एम बार करना सम्मिलित है

अर्थात्, आवृत्तियों के वांछित समूह में प्रत्येक आवृत्ति के लिए, साइन और कोज्या फलनों का मूल्यांकन डेटा मानक के अनुरूप समय पर किया जाता है, और साइनसॉइड वैक्टर के साथ डेटा समन्वय वेक्टर के डॉट उत्पादों को लिया जाता है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जाता है; लोम्ब/स्कार्गल पीरियडोग्राम के रूप में जानी जाने वाली विधि का पालन करते हुए, डॉट उत्पाद से पहले साइन और कोसाइन घटकों को ऑर्थोगोनलाइज करने के लिए प्रत्येक आवृत्ति के लिए एक समय परिवर्तन की गणना की जाती है; अंत में, उन दो आयाम घटकों से एक शक्ति की गणना की जाती है। यह एक ही प्रक्रिया एक असतत फूरियर रूपांतरण को प्रायुक्त करती है जब डेटा समान रूप से समय में स्थान दिया जाता है और चुनी गई आवृत्तियों परिमित डेटा रिकॉर्ड पर चक्रों की पूर्णांक संख्या के अनुरूप होती है।

यह विधि प्रत्येक साइनसोइडल घटक को स्वतंत्र रूप से या संदर्भ से बाहर मानती है, चाहे वे डेटा बिंदुओं के लिए ऑर्थोगोनल न हों; यह वैनिसेक की मूल विधि है। इसके अलावा, एक आव्यूह समीकरण को हल करके और निर्दिष्ट साइनसॉइड आवृत्तियों के बीच कुल डेटा भिन्नता को विभाजित करके पूर्ण एक साथ या संदर्भ में न्यूनतम वर्गाकार फ़िट करना संभव है। ऐसा आव्यूह न्यूनतम वर्गाकार समाधान मूल रूप से एमएटीएलएबी में बैकस्लैश ऑपरेटर के रूप में उपलब्ध है।

इसके अलावा, स्वतंत्र या संदर्भ से बाहर के संस्करण (साथ ही लोम्ब के कारण पीरियडोग्राम संस्करण) के विपरीत एक साथ या संदर्भ में विधि, डेटा मानक की तुलना में अधिक घटकों (साइन और कोसाइन) को फिट नहीं कर सकती है, इसलिए वह:

"...गंभीर प्रभाव भी उत्पन्न हो सकते हैं यदि चयनित आवृत्तियों के परिणामस्वरूप कुछ फूरियर घटकों (ट्रिग फलन) में से कुछ एक दूसरे के साथ लगभग रैखिक रूप से निर्भर हो जाते हैं, जिससे एक इल या लगभग एकवचन एन उत्पन्न होता है। इस प्रकार के इल स्थिति से बचने के लिए यह बन जाता है या तो अनुमान लगाने के लिए आवृत्तियों के एक अलग सेट का चयन करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, समान रूप से दूरी वाली आवृत्तियों) या एन (अर्थात्, ऑफ-विकर्ण ब्लॉक) में सहसंबंधों की उपेक्षा करें और अलग-अलग आवृत्तियों के लिए व्युत्क्रम न्यूनतम वर्गों को अलग-अलग रूपांतरित करें ... "

दूसरी ओर, लोम्ब की पीरियोडोग्राम विधि, एक मानक पीरियडोग्राम के रूप में मनमाने ढंग से उच्च संख्या, या आवृत्ति घटकों के घनत्व का उपयोग कर सकती है; अर्थात्, फ़्रीक्वेंसी डोमेन को एक मनमाना कारक द्वारा ओवर-सैंपल किया जा सकता है। चूंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि लोम्ब के सरलीकरण और न्यूनतम-वर्गाकार के मानदंड से विचलन ने उनकी विधि को त्रुटियों के गंभीर स्रोतों तक खोल दिया, जिसके परिणामस्वरूप फाल्स वर्णक्रमीय चोटियां भी थीं।

फूरियर विश्लेषण में, जैसे कि फूरियर रूपांतरण और डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म, डेटा के लिए फिट किए गए साइनसोइड्स सभी पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल हैं, इसलिए सरल आउट-ऑफ-द-संदर्भ डॉट-उत्पाद-आधारित प्रक्षेपण के बीच कोई अंतर नहीं है। संदर्भ एक साथ न्यूनतम वर्गाकार फिट; अर्थात्, विभिन्न आवृत्तियों के ऑर्थोगोनल साइनसोइड्स के बीच भिन्नता को न्यूनतम-वर्गाकार में विभाजित करने के लिए किसी आव्यूह व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है। अतीत में, फूरियर कई लोगों के लिए पसंद का एक विधि था, इसके प्रसंस्करण-कुशल तेजी से फूरियर रूपांतरण कार्यान्वयन के लिए धन्यवाद, जब समान दूरी वाले मानकों के साथ पूर्ण डेटा रिकॉर्ड उपलब्ध होते हैं, और उन्होंने गैप्ड रिकॉर्ड का विश्लेषण करने के लिए विधियों के फूरियर परिवार का भी उपयोग किया, जो, चूंकि, फूरियर-आधारित एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम होने के लिए केवल गैर-उपस्थित डेटा में हेरफेर करने और यहां तक ​​कि आविष्कार करने की आवश्यकता है।

यह भी देखें

• गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण
• ऑर्थोगोनल फलन
• सिगस्पेक
• साइनसॉइडल मॉडल
• वर्णक्रमीय घनत्व
• प्रतिस्पर्धी विकल्पों के लिए वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान

बाहरी संबंध

• LSSA package freeware download, FORTRAN, Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the University of New Brunswick.
• LSWAVE package freeware download, एमएटीएलएबी, includes the Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the U.S. National Geodetic Survey.
• LSSA software freeware download (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the Natural Resources Canada.