कैननिकल निर्देशांक

गणित और शास्त्रीय यांत्रिकी में, विहित निर्देशांक चरण स्थान पर निर्देशांक के सेट होते हैं जिनका उपयोग किसी भी समय किसी भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टनियन यांत्रिकी में कैननिकल निर्देशांक का उपयोग किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में एक निकट संबंधी अवधारणा भी दिखाई देती है; विवरण के लिए स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय और विहित रूपान्तरण संबंध देखें।

जैसा कि हैमिल्टनियन यांत्रिकी को सहानुभूति ज्यामिति द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है और विहित परिवर्तनों को संपर्क परिवर्तनों द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, इसलिए शास्त्रीय यांत्रिकी में विहित निर्देशांक की 19 वीं शताब्दी की परिभाषा को एक अधिक अमूर्त 20 वीं शताब्दी की परिभाषा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कई गुना (गणितीय) चरण स्थान की धारणा)।

शास्त्रीय यांत्रिकी में परिभाषा

शास्त्रीय यांत्रिकी में, विहित निर्देशांक निर्देशांक होते हैं $q^{i}$ और $p_{i}$ फेज स्पेस में जिसका उपयोग हैमिल्टन यांत्रिकी औपचारिकता में किया जाता है। विहित निर्देशांक मौलिक प्वासों कोष्ठक संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$\left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}$

कैनोनिकल निर्देशांक का एक विशिष्ट उदाहरण के लिए है $q^{i}$ सामान्य कार्टेशियन निर्देशांक होने के लिए, और $p_{i}$ गति के घटक होने के लिए। इसलिए सामान्य तौर पर, $p_{i}$ निर्देशांक संयुग्म संवेग कहलाते हैं।

लिजेन्ड्रे परिवर्तन द्वारा लैग्रैन्जियन यांत्रिकी औपचारिकता के सामान्यीकृत निर्देशांक से कैनोनिकल निर्देशांक प्राप्त किए जा सकते हैं, या एक कैननिकल परिवर्तन द्वारा कैनोनिकल निर्देशांक के दूसरे सेट से प्राप्त किया जा सकता है।

कॉटैंजेंट बंडलों पर परिभाषा

कैनोनिकल निर्देशांक को कई गुना के कोटेन्टेंट बंडल पर निर्देशांक के एक विशेष सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे आमतौर पर एक सेट के रूप में लिखे जाते हैं $\left(q^{i},p_{j}\right)$ या $\left(x^{i},p_{j}\right)$ एक्स के साथ{{'}एस या क्यू' अंतर्निहित कई गुना और पी पर निर्देशांक को दर्शाता है' संयुग्मी संवेग को दर्शाता है, जो कई गुना में बिंदु q पर कॉटैंजेंट बंडल में 1-रूप हैं।

विहित निर्देशांकों की एक सामान्य परिभाषा कॉटैंजेंट बंडल पर निर्देशांकों का कोई सेट है जो विहित एक-रूप को प्रपत्र में लिखे जाने की अनुमति देता है

$\sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}$

कुल अंतर तक। इस रूप को संरक्षित करने वाले निर्देशांक में परिवर्तन एक विहित परिवर्तन है; ये एक sympletomorphism का एक विशेष मामला है, जो अनिवार्य रूप से सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर निर्देशांक का परिवर्तन है।

निम्नलिखित प्रदर्शनी में, हम मानते हैं कि कई गुना वास्तविक कई गुना हैं, इसलिए स्पर्शरेखा वैक्टर पर काम करने वाले कॉटैंगेंट वैक्टर वास्तविक संख्याएं उत्पन्न करते हैं।

औपचारिक विकास

कई गुना दिया Q, एक सदिश क्षेत्र X पर Q (स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल)। TQ) टेंगेंट और कॉटैंगेंट रिक्त स्थान के बीच द्वंद्व द्वारा कॉटैंजेंट बंडल पर कार्य करने वाले फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है। यानी एक फंक्शन को परिभाषित करें

$P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R}$

ऐसा है कि

$P_{X}(q,p)=p(X_{q})$

सभी स्पर्शरेखा सदिशों के लिए धारण करता है p में $T_{q}^{*}Q$. यहाँ, $X_{q}$ में सदिश है $T_{q}Q$, स्पर्शरेखा स्थान कई गुना Q बिंदु पर q. कार्यक्रम $P_{X}$ के अनुरूप संवेग फलन कहलाता है X.

एटलस (टोपोलॉजी) में, वेक्टर क्षेत्र X बिंदु पर q के रूप में लिखा जा सकता है

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

जहां $\partial /\partial q^{i}$ निर्देशांक फ़्रेम चालू हैं TQ. संयुग्मी संवेग तब व्यंजक होता है

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

जहां $p_{i}$ वैक्टर के अनुरूप संवेग कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है $\partial /\partial q^{i}$:

$p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}$

$q^{i}$ एच> साथ में $p_{j}$ साथ में कॉटैंजेंट बंडल पर एक समन्वय प्रणाली बनाते हैं $T^{*}Q$; इन निर्देशांकों को विहित निर्देशांक कहा जाता है।

सामान्यीकृत निर्देशांक

Lagrangian यांत्रिकी में, निर्देशांक के एक अलग सेट का उपयोग किया जाता है, जिसे सामान्यीकृत निर्देशांक कहा जाता है। इन्हें आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ साथ $q^{i}$ सामान्यीकृत स्थिति कहा जाता है और ${\dot {q}}^{i}$ सामान्यीकृत वेग। जब सहस्पर्शी सदिश क्षेत्र को स्पर्शरेखा बंडल पर परिभाषित किया जाता है, तो सामान्यीकृत निर्देशांक हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के माध्यम से विहित निर्देशांक से संबंधित होते हैं।

यह भी देखें

• रैखिक विभेदक विश्लेषण
• सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड
• सहानुभूति वेक्टर क्षेत्र
• सिम्पेक्टोमोर्फिज्म
• काइनेटिक गति
• पूरकता (भौतिकी)
• विहित परिमाणीकरण
• कैननिकल क्वांटम ग्रेविटी

संदर्भ

• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.