असतत समूह

उनके सामान्य टोपोलॉजी वाले पूर्णांक वास्तविक संख्याओं के असतत उपसमूह हैं।

गणित में, एक टोपोलॉजिकल समूह जी को 'असतत समूह' कहा जाता है यदि इसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है (यानी, जी में प्रत्येक तत्व के लिए, एक पड़ोस होता है जिसमें केवल वह तत्व होता है)। समतुल्य रूप से, समूह G असतत है अगर और केवल अगर इसकी पहचान तत्व पृथक बिंदु है।

टोपोलॉजिकल समूह G का एक उपसमूह H एक 'असतत उपसमूह' है यदि G से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ संपन्न होने पर H असतत है। दूसरे शब्दों में G में पहचान का एक पड़ोस है जिसमें H का कोई अन्य तत्व नहीं है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक, 'Z', वास्तविक संख्या, 'R' (मानक मीट्रिक स्थान के साथ) का असतत उपसमूह बनाते हैं, लेकिन परिमेय संख्याएँ, 'Q', ऐसा नहीं करतीं।

किसी भी समूह को असतत टोपोलॉजी से संपन्न किया जा सकता है, जिससे यह एक असतत टोपोलॉजिकल समूह बन जाता है। चूंकि एक अलग स्थान से प्रत्येक नक्शा निरंतर (टोपोलॉजी) है, असतत समूहों के बीच टोपोलॉजिकल होमोमोर्फिम्स वास्तव में अंतर्निहित समूहों के बीच समूह होमोमोर्फिज्म हैं। इसलिए, समूहों की श्रेणी और असतत समूहों की श्रेणी के बीच श्रेणियों की समरूपता है। असतत समूहों को इसलिए उनके अंतर्निहित (गैर-स्थलीय) समूहों के साथ पहचाना जा सकता है।

कुछ अवसर ऐसे होते हैं जब एक टोपोलॉजिकल समूह या झूठ समूह उपयोगी रूप से असतत टोपोलॉजी, 'प्रकृति के विरुद्ध' के साथ संपन्न होता है। यह उदाहरण के लिए बोह्र संघनन के सिद्धांत में होता है, और झूठ समूहों के समूह कोहोलॉजी सिद्धांत में होता है।

असतत आइसोमेट्री समूह एक आइसोमेट्री समूह है जैसे कि मीट्रिक स्थान के प्रत्येक बिंदु के लिए आइसोमेट्री के तहत बिंदु की छवियों का सेट एक असतत सेट है। असतत समरूपता समूह एक समरूपता समूह है जो असतत आइसोमेट्री समूह है।

गुण

चूंकि टोपोलॉजिकल समूह सजातीय स्थान हैं, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि टोपोलॉजिकल समूह असतत है, किसी को केवल एक बिंदु पर देखने की आवश्यकता है। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजिकल समूह केवल तभी असतत होता है, जब पहचान वाला सिंगलटन (गणित) एक खुला सेट हो।

एक असतत समूह एक शून्य-आयामी झूठ समूह के समान है (बेशुमार असतत समूह दूसरे-गणनीय नहीं हैं, इसलिए जिन लेखकों को इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने के लिए झूठ समूहों की आवश्यकता होती है, वे इन समूहों को झूठ समूह नहीं मानते हैं)। असतत समूह का पहचान घटक केवल तुच्छ समूह है जबकि घटकों का समूह समूह के लिए ही समरूप है।

चूंकि परिमित सेट पर एकमात्र हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी असतत है, एक परिमित हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समूह को आवश्यक रूप से असतत होना चाहिए। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हौसडॉर्फ समूह का प्रत्येक परिमित उपसमूह असतत होता है।

G का एक असतत उपसमूह H 'cocompact' है, यदि G का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K है जैसे कि HK = G।

असतत सामान्य उपसमूह समूहों को कवर करने और स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक समूहों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक जुड़े हुए अंतरिक्ष समूह G का एक असतत सामान्य उपसमूह आवश्यक रूप से G के केंद्र (समूह सिद्धांत) में स्थित है और इसलिए एबेलियन समूह है।

अन्य गुण:

• प्रत्येक असतत समूह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है
• असतत समूह का प्रत्येक उपसमूह असतत होता है।
• असतत समूह का प्रत्येक भागफल समूह असतत होता है।
• असतत समूहों की सीमित संख्या का गुणनफल असतत होता है।
• एक अलग समूह कॉम्पैक्ट समूह है अगर और केवल अगर यह परिमित है।
• प्रत्येक असतत समूह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है।
• हॉसडॉर्फ समूह का प्रत्येक असतत उपसमूह बंद है।
• कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समूह का प्रत्येक असतत उपसमूह परिमित होता है।

उदाहरण

• फ्रीज़ समूह और वॉलपेपर समूह यूक्लिडियन विमान के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह हैं। वॉलपेपर समूह सह-कॉम्पैक्ट हैं, लेकिन फ्रीज़ समूह नहीं हैं।
• एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह का अर्थ आमतौर पर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के आइसोमेट्रीज़ का एक कोकॉम्पैक्ट, असतत उपसमूह होता है। कभी-कभी, हालांकि, एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह एक नाइलपोटेंट या सॉल्व करने योग्य लाइ समूह का एक कोकॉम्पैक्ट असतत उपसमूह हो सकता है।
• प्रत्येक त्रिभुज समूह T गोले के आइसोमेट्री समूह का असतत उपसमूह है (जब T परिमित है), यूक्लिडियन तल (जब T में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का 'Z' + 'Z' उपसमूह है), या अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष।
• फुचियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण तल के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह हैं।
  • एक फ्यूचियन समूह जो हाइपरबोलिक प्लेन के ऊपरी आधे-प्लेन मॉडल पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है और कार्य करता है, लाई समूह PSL(2,'R') का असतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे-प्लेन के आइसोमेट्री को संरक्षित करने वाले ओरिएंटेशन का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण विमान का मॉडल।
  • एक फ्यूचियन समूह को कभी-कभी क्लेनियन समूह के एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है, हाइपरबॉलिक विमान को आइसोमेट्रिक रूप से त्रि-आयामी हाइपरबॉलिक अंतरिक्ष में एम्बेड करके और पूरे अंतरिक्ष में विमान पर समूह क्रिया को विस्तारित करके।
  • मॉड्यूलर समूह PSL(2,'Z') को PSL(2,'R') के असतत उपसमूह के रूप में माना जाता है। मॉड्यूलर समूह पीएसएल (2, 'आर') में एक जाली है, लेकिन यह कोकॉम्पैक्ट नहीं है।
• क्लेयनियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह हैं। इनमें अर्ध-फ्यूचियन समूह शामिल हैं।
  • एक क्लेयनियन समूह जो ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है और हाइपरबॉलिक 3-स्पेस के ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल पर कार्य करता है, लाई समूह पीएसएल (2,'सी') का एक असतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे स्थान के आइसोमेट्री को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अंतरिक्ष का मॉडल।
• एक झूठ समूह में एक जाली (असतत उपसमूह) एक असतत उपसमूह है जैसे कि भागफल स्थान का हार माप परिमित है।

यह भी देखें

• क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह
• सर्वांगसमता उपसमूह
• अंकगणितीय समूह
• ज्यामितीय समूह सिद्धांत
• कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत
• स्वतंत्र रूप से बंद
• नि: शुल्क नियमित सेट

संदर्भ

• Pontrjagin, Leon (1946). Topological Groups. Princeton University Press.
• "Discrete group of transformations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Discrete subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]