सहानुभूतिपूर्ण समूह

For finite groups with all characteristic abelian subgroups cyclic, see group of symplectic type.

गणित में, नाम सहानुभूति समूह दो अलग-अलग, लेकिन बारीकी से संबंधित, गणितीय समूह (गणित) के संग्रह का उल्लेख कर सकता है, निरूपित Sp(2n, F) और Sp(n) सकारात्मक पूर्णांक n और फ़ील्ड (गणित) 'F' (आमतौर पर 'C' या 'R') के लिए। बाद वाले को 'कॉम्पैक्ट सिम्पलेक्टिक ग्रुप' कहा जाता है और इसे इसके द्वारा भी निरूपित किया जाता है $\mathrm {USp} (n)$. कई लेखक थोड़ा अलग अंकन पसंद करते हैं, आमतौर पर कारकों के आधार पर भिन्न होते हैं 2. यहां इस्तेमाल किया गया अंकन सबसे आम मैट्रिक्स (गणित) के आकार के अनुरूप है जो समूहों का प्रतिनिधित्व करता है। सरल लाई बीजगणित के एली कार्टन के वर्गीकरण में, जटिल समूह के लाई बीजगणित Sp(2n, C) अंकित है C_n, और Sp(n) वास्तविक रूप है (झूठ सिद्धांत)#कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप Sp(2n, C). ध्यान दें कि जब हम (कॉम्पैक्ट) सहानुभूतिपूर्ण समूह का उल्लेख करते हैं तो यह निहित होता है कि हम (कॉम्पैक्ट) सहानुभूतिपूर्ण समूहों के संग्रह के बारे में बात कर रहे हैं, उनके आयाम द्वारा अनुक्रमित n.

सिम्पलेक्टिक समूह का नाम सिम्पलेक्टिक टोपोलॉजी #नाम है जो पिछले भ्रमित करने वाले नामों (लाइन) कॉम्प्लेक्स ग्रुप और एबेलियन लीनियर ग्रुप के प्रतिस्थापन के रूप में है, और कॉम्प्लेक्स का ग्रीक एनालॉग है।

मेटाप्लेक्टिक समूह आर पर सहानुभूतिपूर्ण समूह का दोहरा आवरण है; इसमें अन्य स्थानीय क्षेत्रों, परिमित क्षेत्रों और एडेल रिंग्स के अनुरूप हैं।

Sp(2n, F)

सहानुभूतिपूर्ण समूह एक शास्त्रीय समूह है जिसे एक के रैखिक परिवर्तनों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है 2n-क्षेत्र के ऊपर आयामी सदिश स्थान F जो एक गैर-अपमानित रूप को संरक्षित करता है | गैर-पतित तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप। इस तरह के एक वेक्टर अंतरिक्ष को एक सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर अंतरिक्ष कहा जाता है, और एक सार सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर अंतरिक्ष का सहानुभूति समूह V अंकित है Sp(V). के लिए एक आधार तय करने पर V, सहानुभूतिपूर्ण समूह का समूह बन जाता है 2n × 2n सहानुभूतिपूर्ण मैट्रिक्स, में प्रविष्टियों के साथ F, मैट्रिक्स गुणा के संचालन के तहत। इस समूह को या तो निरूपित किया जाता है Sp(2n, F) या Sp(n, F). यदि बिलिनियर फॉर्म को नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स तिरछा-सममित मैट्रिक्स Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो

$\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},$

जहां एम^T M का स्थानान्तरण है। अक्सर Ω को परिभाषित किया जाता है

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},$

जहां मैं_nपहचान मैट्रिक्स है। इस मामले में, Sp(2n, F) उन ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$, कहाँ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$, तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:

${\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}$

चूँकि सभी symplectic matrices में निर्धारक होते हैं 1, सहानुभूतिपूर्ण समूह विशेष रैखिक समूह का एक उपसमूह है SL(2n, F). कब n = 1, एक मैट्रिक्स पर सहानुभूति की स्थिति संतुष्ट होती है अगर और केवल अगर निर्धारक एक है, ताकि Sp(2, F) = SL(2, F). के लिए n > 1, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात Sp(2n, F) तब का एक उचित उपसमूह है SL(2n, F).

आमतौर पर, मैदान F वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है R या जटिल संख्याएँ C. ऐसे मामलों में Sp(2n, F) वास्तविक/जटिल आयाम का वास्तविक/जटिल झूठ समूह है n(2n + 1). ये समूह जुड़े हुए स्थान हैं लेकिन कॉम्पैक्ट समूह | गैर-कॉम्पैक्ट हैं।

केंद्र (समूह सिद्धांत)। Sp(2n, F) मैट्रिक्स के होते हैं I_2n और −I_2n जब तक विशेषता (बीजगणित) नहीं है 2. के केंद्र के बाद से Sp(2n, F) असतत है और इसका भागफल मॉड्यूलो केंद्र एक साधारण समूह है, Sp(2n, F) को सरल झूठ समूह माना जाता है#परिभाषा पर टिप्पणियाँ।

संबंधित लाई बीजगणित की वास्तविक रैंक, और इसलिए लाई समूह की Sp(2n, F), है n.

का झूठ बीजगणित Sp(2n, F) समुच्चय है

${\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},$

कम्यूटेटर # रिंग थ्योरी से लैस है जो इसके लाई ब्रैकेट के रूप में है। मानक तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप के लिए $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$, यह झूठ बीजगणित सभी ब्लॉक मैट्रिसेस का सेट है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ शर्तों के अधीन

${\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$

Sp(2n, C)

जटिल संख्याओं के क्षेत्र में सहानुभूतिपूर्ण समूह एक कॉम्पैक्ट समूह है | गैर-कॉम्पैक्ट, बस जुड़ा हुआ, सरल झूठ समूह।

Sp(2n, R)

Sp(n, C) वास्तविक समूह का जटिलीकरण (झूठ समूह) है Sp(2n, R). Sp(2n, R) एक वास्तविक, कॉम्पैक्ट समूह है | गैर-कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड स्पेस, सरल झूठ समूह। इसके अतिरिक्त के तहत पूर्णांकों के समूह के लिए एक मौलिक समूह समूह समरूपता है। एक साधारण लाई समूह के वास्तविक रूप के रूप में इसका लाई बीजगणित स्प्लिट लाई बीजगणित है।

के कुछ और गुण Sp(2n, R):

• झूठ बीजगणित से घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)। sp(2n, R) समूह के लिए Sp(2n, R) विशेषण फलन नहीं है। हालांकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातीयों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में,

$\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.$

• सभी के लिए S में Sp(2n, R):

$S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.$

गणित का सवाल D सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक-निश्चित और विकर्ण मैट्रिक्स। ऐसे का सेट Zs का एक गैर-कॉम्पैक्ट उपसमूह बनाता है Sp(2n, R) जबकि U(n) एक कॉम्पैक्ट उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है। आगे के सहानुभूतिपूर्ण मैट्रिक्स गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।

• एक झूठ समूह के रूप में, Sp(2n, R) की कई गुना संरचना है। के लिए कई गुना Sp(2n, R) एकात्मक समूह के मैनिफोल्ड #कार्टेशियन उत्पादों के लिए डिफियोमोर्फिज्म है U(n) आयाम के वेक्टर स्थान के साथ n(n+1).

इनफिनिटिमल जेनरेटर

सहानुभूतिपूर्ण झूठ बीजगणित के सदस्य sp(2n, F) हैमिल्टनियन मैट्रिक्स हैं।

ये मैट्रिक्स हैं, $Q$ ऐसा है कि

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

कहाँ B और C सममित मैट्रिक्स हैं। व्युत्पत्ति के लिए शास्त्रीय समूह देखें।

सहानुभूति मैट्रिक्स का उदाहरण

के लिए Sp(2, R), का समूह 2 × 2 निर्धारक के साथ matrices 1, तीन सहानुभूति (0, 1)-मैट्रिसेस हैं:<ब्लॉककोट>${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$</ब्लॉककोट>

एसपी (2एन, आर)

यह पता चला है कि $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ जेनरेटर का उपयोग करके काफी स्पष्ट विवरण हो सकता है। अगर हम जाने दें $\operatorname {Sym} (n)$ सममित को निरूपित करें $n\times n$ मैट्रिसेस, फिर $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ से उत्पन्न होता है $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ जहां <ब्लॉककोट>${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$के उपसमूह हैं $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$^{पेज 173पीजी 2}.

सहानुभूति ज्यामिति के साथ संबंध

सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति , सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड ्स का अध्ययन है। एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान एक सहानुभूतिपूर्ण सदिश स्थान है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सिम्पलेक्टिक वेक्टर स्पेस के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह (गणित) बनाती है और यह समूह है Sp(2n, F), अंतरिक्ष के आयाम और क्षेत्र (गणित) पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।

एक सिम्पलेक्टिक वेक्टर स्पेस अपने आप में सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड है। सहानुभूतिपूर्ण समूह के एक समूह क्रिया (गणित) के तहत एक परिवर्तन, एक अर्थ में, एक sympletomorphism का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।

Sp(n)

कॉम्पैक्ट सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(n) का चौराहा है Sp(2n, C) साथ $2n\times 2n$ एकात्मक समूह:

$\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).$

इसे कभी-कभी लिखा जाता है USp(2n). वैकल्पिक रूप से, Sp(n) के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है GL(n, H) (इनवर्टिबल चार का समुदाय मेट्रिसेस) जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है Hⁿ:

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.$

वह है, Sp(n) केवल क्लासिकी समूह#Sp(p, q) – चतुष्कोणीय एकात्मक समूह है, U(n, H). दरअसल, इसे कभी-कभी हाइपर्यूनिटरी ग्रुप भी कहा जाता है। साथ ही Sp(1) मानदंड के चतुष्कोणों का समूह है 1, के बराबर SU(2) और स्थलाकृतिक रूप से एक 3-क्षेत्र |3-वृत्त S³.

ध्यान दें कि Sp(n) पिछले खंड के अर्थ में एक सहानुभूति समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित तिरछा-सममित को संरक्षित नहीं करता है H- बिलिनियर फॉर्म ऑन Hⁿ: शून्य रूप को छोड़कर ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह एक उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है Sp(2n, C), और इसलिए दो बार आयाम के वेक्टर अंतरिक्ष में एक जटिल सहानुभूतिपूर्ण रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे समझाया गया है, का झूठ बीजगणित Sp(n) जटिल symplectic झूठ बीजगणित का कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है sp(2n, C).

Sp(n) (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक झूठ समूह है n(2n + 1). यह कॉम्पैक्ट जगह है और बस जुड़ा हुआ है। का झूठ बीजगणित Sp(n) चतुष्कोणीय तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस द्वारा दिया गया है, का सेट n-by-n चतुष्कोणीय आव्यूह जो संतुष्ट करते हैं

$A+A^{\dagger }=0$

कहाँ A^† का संयुग्मी स्थानांतरण है A (यहाँ एक चतुष्कोणीय संयुग्म लेता है)। लाइ ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है।

महत्वपूर्ण उपसमूह

कुछ मुख्य उपसमूह हैं:

$\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)$

$\operatorname {Sp} (n)\subset \operatorname {U} (n)$

$\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)$

इसके विपरीत यह स्वयं कुछ अन्य समूहों का एक उपसमूह है:

$\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)$

$\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)$

$\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)$

लाई बीजगणित की समरूपताएं भी हैं sp(2) = so(5) और sp(1) = so(3) = su(2).

सहानुभूति समूहों के बीच संबंध

प्रत्येक जटिल, अर्ध-सरल झूठ बीजगणित का एक वास्तविक रूप होता है (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप और एक वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप; पूर्व को बाद के दो का जटिल कहा जाता है।

का झूठ बीजगणित Sp(2n, C) सेमीसिंपल लाई बीजगणित है और इसे निरूपित किया जाता है sp(2n, C). इसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप है sp(2n, R) और उसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#सघन वास्तविक रूप है sp(n). ये झूठ समूहों के अनुरूप हैं Sp(2n, R) और Sp(n) क्रमश।

बीजगणित, sp(p, n − p), जो के झूठ बीजगणित हैं Sp(p, n − p), कॉम्पैक्ट फॉर्म के बराबर मेट्रिक हस्ताक्षर हैं।

भौतिक महत्व

शास्त्रीय यांत्रिकी

कॉम्पैक्ट सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(n) शास्त्रीय भौतिकी में पोइसन ब्रैकेट को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के तहत विकसित हो रहे हैं। हैमिल्टन के समीकरण जिनकी स्थिति एक निश्चित समय पर चरण स्थान में विहित निर्देशांक के वेक्टर द्वारा निरूपित की जाती है,

$\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.$

समूह के तत्व Sp(2n, R) एक निश्चित अर्थ में, इस सदिश पर विहित परिवर्तन हैं, यानी वे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप को संरक्षित करते हैं। हैमिल्टन के समीकरण।अगर

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }$

नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, समय व्युत्पन्न को इंगित करने वाले बिंदु के साथ,

${\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},$

कहाँ

$M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

सभी के लिए t और सभी z चरण अंतरिक्ष में। रीमैनियन कई गुना के विशेष मामले के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस मैनिफोल्ड पर geodesic ्स का वर्णन करते हैं। निर्देशांक $q^{i}$ अंतर्निहित कई गुना, और क्षण पर रहते हैं $p_{i}$ स्पर्शरेखा बंडल में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें पारंपरिक रूप से अपर और लोअर इंडेक्स के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। इसी हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप से गतिज ऊर्जा होती है: यह है $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ कहाँ $g^{ij}$ मीट्रिक टेंसर का व्युत्क्रम है $g_{ij}$ रीमैनियन मैनिफोल्ड पर। वास्तव में, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड के कोटैंजेंट बंडल को एक कैनोनिकल तरीके से एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड दिया जा सकता है, जिसमें सिम्प्लेक्टिक फॉर्म को टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म के बाहरी डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण जिनकी कितना राज्य इसकी स्थिति और संवेग को कूटबद्ध करती है। ये निर्देशांक निरंतर चर हैं और इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष, जिसमें राज्य रहता है, अनंत-आयामी है। यह अक्सर इस स्थिति के विश्लेषण को पेचीदा बना देता है। चरण अंतरिक्ष में हाइजेनबर्ग चित्र के तहत स्थिति और गति ऑपरेटरों के विकास पर विचार करना एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।

कैनोनिकल निर्देशांक के वेक्टर का निर्माण करें,

$\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.$

विहित रूपान्तरण संबंध को बस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega$

कहाँ

$\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}$

और I_n है n × n शिनाख्त सांचा।

कई भौतिक स्थितियों के लिए केवल द्विघात हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी), यानी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप की आवश्यकता होती है

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}$

कहाँ K एक है 2n × 2n वास्तविक, सममित मैट्रिक्स। यह एक उपयोगी प्रतिबंध साबित होता है और हमें हाइजेनबर्ग तस्वीर को फिर से लिखने की अनुमति देता है

${\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}$

इस समीकरण के समाधान को कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन को बनाए रखना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सहानुभूतिपूर्ण समूह #Sp.282n.2C R.29|वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह की समूह क्रिया (गणित) के बराबर है, Sp(2n, R), चरण स्थान पर।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल समूह
• एकात्मक समूह
• अनुमानित एकात्मक समूह
• सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड, सिम्प्लेक्टिक मैट्रिक्स, सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस, सिम्प्लेक्टिक प्रतिनिधित्व
• शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व
• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• मेटाप्लेक्टिक समूह
• Θ10

संदर्भ

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics, vol. 60 (second ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Chapter 7". Classical Mechanics (2nd ed.). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (March 2005), "Gaussian states in continuous variable quantum information", arXiv:quant-ph/0503237.