बिंदुवार

गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक मान पर विचार करके एक निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है $f(x)$ किसी समारोह का $f.$ बिंदुवार अवधारणाओं का एक महत्वपूर्ण वर्ग बिंदुवार संचालन है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए अलग-अलग मानों को कार्य करने के लिए संचालन को लागू करके कार्यों पर परिभाषित संचालन। संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।

प्वाइंटवाइज ऑपरेशंस

साइन समारोह (निचला प्लॉट, नीला) और प्राकृतिक लघुगणक (लाल) कार्यों का बिंदुवार योग (ऊपरी भूखंड, बैंगनी) और उत्पाद (हरा)। हाइलाइट किया गया लंबवत टुकड़ा बिंदु x = 2π पर गणना दिखाता है।

औपचारिक परिभाषा

एक बाइनरी ऑपरेशन $o : Y \times Y \to Y$ एक सेट पर $Y$ किसी ऑपरेशन के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है $O : (X \to Y) \times (X \to Y) \to (X \to Y)$ मंच पर $X \to Y$ से सभी कार्यों का $X$ को $Y$ इस प्रकार है: दो कार्य दिए गए हैं $f 1 : X \to Y$ और $f 2 : X \to Y$ , फ़ंक्शन को परिभाषित करें $O (f 1, f 2): X \to Y$ द्वारा

(O (f 1, f 2))(x) = o (f 1 (x), f 2 (x))

for all

x \in X

.

आमतौर पर, ओ और ओ को एक ही प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। एक समान परिभाषा का उपयोग यूनरी ऑपरेशंस ओ के लिए और अन्य arity के ऑपरेशंस के लिए किया जाता है।^{[citation needed]}

उदाहरण

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)&{\text{(pointwise addition)}}\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)&{\text{(pointwise multiplication)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{(pointwise multiplication by a scalar)}}\end{aligned}}

कहाँ

f,g:X\to R

.

बिंदुवार गुणनफल और अदिश (गणित) भी देखें।

कार्यों पर एक ऑपरेशन का एक उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, कनवल्शन है।

गुण

प्वाइंटवाइज ऑपरेशंस को कोडोमेन पर संबंधित ऑपरेशंस से संबद्धता , क्रमविनिमेयता और वितरण जैसे गुण मिलते हैं। अगर $A$ कुछ बीजगणितीय संरचना है, सभी कार्यों का सेट $X$ के वाहक सेट के लिए $A$ एक समान तरीके से एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचना में परिवर्तित किया जा सकता है।

घटकवार संचालन

घटकवार संचालन आमतौर पर वैक्टर पर परिभाषित होते हैं, जहां वेक्टर सेट के तत्व होते हैं $K^{n}$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ और कुछ क्षेत्र (गणित) $K$ . अगर हम निरूपित करते हैं $i$ किसी भी सदिश का -वाँ घटक $v$ जैसा $v_{i}$ , तो घटकवार जोड़ है $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$ .

मेट्रिसेस पर कंपोनेंट वाइज ऑपरेशंस को परिभाषित किया जा सकता है। मैट्रिक्स जोड़, जहां $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ एक घटकवार ऑपरेशन है जबकि मैट्रिक्स गुणन नहीं है।

एक Tuple#Tuples कार्यों के रूप में एक समारोह के रूप में माना जा सकता है, और एक वेक्टर एक टपल है। इसलिए, कोई भी वेक्टर $v$ समारोह से मेल खाता है $f:n\to K$ ऐसा है कि $f(i)=v_{i}$ , और सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन है।