अपचायक समूह

गणित में, एक रिडक्टिव ग्रुप एक क्षेत्र (गणित) पर एक प्रकार का रैखिक बीजगणितीय समूह है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह जी रिडक्टिव है, अगर इसमें परिमित कर्नेल (बीजगणित) के साथ एक समूह का प्रतिनिधित्व होता है जो इरेड्यूसिबल प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। रिडक्टिव समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह शामिल हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह जीएल(एन) उलटा मेट्रिसेस, विशेष ऑर्थोगोनल समूह एसओ(एन) , और सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह रिडक्टिव होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक मनमाना क्षेत्र पर रिडक्टिव समूह वर्गीकृत करना कठिन होता है, लेकिन कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या आर या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण अच्छी तरह से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में।

रिडक्टिव समूहों के पास विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक रिडक्टिव समूह G के प्रतिनिधित्व का अध्ययन कर सकता है, जो k-वेक्टर रिक्त स्थान पर G की क्रियाएं हैं। लेकिन साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक रिडक्टिव समूह का अनंत-आयामी एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के ऑटोमोर्फिक निरूपण। इन सभी क्षेत्रों में रिडक्टिव समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

Main article: Linear algebraic group

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक चिकनी योजना बंद समूह योजना के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k के ऊपर एक चिकनी संबंध योजना समूह योजना है।

एकांगी मूलक के साथ

एक जुड़ा हुआ अंतरिक्ष रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सेमीसिम्पल कहा जाता है यदि हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव कहा जाता है यदि सबसे बड़ा सुचारू रूप से जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह # यूनिपोटेंट समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। इस सामान्य उपसमूह को यूनिपोटेंट रेडिकल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $R_{u}(G)$. (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए रिडक्टिव समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक समूह $G$ एक मनमाना क्षेत्र पर k को योजनाओं के फाइबर उत्पाद होने पर सेमीसिम्पल या रिडक्टिव कहा जाता है $G_{\overline {k}}$ सेमीसिंपल या रिडक्टिव है, जहां ${\overline {k}}$ k का बीजगणितीय समापन है। (यह परिचय में रिडक्टिव ग्रुप्स की परिभाषा के बराबर है जब k एकदम सही है।) कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह#टोरी ओवर k, जैसे कि रैखिक बीजगणितीय समूह#उदाहरण G_m, रिडक्टिव है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ

विशेषता शून्य के क्षेत्रों में एक रिडक्टिव समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक जुड़ा हुआ समूह है $G$ एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करना जो इसके बीजगणितीय समापन पर अर्धसरल बना रहता है $k^{al}$ ^{पेज 424}.

सरल रिडक्टिव समूह

फ़ील्ड k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, गैर-तुच्छ है, और G से अधिक k का हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह तुच्छ या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस संपत्ति को लगभग सरल कहते हैं।) यह सार समूहों के लिए शब्दावली से थोड़ा अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में गैर-तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) हो सकता है (हालांकि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी फ़ील्ड k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह#एकता की जड़ों की समूह योजना है। समूह योजना μ_nएकता की nth जड़ों की।

रिडक्टिव समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण समूह समरूपता है जिसमें कर्नेल एक परिमित केंद्रीय उपसमूह योजना है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक रिडक्टिव समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी फ़ील्ड k पर,

$GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.$

यह थोड़ा अजीब है कि एक क्षेत्र पर एक रिडक्टिव ग्रुप की परिभाषा में बीजगणितीय बंद होने का मार्ग शामिल है। एक पूर्ण क्षेत्र के लिए, जिसे टाला जा सकता है: एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी ओवर के रिडक्टिव है अगर और केवल अगर जी के प्रत्येक चिकनी जुड़े यूनिपोटेंट सामान्य के-उपसमूह तुच्छ हैं। एक मनमाने क्षेत्र के लिए, बाद की संपत्ति एक छद्म-रिडक्टिव समूह को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है।

स्प्लिट-रिडक्टिव समूह

फ़ील्ड k पर एक रिडक्टिव ग्रुप G को 'स्प्लिट' कहा जाता है, अगर इसमें k के ऊपर एक स्प्लिट मैक्सिमम टोरस T होता है (यानी, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह#Tori जिसका आधार बदल जाता है) ${\overline {k}}$ में एक अधिकतम टोरस है $G_{\overline {k}}$). यह कहने के बराबर है कि टी जी में विभाजित टोरस है जो कि जी में सभी के-टोरी के बीच अधिकतम है। इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी डेटा के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे रूट डेटा कहा जाता है।

उदाहरण

जीएल_n और एसएल_n

रिडक्टिव ग्रुप का एक मूलभूत उदाहरण सामान्य रैखिक समूह है ${\text{GL}}_{n}$ प्राकृतिक संख्या n के लिए फ़ील्ड k पर व्युत्क्रमणीय n × n मैट्रिसेस। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' जी_m समूह जीएल (1) है, और इसलिए इसका समूह जी है_m(k) k-रेशनल पॉइंट्स गुणन के तहत k के गैर-शून्य तत्वों का समूह k* है। एक अन्य रिडक्टिव समूह क्षेत्र k पर विशेष रैखिक समूह SL(n) है, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह। वास्तव में, SL(n) कम से कम 2 n के लिए एक सरल बीजगणितीय समूह है।

ओ (एन), एसओ (एन), और एसपी (एन)

एक महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश स्थान k पर एक गैर-अपघटित वैकल्पिक द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है।^2एन. इसी तरह, ओर्थोगोनल समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश स्थान पर एक अविकृत द्विघात रूप q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो जुड़े घटक (टोपोलॉजी) हैं, और इसकी पहचान घटक SO(q) रिडक्टिव है, वास्तव में कम से कम आयाम n के q के लिए सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह योजना O(q) वास्तव में जुड़ी हुई है, लेकिन k पर चिकनी नहीं है। सरल समूह SO(q) को हमेशा O(q) के अधिक से अधिक सुचारू रूप से जुड़े उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से बंद होता है, तो कोई भी दो ( nondegenerate) एक ही आयाम के द्विघात रूप आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। एक सामान्य क्षेत्र k के लिए, आयाम n के विभिन्न द्विघात रूपों से k के ऊपर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, हालांकि उन सभी में बीजगणितीय समापन में समान आधार परिवर्तन होता है। ${\overline {k}}$.

तोरी

समूह $\mathbb {G} _{m}$ और इसके उत्पादों को बीजगणितीय टोरस कहा जाता है। वे एम्बेड करने के बाद से रिडक्टिव समूहों के उदाहरण हैं ${\text{GL}}_{n}$ विकर्ण के माध्यम से, और इस प्रतिनिधित्व से, उनका एकरूप मूलक तुच्छ है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}$ एम्बेड करता है ${\text{GL}}_{2}$ मानचित्र से <ब्लॉककोट>$(a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}.$</ब्लॉककोट>

गैर-उदाहरण

• कोई भी शक्तिहीन समूह रिडक्टिव नहीं है क्योंकि उसका अनइपोटेंट रेडिकल खुद है। इसमें योजक समूह शामिल है $\mathbb {G} _{a}$.
• बोरेल समूह $B_{n}$ का ${\text{GL}}_{n}$ एक गैर तुच्छ unpotent कट्टरपंथी है $\mathbb {U} _{n}$ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिसेस के साथ $1$ विकर्ण पर। यह एक गैर-अपचायक समूह का एक उदाहरण है जो एक-शक्तिशाली नहीं है।

एसोसिएटेड रिडक्टिव ग्रुप

ध्यान दें कि यूनिपोटेंट रेडिकल की सामान्यता $R_{u}(G)$ तात्पर्य है कि भागफल समूह $G/R_{u}(G)$ रिडक्टिव है। उदाहरण के लिए, <ब्लॉककोट>$B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}.$</ब्लॉककोट>

रिडक्टिव समूहों के अन्य लक्षण

प्रत्येक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूह में एक जटिलता (लाई समूह) होती है, जो एक जटिल रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। वास्तव में, यह निर्माण समरूपता तक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाइ समूहों और जटिल रिडक्टिव समूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार देता है। जटिलता जी के साथ एक कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप के लिए, जी ('सी') पर शास्त्रीय टोपोलॉजी के संबंध में, के से जटिल रिडक्टिव ग्रुप जी ('सी') में शामिल होना एक होमोटॉपी समकक्ष है। उदाहरण के लिए, एकात्मक समूह U(n) से GL(n,'C') में समावेश एक होमोटॉपी तुल्यता है।

एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में एक रिडक्टिव ग्रुप जी के लिए, जी के सभी परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय प्रतिनिधित्व हैं, अर्थात, वे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग हैं। यह नाम रिडक्टिव का स्रोत है। ध्यान दें, हालांकि, पूर्ण न्यूनीकरण सकारात्मक विशेषता (टोरी के अलावा) में रिडक्टिव समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: स्कीम थ्योरी की ग्लोसरी की एक एफ़िन ग्रुप स्कीम जी # परिमित प्रकार (स्थानीय रूप से) फ़ील्ड k पर 'रैखिक रूप से रिडक्टिव' कहलाती है यदि इसके परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व पूरी तरह से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और केवल यदि पहचान घटक G^{G का o} रिडक्टिव है। विशेषता p>0 के k के लिए, हालांकि, न्यायमूर्ति नगाटा ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और केवल यदि G^o ग्रुप स्कीम # कंस्ट्रक्शन और G/G का है^o के पास p से अभाज्य क्रम है।

जड़ें

रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध जड़ प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या कॉम्पैक्ट लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस तरह से जड़ें रिडक्टिव समूहों के लिए दिखाई देती हैं।

G को एक फ़ील्ड k पर एक स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप होने दें, और T को G में एक स्प्लिट मैक्सिमम टोरस होने दें; इसलिए टी आइसोमोर्फिक है (जी_m)ⁿ कुछ n के लिए, n को G का 'रैंक' कहा जाता है। T का प्रत्येक प्रतिनिधित्व (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-आयामी प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है। जी के लिए भार का अर्थ है टी के 1-आयामी निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता टी → जी_m. प्रतिनिधित्व के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह X(T) बनाते हैं, जिसमें X(T) पूर्णांकों की n प्रतियों के गुणनफल 'Z' के समरूपी होते हैं।^एन.

संलग्न निरूपण इसके रैखिक बीजगणितीय समूह पर संयुग्मन द्वारा G की क्रिया है#बीजगणितीय समूह का झूठा बीजगणित ${\mathfrak {g}}$. जी की एक जड़ का अर्थ है एक गैर-शून्य वजन जो टी ⊂ जी की क्रिया में होता है ${\mathfrak {g}}$. का उपक्षेत्र ${\mathfrak {g}}$ प्रत्येक जड़ के अनुरूप एक आयामी है, और की उप-समष्टि है ${\mathfrak {g}}$ T द्वारा निश्चित किया गया बिल्कुल झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {t}}$ टी का इसलिए, G का झूठा बीजगणित विघटित हो जाता है ${\mathfrak {t}}$ जड़ों के सेट Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ:

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.$

उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित है ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ k पर सभी n × n आव्यूहों का सदिश स्थान है। मान लीजिए कि T, G में विकर्ण मैट्रिसेस का उपसमूह है। फिर रूट-स्पेस अपघटन व्यक्त करता है ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ विकर्ण मैट्रिसेस के प्रत्यक्ष योग और ऑफ-डायगोनल पोजीशन (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थान के रूप में। लेखन एल₁,..., एल_n भार जालक X(T) ≅ 'Z' के मानक आधार के लिएⁿ, मूल तत्व L हैं_i - एल_j सभी के लिए i ≠ j 1 से n तक।

एक अर्धसरल समूह की जड़ें एक 'रूट सिस्टम' बनाती हैं; यह एक मिश्रित संरचना है जिसे पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, एक रिडक्टिव ग्रुप की जड़ें रूट तिथि बनाती हैं, एक मामूली भिन्नता। रिडक्टिव ग्रुप जी के वेइल समूह का अर्थ है टोरस द्वारा मैक्सिमल टॉरस के नॉर्मलाइज़र का भागफल समूह, डब्ल्यू = एन_G(टी) / टी। वेइल समूह वास्तव में परावर्तनों द्वारा उत्पन्न परिमित समूह है। उदाहरण के लिए, समूह GL(n) (या SL(n)) के लिए, Weyl समूह सममित समूह S है_n.

बहुत से रेखीय बीजगणितीय समूह#बोरेल उपसमूह हैं जिनमें दिए गए अधिकतम टोरस होते हैं, और वे वेइल समूह द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत होते हैं (उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चयों के संयुग्मन वर्ग#संयुग्मता द्वारा अभिनय)। बोरेल उपसमूह का एक विकल्प सकारात्मक जड़ों का एक सेट निर्धारित करता है⁺ ⊂ Φ, संपत्ति के साथ कि Φ Φ का असम्बद्ध संघ है⁺ और −Φ⁺. स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है:

${\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.$

उदाहरण के लिए, यदि बी जीएल (एन) में ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स का बोरेल उपसमूह है, तो यह उप-स्थान का स्पष्ट अपघटन है ${\mathfrak {b}}$ ऊपरी-त्रिकोणीय मेट्रिसेस में ${{\mathfrak {g}}l}(n)$. सकारात्मक जड़ें एल हैं_i - एल_j 1 ≤ i <j ≤ n के लिए।

एक 'सरल जड़' का मतलब एक सकारात्मक जड़ है जो दो अन्य सकारात्मक जड़ों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल जड़ों की संख्या आर जी के कम्यूटेटर उपसमूह के रैंक के बराबर है, जिसे जी के 'अर्धसरल रैंक' कहा जाता है (जो कि जी के अर्धसरल होने पर केवल जी का रैंक है)। उदाहरण के लिए, GL(n) (या SL(n)) के सरल मूल L हैं_i - एल_i+1 1 ≤ i ≤ n − 1 के लिए।

रूट सिस्टम को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित ग्राफ (असतत गणित) है (कुछ किनारों को निर्देशित या एकाधिक के साथ)। डायनकिन आरेख के शीर्षों का समुच्चय सरल मूलों का समुच्चय है। संक्षेप में, डायनकिन आरेख वजन जाली पर एक वेइल समूह-इनवेरिएंट आंतरिक उत्पाद के संबंध में सरल जड़ों और उनकी सापेक्ष लंबाई के बीच के कोणों का वर्णन करता है। जुड़े हुए डायकिन आरेख (सरल समूहों के अनुरूप) नीचे चित्रित किए गए हैं।

एक फ़ील्ड k पर विभाजित रिडक्टिव ग्रुप G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक रूट α न केवल G के लाई बीजगणित के 1-आयामी उप-स्थान को निर्धारित करता है, बल्कि योगात्मक समूह G की एक प्रति भी निर्धारित करता है।_a G में दिए गए लाई बीजगणित के साथ, जिसे 'मूल उपसमूह' U कहा जाता है_α. जड़ उपसमूह G में योज्य समूह की अनूठी प्रति है जो T द्वारा सामान्य है और जिसमें दिया गया बीजगणित है।पूरे समूह G को T और मूल उपसमूहों द्वारा (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, जबकि बोरेल उपसमूह B को T और धनात्मक मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न किया जाता है। वास्तव में, एक विभाजित अर्धसरल समूह G अकेले रूट उपसमूहों द्वारा उत्पन्न होता है।

परवलयिक उपसमूह

एक फ़ील्ड k पर स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप G के लिए, G के चिकने कनेक्टेड सबग्रुप्स जिनमें G का दिया गया बोरेल सबग्रुप B होता है, सरल जड़ों के सेट Δ के सबसेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में होते हैं (या समतुल्य, सबसेट) डायकिन आरेख के शीर्षों के सेट का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' संयुग्मी वर्ग है#G(k) के कुछ तत्वों द्वारा B युक्त उपसमूह के लिए उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चयों का संयुग्मन वर्ग है। नतीजतन, ठीक 2 हैं^r k के ऊपर G में परवलयिक उपसमूहों की संयुग्मी कक्षाएं। स्पष्ट रूप से, Δ के दिए गए उपसमुच्चय S के संगत परवलयिक उपसमूह मूल उपसमूहों U के साथ मिलकर B द्वारा उत्पन्न समूह है_−α उदाहरण के लिए, एस में α के लिए। उदाहरण के लिए, जीएल (एन) के परवलयिक उपसमूहों में उपरोक्त बोरेल उपसमूह बी होते हैं, उलटा मेट्रिसेस के समूह होते हैं, जो विकर्ण के साथ वर्गों के दिए गए सेट के नीचे शून्य प्रविष्टियों के साथ होते हैं, जैसे:

$\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}$

परिभाषा के अनुसार, एक फील्ड k पर रिडक्टिव ग्रुप G का एक परवलयिक उपसमूह P एक स्मूथ k-सबग्रुप है, जैसे कि भागफल किस्म G/' 'पी' 'के' पर उचित योजना है, या 'के' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'जी' के लिए सामान्यीकृत ध्वज विविधता के वर्गीकरण के बराबर है (चिकनी स्टेबलाइज़र समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के के के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। जीएल(एन) के लिए, ये ध्वज किस्में हैं, दिए गए आयामों के रैखिक उप-स्थानों के पैरामीट्रिजिंग अनुक्रम ए₁,...,ए_i आयाम n के एक निश्चित सदिश स्थान V में समाहित है:

$0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.$

ऑर्थोगोनल समूह या सहानुभूतिपूर्ण समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय किस्मों का एक समान विवरण होता है, जैसे किसी दिए गए द्विघात रूप या सहानुभूतिपूर्ण रूप के संबंध में आइसोट्रोपिक उप-अंतरिक्ष झंडे की किस्में। बोरेल उपसमूह बी के साथ किसी भी रिडक्टिव ग्रुप जी के लिए, जी / बी को 'फ्लैग वैरायटी' या 'फ्लैग मैनिफोल्ड' कहा जाता है।

स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप्स का वर्गीकरण

जुड़े हुए डायनकिन आरेख

शेवाली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों को रूट डेटा द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह जुड़े आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A प्रकार के सरल समूह हैं_n, बी_n, सी_n, डी_n, और₆, और₇, और₈, एफ₄, जी₂. यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में विल्हेम हत्या और एली कार्टन द्वारा कॉम्पैक्ट लाइ समूहों या जटिल अर्ध-सरल ले बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के आयाम, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं।

G प्रकार के असाधारण समूह G₂ और ई₆ लियोनार्ड यूजीन डिक्सन | एल द्वारा कम से कम सार समूह जी (के) के रूप में पहले बनाया गया था। ई। डिक्सन। उदाहरण के लिए, समूह जी₂ k पर एक ऑक्टोनियन बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म समूह है। इसके विपरीत, टाइप एफ के शेवेलली समूह₄, और₇, और₈ सकारात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में पूरी तरह से नए थे।

अधिक आम तौर पर, विभाजित रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है। एक फ़ील्ड k पर एक सेमीसिंपल ग्रुप G को 'सिम्पली कनेक्टेड' कहा जाता है, अगर सेमीसिंपल ग्रुप से G तक हर सेंट्रल आइसोजिनी एक आइसोमोर्फिज्म है। (जटिल संख्याओं पर जी अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में बस जुड़ा हुआ है जी ('सी') के बराबर है जो शास्त्रीय टोपोलॉजी में बस जुड़ा हुआ है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र के ऊपर, एक अद्वितीय बस जुड़ा हुआ विभाजन है एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ अर्धसरल समूह जी, जुड़े आरेखों के अनुरूप सरल समूहों के साथ। दूसरे चरम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र तुच्छ होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वास्तव में समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से जुड़ा हुआ समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह योजना है।

उदाहरण के लिए, क्लासिकल डायनकिन आरेखों के संगत फ़ील्ड k पर सरलता से जुड़े विभाजित सरल समूह इस प्रकार हैं:

• ए_n: एसएल(एन+1) ओवर के;
• बी_n: स्पिन समूह स्पिन (2n+1) Witt इंडेक्स n के साथ आयाम 2n+1 ओवर k के द्विघात रूप से जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए फॉर्म

$q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};$

• सी_n: सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n) over k;
• डी_n: स्पिन समूह स्पिन (2n) Witt इंडेक्स n के साथ आयाम 2n ओवर k के द्विघात रूप से जुड़ा है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.$

एक फ़ील्ड k पर स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप G का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह, G के रूट डेटम के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अलावा, G का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में विभाजित होता है:

$\operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),$

जहाँ Z, G का केंद्र है। एक विभाजित अर्ध-सरल के लिए एक क्षेत्र पर बस जुड़े समूह G के लिए, G के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का एक सरल विवरण है: यह G के डायनकिन आरेख का ऑटोमोर्फिज़्म समूह है।

रिडक्टिव ग्रुप स्कीम्स

एक योजना S पर एक समूह योजना G को 'रिडक्टिव' कहा जाता है यदि आकारिकी G → S चिकनी आकारिकी और संकरण है, और प्रत्येक ज्यामितीय फाइबर $G_{\overline {k}}$ रिडक्टिव है। (एस में एक बिंदु पी के लिए, संबंधित ज्यामितीय फाइबर का अर्थ है बीजगणितीय बंद करने के लिए जी का आधार परिवर्तन ${\overline {k}}$ पी के अवशेष क्षेत्र का।) शेवेले के काम का विस्तार करते हुए, मिशेल डेमाज़र और ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि किसी भी गैर-खाली योजना एस पर विभाजित रिडक्टिव समूह योजनाओं को रूट डेटा द्वारा वर्गीकृत किया गया है। इस कथन में ज़ेड से अधिक समूह योजनाओं के रूप में चेवेली समूहों का अस्तित्व शामिल है, और यह कहता है कि एक योजना 'एस' पर प्रत्येक विभाजित रिडक्टिव समूह ज़ेड से 'एस' तक एक चेवली समूह के आधार परिवर्तन के लिए आइसोमोर्फिक है।

वास्तविक रिडक्टिव समूह

बीजगणितीय समूहों के बजाय झूठ समूहों के संदर्भ में, एक वास्तविक रिडक्टिव समूह एक झूठ समूह जी है, जैसे कि आर के ऊपर एक रैखिक बीजीय समूह एल है जिसका पहचान घटक (जरिस्की टोपोलॉजी में) रिडक्टिव है , और एक समरूपता G → L(R) जिसका कर्नेल परिमित है और जिसकी छवि L(R) (शास्त्रीय टोपोलॉजी में) में खुली है। यह मानने के लिए भी मानक है कि आसन्न प्रतिनिधित्व Ad(G) की छवि Int(g में निहित है_C) = विज्ञापन (एल⁰(C)) (जो G कनेक्टेड के लिए स्वचालित है)। विशेष रूप से, प्रत्येक जुड़ा हुआ अर्ध-सरल लाई समूह (जिसका अर्थ है कि इसका लाई बीजगणित अर्ध-सरल है) रिडक्टिव है। इसके अलावा, लाई ग्रुप आर इस अर्थ में रिडक्टिव है, क्योंकि इसे जीएल (1, आर) ≅ आर * के पहचान घटक के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक रिडक्टिव समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या काफी हद तक साधारण झूठ समूहों को वर्गीकृत करने के लिए कम हो जाती है। इन्हें उनके सैटेक आरेख द्वारा वर्गीकृत किया गया है; या कोई साधारण झूठ समूहों (परिमित आवरण तक) की सूची का उल्लेख कर सकता है।

इस व्यापकता में वास्तविक रिडक्टिव समूहों के लिए स्वीकार्य प्रतिनिधित्व और एकात्मक प्रतिनिधित्व के उपयोगी सिद्धांत विकसित किए गए हैं। इस परिभाषा और एक रिडक्टिव बीजगणितीय समूह की परिभाषा के बीच मुख्य अंतर इस तथ्य के साथ है कि एक बीजगणितीय समूह G R के ऊपर एक बीजगणितीय समूह के रूप में जुड़ा हो सकता है जबकि झूठ समूह G(R) जुड़ा नहीं है, और इसी तरह केवल जुड़े हुए समूहों के लिए।

उदाहरण के लिए, प्रक्षेपी रैखिक समूह पीजीएल(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में जुड़ा हुआ है, लेकिन इसके वास्तविक बिंदुओं के समूह पीजीएल(2,आर) में दो जुड़े हुए घटक हैं। पीजीएल(2,आर) (कभी-कभी पीएसएल(2,आर) कहा जाता है) का पहचान घटक एक वास्तविक रिडक्टिव समूह है जिसे बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। इसी तरह, SL(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में बस जुड़ा हुआ है, लेकिन झूठ समूह SL(2,R) में पूर्णांक Z के लिए मूलभूत समूह आइसोमोर्फिक है, और इसलिए SL' '(2, आर) में नॉनट्रिविअल अंतरिक्ष को कवर करना हैं। परिभाषा के अनुसार, SL(2,R) के सभी परिमित आवरण (जैसे कि मेटाप्लेक्टिक समूह) वास्तविक रिडक्टिव समूह हैं। दूसरी ओर, SL(2,R) का सार्वभौमिक आवरण एक वास्तविक रिडक्टिव समूह नहीं है, भले ही इसका लाई बीजगणित रिडक्टिव लाई बीजगणित है, जो कि सेमीसिंपल लाई बीजगणित और एक एबेलियन लाई का उत्पाद है। बीजगणित।

एक जुड़े हुए वास्तविक रिडक्टिव समूह जी के लिए, अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह के द्वारा जी का भागफल कई गुना जी/के गैर-कॉम्पैक्ट का एक सममित स्थान है प्रकार। वास्तव में, गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार का प्रत्येक सममित स्थान इस तरह से उत्पन्न होता है। ये गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ मैनिफोल्ड्स के रीमैनियन ज्यामिति में केंद्रीय उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, SL(2,R)/SO(2) अतिशयोक्तिपूर्ण विमान है, और SL(2,C)/SU(2) हाइपरबोलिक 3 है -अंतरिक्ष।

रिडक्टिव ग्रुप G के लिए एक फ़ील्ड k पर जो असतत मूल्यांकन के संबंध में पूर्ण है (जैसे p-adic नंबर Q_p), इमारत (गणित) जी का एक्स सममित स्थान की भूमिका निभाता है। अर्थात, X G(k) की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और G(k) 'पर CAT(0) मीट्रिक को संरक्षित करता है। 'X', गैर-सकारात्मक वक्रता वाले मीट्रिक का एनालॉग। एफ़िन बिल्डिंग का आयाम जी का के-रैंक है। उदाहरण के लिए, एसएल (2, क्यू_p) एक पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) है।

रिडक्टिव समूहों का प्रतिनिधित्व

एक क्षेत्र k पर एक स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अलघुकरणीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, जिसे भार जालक X(T) ≅ 'Z' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है।ⁿ 'आर' में एक उत्तल शंकु (एक वेइल कक्ष) के साथ^एन. विशेष रूप से, यह पैरामीट्रिजेशन k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक स्प्लिट मैक्सिमल टोरस और एक बोरेल सबग्रुप, टी ⊂ बी ⊂ जी को ठीक करें। फिर बी एक चिकनी जुड़े यूनिपोटेंट सबग्रुप यू के साथ टी का सेमीडायरेक्ट उत्पाद है। जी ओवर के प्रतिनिधित्व वी में 'उच्चतम वजन वेक्टर' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य वेक्टर v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को मैप करता है। फिर बी उस रेखा पर अपने भागफल समूह टी के माध्यम से भार जालक एक्स (टी) के कुछ तत्व λ द्वारा कार्य करता है। शेवाली ने दिखाया कि जी के प्रत्येक इर्रिडिएबल प्रतिनिधित्व में स्केलर तक एक अद्वितीय उच्चतम वजन वेक्टर होता है; संबंधित उच्चतम वजन λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय इरेड्यूसबल प्रतिनिधित्व L(λ) का उच्चतम भार है। दिए गए उच्चतम भार के साथ अलघुकरणीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख वजन λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' को परिभाषित करें ∇(λ) जी-इक्विवेरिएंट उलटा शीफ के वर्गों के के-वेक्टर स्पेस के रूप में फ्लैग मैनिफोल्ड जी/बी पर λ से जुड़ा हुआ है; यह जी का एक प्रतिनिधित्व है। विशेषता शून्य के k के लिए, बोरेल-वील प्रमेय का कहना है कि अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व L(λ) शूर मॉड्यूल ∇(λ) के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसके अलावा, वेइल चरित्र सूत्र इस प्रतिनिधित्व के चरित्र सिद्धांत (और विशेष रूप से आयाम) देता है।

सकारात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित रिडक्टिव ग्रुप G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का प्रतिनिधित्व आमतौर पर इरेड्यूसिबल्स का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख वजन λ के लिए, इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व एल (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, लेकिन यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल का आयाम और चरित्र जॉर्ज केम्फ द्वारा वेइल वर्ण सूत्र (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है। अलघुकरणीय अभ्यावेदन L(λ) के आयाम और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, हालांकि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि एल (λ) के आयाम और चरित्र को तब जाना जाता है जब हेनिंग हाहर एंडरसन, जेन्स कार्स्टन जैंटजेन, और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा जी के कॉक्सेटर संख्या की तुलना में के की विशेषता पी बहुत बड़ी है (जॉर्ज लुसिग के अनुमान को साबित करना) उस मामले में)। पी लार्ज के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं। किसी भी प्राइम पी के लिए, साइमन रिचे और जिओर्डी विलियमसन ने पी-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में एक रिडक्टिव समूह के इरेड्यूसबल वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, लेकिन कम से कम संगणनीय हैं।

गैर-विभाजित रिडक्टिव समूह

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, विभाजित रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान है। इसके विपरीत, आधार क्षेत्र के आधार पर मनमाना रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण कठिन हो सकता है। शास्त्रीय समूहों में से कुछ उदाहरण हैं:

• एक फ़ील्ड k पर प्रत्येक अविकृत द्विघात रूप q एक अपचायक समूह G = SO(q) निर्धारित करता है। यहाँ G सरल है यदि q का आयाम n कम से कम 3 है, क्योंकि $G_{\overline {k}}$ एक बीजगणितीय बंद होने पर SO(n) के लिए आइसोमोर्फिक है ${\overline {k}}$. जी का के-रैंक क्यू के 'विट इंडेक्स' के बराबर है (के पर एक आइसोटोपिक सबस्पेस का अधिकतम आयाम)। तो साधारण समूह G को k पर विभाजित किया जाता है यदि और केवल यदि q में अधिकतम संभव विट इंडेक्स है, $\lfloor n/2\rfloor$.
• प्रत्येक केंद्रीय सरल बीजगणित ए ओवर के एक रिडक्टिव ग्रुप जी = एसएल (1, ए) निर्धारित करता है, यूनिट ए * के समूह पर कम मानदंड का कर्नेल (के से अधिक बीजगणितीय समूह के रूप में)। ए की 'डिग्री' का अर्थ ए के आयाम के वर्ग रूट को के-वेक्टर स्पेस के रूप में दर्शाता है। यहाँ G सरल है यदि A के पास डिग्री n कम से कम 2 है, क्योंकि $G_{\overline {k}}$ SL(n) ओवर के लिए तुल्याकारी है ${\overline {k}}$. यदि ए में इंडेक्स आर है (जिसका अर्थ है कि ए मैट्रिक्स बीजगणित एम के लिए आइसोमोर्फिक है_n/r(डी) डिग्री आर ओवर के के विभाजन बीजगणित डी के लिए), तो जी का के-रैंक (एन / आर) - 1 है। तो साधारण समूह G को k पर विभाजित किया जाता है यदि और केवल यदि A, k के ऊपर एक मैट्रिक्स बीजगणित है।

परिणामस्वरूप, k पर रिडक्टिव समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित शामिल हैं। बीजगणितीय रूप से बंद k के लिए ये समस्याएँ आसान हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्रों के लिए समझा जाता है, लेकिन मनमाने क्षेत्रों के लिए कई खुले प्रश्न हैं।

किसी फ़ील्ड k पर एक रिडक्टिव समूह को 'आइसोट्रोपिक' कहा जाता है, अगर इसमें k-रैंक 0 से अधिक होता है (अर्थात, यदि इसमें एक नॉनट्रिविअल स्प्लिट टॉरस होता है), और अन्यथा 'अनिसोट्रोपिक'। फ़ील्ड k पर अर्धसरल समूह G के लिए, निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• जी आइसोट्रोपिक है (यानी, जी में गुणक समूह जी की एक प्रति है_m ओवर के);
• G में k के ऊपर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है;
• जी में योगात्मक समूह जी की एक प्रति है_a कश्मीर से अधिक

के परिपूर्ण के लिए, यह कहने के बराबर भी है कि जी (के) में 1 के अलावा एक रैखिक बीजगणितीय समूह#सेमिसिम्पल और यूनिपोटेंट तत्व तत्व शामिल हैं। विशेषता शून्य (जैसे वास्तविक संख्या) के एक स्थानीय क्षेत्र k पर जुड़े रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, समूह G(k) शास्त्रीय टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट जगह है (k की टोपोलॉजी पर आधारित) अगर और केवल अगर G है रिडक्टिव और अनिसोट्रोपिक। उदाहरण: ऑर्थोगोनल समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह | SO(p,q) over 'R' का वास्तविक रैंक min(p,q) है, और इसलिए यह अनिसोट्रोपिक है अगर और केवल अगर p या q शून्य है।

एक फ़ील्ड k पर रिडक्टिव ग्रुप G को 'क्वैसी-स्प्लिट' कहा जाता है, अगर इसमें k के ऊपर एक बोरेल सबग्रुप होता है। एक स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप क्वासी-स्प्लिट है। यदि जी कश्मीर पर अर्ध-विभाजित है, तो जी के किसी भी दो बोरेल उपसमूह जी (के) के कुछ तत्व से संयुग्मित होते हैं। उदाहरण: ओर्थोगोनल समूह SO(p,q) ओवर 'R' विभाजित है अगर और केवल अगर |p−q| ≤ 1, और यह अर्ध-विभाजित है यदि और केवल यदि |p−q| ≤ 2.

अमूर्त समूहों के रूप में अर्धसरल समूहों की संरचना

क्षेत्र k पर सरल रूप से जुड़े विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, रॉबर्ट स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के एक समूह की एक स्पष्ट प्रस्तुति दी। यह जी के डायनकिन आरेख द्वारा निर्धारित संबंधों के साथ जी (रूट उपसमूह) की जड़ों द्वारा अनुक्रमित के योगात्मक समूह की प्रतियों द्वारा उत्पन्न होता है।

एक पूर्ण क्षेत्र k पर सरल रूप से जुड़े विभाजित अर्धसरल समूह G के लिए, स्टाइनबर्ग ने अमूर्त समूह G(k) के ऑटोमोर्फिज्म समूह का भी निर्धारण किया। प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म का उत्पाद है, एक विकर्ण ऑटोमोर्फिज्म (अर्थात् एक उपयुक्त द्वारा संयुग्मन ${\overline {k}}$-एक अधिकतम टोरस का बिंदु), एक ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म (डाइनकिन आरेख के एक ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप), और एक फील्ड ऑटोमोर्फिज्म (क्षेत्र के एक ऑटोमोर्फिज्म से आ रहा है)। एक के-सरल बीजगणितीय समूह जी के लिए, 'स्तन की सरलता प्रमेय' कहती है कि सार समूह जी (के) सरल होने के करीब है, हल्के अनुमानों के तहत। अर्थात्, मान लीजिए कि G, k पर समदैशिक है, और मान लीजिए कि क्षेत्र k में कम से कम 4 अवयव हैं। चलो जी (के)⁺ योगात्मक समूह G की प्रतियों के k-बिंदुओं द्वारा उत्पन्न अमूर्त समूह G(k) का उपसमूह हो_a G में समाहित k से अधिक। (यह मानकर कि G k पर समदैशिक है, समूह G(k)⁺ गैर तुच्छ है, और अगर k अनंत है तो G में ज़रिस्की सघन भी है।) फिर G(k) का भागफल समूह⁺ इसके केंद्र द्वारा सरल है (एक सार समूह के रूप में)। सबूत जैक्स स्तन की बीएन-जोड़े की मशीनरी का उपयोग करता है।

क्रम 2 या 3 के क्षेत्रों के अपवादों को अच्छी तरह से समझा गया है। के = 'एफ' के लिए₂, स्तन की सरलता प्रमेय मान्य रहता है सिवाय इसके कि जब G प्रकार A का विभाजन हो₁, बी₂, या जी₂, या नॉन-स्प्लिट (यानी एकात्मक) टाइप ए₂. के = 'एफ' के लिए₃, प्रमेय प्रकार A के G को छोड़कर धारण करता है₁. एक के-सरल समूह जी के लिए, पूरे समूह जी (के) को समझने के लिए, कोई 'व्हाइटहेड समूह' डब्ल्यू (के, जी) = जी (के)/जी (के) पर विचार कर सकता है।⁺. जी के लिए बस जुड़ा हुआ है और अर्ध-विभाजित है, व्हाइटहेड समूह छोटा है, और इसलिए पूरा समूह जी (के) सरल मोडुलो इसका केंद्र है। अधिक आम तौर पर, केनेसर-टीट्स समस्या पूछती है कि व्हाइटहेड समूह कौन सा आइसोटोपिक के-सरल समूह तुच्छ है। सभी ज्ञात उदाहरणों में, W(k, G) आबेली है।

अनिसोट्रोपिक के-सरल समूह जी के लिए, अमूर्त समूह जी (के) सरल से बहुत दूर हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि D एक विभाजन बीजगणित है जिसका केंद्र a p-adic फ़ील्ड k है। मान लीजिए कि k पर D का आयाम परिमित है और 1 से अधिक है। फिर G = SL(1,D) एक अनिसोट्रोपिक k-सरल समूह है। जैसा ऊपर बताया गया है, जी (के) शास्त्रीय टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट है। चूंकि यह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट भी है, जी (के) एक असीमित समूह है (लेकिन सीमित नहीं है)। नतीजतन, जी (के) में उपसमूह के परिमित सूचकांक के असीम रूप से कई सामान्य उपसमूह होते हैं।

जाली और अंकगणितीय समूह

मान लीजिए G परिमेय संख्याओं 'Q' पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है। फिर जी को 'जेड' पर एक एफ़िन समूह योजना जी तक बढ़ाया जा सकता है, और यह एक अमूर्त समूह जी ('जेड') निर्धारित करता है। एक 'अंकगणितीय समूह' का अर्थ G('Q') का कोई भी उपसमूह है जो G('Z') के साथ समानता (समूह सिद्धांत) है। (G('Q') के एक उपसमूह की अंकगणितीयता 'Z'-संरचना की पसंद से स्वतंत्र है।) उदाहरण के लिए, SL(n,'Z') SL(n,'Q') का एक अंकगणितीय उपसमूह है।

एक लाई समूह G के लिए, G में एक 'जाली (असतत उपसमूह)' का अर्थ है G का एक असतत उपसमूह Γ जैसे कि कई गुना G/Γ में परिमित आयतन (G-invariant माप के संबंध में) है। उदाहरण के लिए, एक असतत उपसमूह Γ एक जाली है यदि G/Γ कॉम्पैक्ट है। अंकगणित समूह # मार्गुलिस अंकगणितीय प्रमेय विशेष रूप से कहता है: कम से कम 2 वास्तविक रैंक के एक साधारण झूठ समूह जी के लिए, जी में प्रत्येक जाली एक अंकगणितीय समूह है।

डाइनकिन डायग्राम पर गैलोज क्रिया

Main article: Tits index

रिडक्टिव समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक कदम स्तन सूचकांक है, जो अनिसोट्रोपिक समूहों के मामले में समस्या को कम करता है। यह कमी बीजगणित में कई मूलभूत प्रमेयों का सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, विट के अपघटन प्रमेय का कहना है कि एक क्षेत्र पर एक गैर-अपघटित द्विघात रूप को इसके अनिसोट्रोपिक कर्नेल के साथ मिलकर इसके विट इंडेक्स द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक निर्धारित किया जाता है। इसी तरह, आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय विभाजन बीजगणित के मामले में एक क्षेत्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित के वर्गीकरण को कम करता है। इन परिणामों को सामान्य करते हुए, टिट्स ने दिखाया कि क्षेत्र k पर एक रिडक्टिव ग्रुप आइसोमोर्फिज्म तक इसके टिट्स इंडेक्स द्वारा इसके अनिसोट्रोपिक कर्नेल, एक संबद्ध अनिसोट्रोपिक सेमीसिम्पल k-ग्रुप के साथ निर्धारित किया जाता है।

एक फ़ील्ड k पर रिडक्टिव ग्रुप G के लिए, पूर्ण गैलोज़ समूह Gal(k_s/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, अर्थात, एक वियोज्य क्लोजर k पर G का डायनकिन आरेख_s (जो एक बीजगणितीय बंद होने पर G का डायकिन आरेख भी है ${\overline {k}}$). G के ब्रेस्ट इंडेक्स में G का रूट डेटम होता है_ks, इसके डायनकिन डायग्राम पर गैलोज़ एक्शन, और डाइकिन डायग्राम के शीर्षों का एक गैलोज़-इनवेरिएंट उपसमुच्चय। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स इंडेक्स तैयार किया जाता है।

इन शर्तों में अर्ध-विभाजित समूहों का पूर्ण वर्गीकरण है। अर्थात्, डायनकिन आरेख पर एक फ़ील्ड k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की प्रत्येक क्रिया के लिए, दिए गए क्रिया के साथ एक अद्वितीय अर्ध-विभाजित अर्ध-विभाजित समूह H ओवर k है। (अर्ध-विभाजित समूह के लिए, डायनकिन आरेख में प्रत्येक गैलोज़ कक्षा परिक्रमा की जाती है।) इसके अलावा, दी गई क्रिया के साथ कोई अन्य सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्ध-सरल समूह G, अर्ध-विभाजित समूह H का एक आंतरिक रूप है, जिसका अर्थ है कि G है गैलोइस कोहोलॉजी सेट एच के एक तत्व से जुड़ा समूह¹(k,H/Z), जहां Z, H का केंद्र है। दूसरे शब्दों में, G कुछ H/Z-torsor over k से जुड़ा H का ट्विस्ट है, जैसा कि अगले भाग में चर्चा की गई है।

उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले फ़ील्ड k पर सम आयाम 2n का गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को k पर साधारण समूह SO(q) होने दें। जी का पूर्ण डायनकिन आरेख प्रकार डी का है_n, और इसलिए इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह क्रम 2 का है, डी के दो पैरों को बदल रहा है_n आरेख। डायनकिन आरेख पर के के पूर्ण गैलोज़ समूह की कार्रवाई मामूली है अगर और केवल अगर क्यू में क्यू के द्विघात रूप डी के हस्ताक्षर किए गए भेदभाव के */(के *)² तुच्छ है। यदि d गैर-तुच्छ है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में एन्कोड किया गया है: पहचान के रूप में कार्य करने वाले गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह है $\operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)$. समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और केवल यदि q का Witt सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और केवल यदि q का Witt सूचकांक कम से कम n − 1 है।

धड़ ्स और हस्से सिद्धांत

एक फ़ील्ड k पर एक affine समूह योजना G के लिए एक टॉर्सर का अर्थ है k के ऊपर एक affine योजना X G की एक समूह कार्रवाई (गणित) के साथ जैसे कि $X_{\overline {k}}$ के लिए आइसोमोर्फिक है $G_{\overline {k}}$ की क्रिया के साथ $G_{\overline {k}}$ बाएँ अनुवाद द्वारा स्वयं पर। एक टॉर्सर को k पर fppf टोपोलॉजी के संबंध में k पर एक प्रमुख G-बंडल के रूप में भी देखा जा सकता है, या étale टोपोलॉजी यदि G k पर स्मूथ है। K पर G-torsors के समरूपता वर्गों के नुकीले सेट को H कहा जाता है¹(k,G), गाल्वा कोहोलॉजी की भाषा में।

जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करता है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय बंद होने पर Y के लिए आइसोमोर्फिक बन जाती हैं। अर्थात्, इस तरह के रूप (समरूपता तक) सेट एच के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं¹(के, ऑट (वाई))। उदाहरण के लिए, (nondegenerate) k पर आयाम n के द्विघात रूपों को H द्वारा वर्गीकृत किया गया है¹(k,O(n)), और डिग्री n से अधिक k के केंद्रीय सरल बीजगणित को H द्वारा वर्गीकृत किया गया है¹(के,पीजीएल(एन))। साथ ही, दिए गए बीजगणितीय समूह G के k-रूपों (जिन्हें कभी-कभी G का घुमाव कहा जाता है) को H द्वारा वर्गीकृत किया जाता है¹(के, ऑट (जी))। ये समस्याएँ G-torsors के व्यवस्थित अध्ययन को प्रेरित करती हैं, विशेष रूप से रिडक्टिव ग्रुप G के लिए।

जब संभव हो, तो कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट ्स का उपयोग करके जी-टॉर्सर्स को वर्गीकृत करने की उम्मीद है, जो एबेलियन गुणांक समूहों एम, एच के साथ गैलोइस कोहोलॉजी में मान लेने वाले अपरिवर्तनीय हैं।^ए(के, एम)। इस दिशा में, स्टाइनबर्ग ने जीन पियरे सेरे के अनुमान I को सिद्ध किया: एक जुड़े हुए रैखिक बीजीय समूह G के लिए अधिकतम 1, H क्षेत्र के कोहोलॉजिकल आयाम के एक आदर्श क्षेत्र पर¹(के, जी) = 1। (परिमित क्षेत्र के मामले को पहले लैंग के प्रमेय के रूप में जाना जाता था।) उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक रिडक्टिव समूह अर्ध-विभाजित है।

सेरे का अनुमान II (बीजगणित) | सेरे का अनुमान II भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, एच पर कोहोलॉजिकल आयाम के एक क्षेत्र पर बस जुड़े अर्ध-सरल समूह जी के लिए¹(k,G) = 1। अनुमान पूरी तरह से काल्पनिक संख्या क्षेत्र के लिए जाना जाता है (जिसमें कोहोलॉजिकल आयाम 2 है)। अधिक आम तौर पर, किसी भी संख्या क्षेत्र k के लिए, मार्टिन केनेसर, गुंटर हार्डर और व्लादिमीर चेरनौसोव (1989) ने हासे सिद्धांत को साबित किया: एक साधारण रूप से जुड़े अर्धसरल समूह G के लिए k, मानचित्र

$H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)$

विशेषण है। यहाँ v k, और k के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है_v संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः आर या सी)। इसके अलावा, नुकीला सेट H¹(के_v, G) प्रत्येक गैर-अर्चिमिडियन स्थानीय क्षेत्र k के लिए तुच्छ है_v, और इसलिए केवल k के वास्तविक स्थान मायने रखते हैं। सकारात्मक विशेषता के एक वैश्विक क्षेत्र k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: हर सरलता से जुड़े सेमीसिंपल समूह G के ऊपर k, H के लिए¹(k,G) तुच्छ है (क्योंकि k का कोई वास्तविक स्थान नहीं है)। एक संख्या क्षेत्र k पर एक निकटवर्ती समूह G के थोड़े अलग मामले में, हासे सिद्धांत एक कमजोर रूप में है: प्राकृतिक मानचित्र

$H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)$

इंजेक्शन है। जी = पीजीएल (एन) के लिए, यह अल्बर्ट-ब्रुएर-हस्से-नोथेर प्रमेय की मात्रा है, यह कहते हुए कि एक संख्या क्षेत्र पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित अपने स्थानीय आक्रमणकारियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हस्से सिद्धांत पर निर्माण, संख्या क्षेत्रों पर अर्ध-सरल समूहों का वर्गीकरण अच्छी तरह से समझा जाता है। उदाहरण के लिए, असाधारण समूह E8 (गणित)|E के ठीक तीन 'Q'-रूप हैं₈, ई के तीन वास्तविक रूपों के अनुरूप₈.

यह भी देखें

• झूठ प्रकार का समूह परिमित क्षेत्रों पर सरल बीजगणितीय समूहों से निर्मित परिमित सरल समूह हैं।
• सामान्यीकृत ध्वज किस्म, ब्रुहट अपघटन, शुबर्ट किस्म, शुबर्ट कैलकुलस
• शूर बीजगणित, डेलिग्ने-लुज़्ज़टिग सिद्धांत
• वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)
• तमागावा संख्या पर वील का अनुमान
• लैंगलैंड्स वर्गीकरण, लैंगलैंड्स दोहरे समूह , लैंगलैंड्स प्रोग्राम, [[ ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम ]]
• विशेष समूह (बीजगणितीय समूह सिद्धांत), आवश्यक आयाम
• ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत, लूना का टुकड़ा प्रमेय, हबश का प्रमेय
• एक बीजगणितीय समूह का मूलांक

संदर्भ

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• Borel, Armand; Tits, Jacques (1971), "Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I.", Inventiones Mathematicae, 12: 95–104, Bibcode:1971InMat..12...95B, doi:10.1007/BF01404653, MR 0294349
• Chevalley, Claude (2005) [1958], Cartier, P. (ed.), Classification des groupes algébriques semi-simples, Collected Works, Vol. 3, Springer Nature, ISBN 3-540-23031-9, MR 2124841
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बाहरी संबंध

• Demazure, M.; Grothendieck, A., Gille, P.; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Revised and annotated edition of the 1970 original.